浙教版数学八年级下册 第5章特殊平行四边形微专题——压轴题训练（含答案)

浙教版数学八年级下册
第5章特殊平行四边形微专题——压轴题训练
1. 如图，平行四边形的两对角线将于点，，，、是上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒，其中．
求证：四边形为平行四边形、相遇时除外；
求当为何值时，四边形是矩形；
尺规作图：在平行四边形四边上求作两点、，使得在、运动的过程中、相遇时除外都能确保四边形是菱形请写出作法，保留作图痕迹，不必证明．
2. 如图，正方形中，为边上任意一点，于，点在的延长线上，且，连接、，的平分线交于，连接．
求证：
求证：是等腰直角三角形
求证：．
3. 如图，正方形的对角线，相交于点，是上一点，连接，过点作，垂足为，与肋相交于点．
求证：；
如图，若点在的延长线上，于点，交的延长线于点，其他条件不变．结论“”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
4. 如图，将的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边．
请直接写出的度数__________．
判断与的数量关系，并说明理由．
若，，，请求出的周长．
5. 如图，已知四边形为平行四边形，请仅用无刻度直尺完成下列画图，并回答问题，保留作图痕迹．
如图，、分别在边、上，且，连接，请在上截取一点，使得为的中点，并说明理由；
如图，若，为上一点，请在上截取一点，使得，并说明理由；
如图，在的条件下，若，连接，点为上的一点，请以为边构造一个菱形．
已知四边形是菱形，，的两边分别与、相交于点、，且．
如图，当点是线段的中点时，直接写出线段、之间的数量关系是_________；
如图，当点是线段上任意一点时点不与、重合，求证：；
如图，，点是线段的中点，点是边上一动点不与点、重合，连接，将沿翻折，使点落在菱形内部点处，请求出的最小值．根号内数据不化简
7. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形．

证明：平行四边形是菱形；
若，是的中点，连接，线段与线段有怎样的关系，并说明理由．
8. 如图，为正方形的边上一动点与、不重合，连接，过点作交于点，将沿所在的直线对折得到，延长交的延长线于点．
试探究与的数量关系，并证明你的结论；
当，，求的长；
当，时，求的长．
9. 已知正方形的边长为，、分别为直线、上两点．
如图，点在上，点在上，，求证：．
如图，点为延长线上一点，作交的延长线于，作于，求的长．
如图，点在的延长线上，，点在上，，直线交于，连接，设的面积为，直接写出与的函数关系式．
10. 如图，直线经过正方形的顶点，从开始绕点逆时针旋转，点关于直线的对称点为点，连接、，其中直线交直线于点．
如图，若，则的度数为__________；
如图，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
如图，当，时，请直接写出的面积．
11. 如图，在线段的同侧作射线和，当时，若与的角平分线分别交射线、于点、，两条角平分线相交于点，连接．
试判断四边形的形状并给予证明；
若，在线段上取一点，点关于点的对称点为点，问线段的长为多少时？以、、、为顶点的四边形是正方形．
12. 如图，是正方形的边上的动点，是边延长线上的一点，且，，设，．
当是等边三角形时，求的长；
求与的函数解析式，并写出的取值范围；
把沿着直线翻折，点落在点处，试探索：能否为等腰三角形？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．
13. 如图，在正方形中，，分别为的延长线和边上的点，连接、，且于．
如图，连接，求证：
如图，取、之中点、
求与的夹角；
若且，则________________
14. 如图，正方形的边长为，点在边上，连接，过点作与的延长线相交于点，连接与边相交于点、与对角线相交于点．
若，求的长；
若，求证：．
15. 在正方形的外侧作等腰，已知，连接交等腰底边上的高所在的直线于点．
如图，若，求的度数；
如图，若，，，求此时的长．
16. 如图，正方形中，是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点，直角顶点在射线上移动，另一边交于．
如图，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；
小明同学探究此问题的方法是：
过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质，得出，再证明≌，可得出结论，他的结论应是______________；同学们，小明的证明方法对你有没有启示请发挥你的聪明才智，探究下面的问题：
如图，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想．
17. 如图，已知矩形中，是上一点，是中点，且，
求证：；
当时，求的长；
猜想并写出与所满足的数量关系，并加以证明；
18.矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒，当其中一个动点到达终点后，两个动点都停止运动．
若，分别是，中点，求证：四边形始终是平行四边形．
在条件下，当为何值时，四边形为矩形．
若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时分别从、出发，当为何值时，四边形为菱形．
参考答案
1.证明：在平行四边形中，
，，
，
四边形为平行四边形；
要使四边形为矩形，则，
当 时，，，
解得： ；
当时，，，
解得：，
当或时，四边形是矩形；
作法：作线段的垂直平分线，分别交、于、两点，
此时，在、运动的过程中、相遇时除外都能确保四边形是菱形．

2.证明：，，
，
，
，
．
由知，
平分，
．
，

，即，
为等腰直角三角形；
证明：如图，作，交于点，
．
，
，
．
，，
．
在和中，
≌，
，．
，即，
．
．
，
，
，
即

3.证明：四边形是正方形．
，．
又，
，
．
≌．
．
解：成立．
证明：四边形是正方形，
，．
又，
，
，
又，
．
≌．
．
4.解：；
，理由如下：
连结，
由翻折的性质可得：，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
又由易得，
四边形是矩形，
，
；
过点作，
在中，，，
，，
，
，
，
设，则，
，
由 ，
得，解得，
，，
的周长

5.解：如图：连接交与点，点即为所求．
理由：连接，，．
为平行四边形，
．
又，
四边形是平行四边形，
，
点是线段的中点．
如图，连接，交于点，连接延长交于，点即为所求。
理由：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
如图中，连接交于，延长交于，连接，延长交于，连接交于，连接，，，则四边形是菱形。
同法可证：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，同法可证：，
，
四边形是菱形．
6.解：；
证明：连接，
四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中
，
；
当，，三点共线时，最小．
作，垂足在的延长线上，交的延长线于点，
四边形是菱形，，
，
点是线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
沿翻折得，
，
．
7.解：证明：
平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形为菱形；
如图中，连接，，
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
又由可知四边形为菱形，
，
四边形为正方形．
，
，
为中点，
，
，
在和中，
≌，
，
．
，
．
8.解：．
理由：四边形是正方形，
，，
．
，，
．
在和中，
，
≌，
；
过点作于，如图．
四边形是正方形，
．
，
，，
，
．
四边形是正方形，
，
．
由折叠可得，
，
．
设，则有，．
在中，
根据勾股定理可得，
解得．
的长为；
过点作于，如图．
四边形是正方形，，，
．
，
，
．
设，则有，．
在中，
根据勾股定理可得，
解得，
．
的长为．
9.证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
；
解：延长交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
；
过作交于，交于，

则，
≌，
，
平分，
≌，
，
，
为等腰直角三角形，
≌，
，
，

10.解：
，理由如下：
垂直平分，
，，
，
≌，
，
在正方形中，， ，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
11.解：四边形是菱形，
理由：，
，
又与的角平分线交于点，
，
，
在和中，
，，，
≌，
，
同理可证，
四边形是菱形。
解：，以、、、为顶点的四边形是正方形，点关于点的对称点为点，
，
，
或。
12.解：当是等边三角形时，．
，
，
．
作，垂足为点，
根据题意，得，，，
，
所求的函数解析式为．
，
点落在上，
，，
要使成为等腰三角形，必须使．
而，，
．
．
整理得，
解得，
经检验：都原方程的根，
但不符合题意，舍去，
当时，为等腰三角形．

13.解：于，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
作交于点，垂足为，则，
，
，
，
在和中，
，
≌
，，
是等腰直角三角形，
，
；
由可得：，，，
≌，
，
如图，取中点，连、；
，，
，，，，
，
，
，
，
，
即与的夹角是
．
14.解：四边形是正方形，且，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
证明：在上取一点，使，连接，
由≌得是等腰直角三角形，
，，
≌，
，，
在和中，
，对顶角，
，
，，
，
是等边三角形，
，．

15.解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，连接、，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
．

16.
证明：过作的延长线于点，于点，
是正方形的对角线，
平分，

，
，
平分，
又，，
，
，，
四边形是矩形，

，
，
，
在和中
，
≌，
．

17.解：证明：如图，
，
，
设，
，
，
矩形中，，
，
，
，
；
过作交的延长线于点，过点作于点，
由得，
，
，
，
是中点，
，
又，，
≌，
，
，
在中，，
，
；
猜想．
证明：过点作交延长线于点，过作于点，
由得，，
设，则，，
在中，，
，
．
18.证明：四边形是矩形，
，，，，
，
，分别是，中点，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：，
四边形是平行四边形．
解：由得：，，
四边形是平行四边形，
，
当时，平行四边形是矩形，分两种情况：
当时，，，
解得：；
当时，，，
解得：；
综上所述：当为或时，四边形为矩形．
解：连接、，如图所示：
四边形为菱形，
，，，
，，
四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
又
当为时，四边形为菱形．
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