福建省厦门市厦外2022-2023高一下学期期末考试数学试题（含解析）

厦门市厦外2022-2023学年高一下学期期末考试
数学试题
（考试时间120分钟 满分150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号；所有题目的答案均在答题卡相应位置上作答，答在试卷上无效。
第I卷（本卷共计60分）
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.若，则（ ）
A. B. C. D.
2.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的周长是（ ）
A. B. C. D.
3.直线a，b互相平行的一个充分条件是（ ）
A. a，b都平行于同一个平面 B. a，b与同一个平面所成角相等
C. a，b都垂直于同一个平面 D.a平行于b所在平面
4.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，样本极差分别为和，则（ ）
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
5.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知高一某班男女生比例为3：2，为了解该班学生一周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样的方法抽取若干人进行调查，调查结果如下表，则估算该班全体学生在本周购买零食的支出的方差是（ ）
平均支出/元 方差
男生 40 6
女生 35 4
A.10.3 B.11.2 C.12 D.13.4
7.刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，
O为的重心，则过点A，B，O的平面截该刍甍所得的截面周长为（ ）
A.11 B. C.9 D.
8.已知平面向量，满足，，则在方向上的投影向量的模的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）.
9.在中，已知，，，则角（ ）
A.30° B.45° C.120° D.135°
10.下列描述正确的是（ ）
A.若事件A，B满足，则A与B是对立事件
B.若，，，则事件A与B相互独立
C.掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件
D.一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是
1.若非零复数、分别对应复平面内的向量、，且，线段的中点M对应的复数为，则（ ）
A. B. C. D.
12.如图所示，圆锥中，为高，为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形，C为母线的中点，点M为底面上的动点，且，点O在直线上的射影为H.当点M运动时，下列结论正确的是（ ）
A.三棱锥体积的最大值为
B.线段长度是线段长度的两倍
C.直线一定与直线垂直
D.H点的轨迹长度为
第II卷（本卷共计90分）
三.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13.成都某学校高中部学生中，高一年级有700人，高二年级有500人，高三年级有300人，为了了解该校高中学生的健康状况，用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高三年级学生中抽取15人，则n为_______.
14.已知，，点P在线段的延长线上，且，则P点的坐标为_____.
15.已知古典概型的样本空间和事件A和B，其中，，，，则______.
16.在中，若，且边上的中线长为2，则面积的最大值为______.
四.解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步.
17.（本题满分10分）微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数.小王的“微信步数排行榜”里有120个好友.
（1）若小王想统计性别对于运动步数的影响，他选择以分层抽样的方法选取一个30人的样本，已知小王“微信步数排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所选取的样本中有女性多少人
（2）某一天，小王的微信显示“您今天超越了75%的好友运动步数”，于是小王对120个好友的步数做了统计，作出如下频率分布直方图，若数据均匀分布，求这天大家的运动平均步数.并估算小王这天的运动步数（结果精确到0.01）.
18.（本题满分12分）
如图，几何体是由一个长方体截去一个三棱锥得到的，底面是正方形，E，F分别是棱，上的动点，且满足
（1）求证：平面；
（2）当时，求截面把几何体分成的两个部分的体积之比.
19.（本题满分12分）
如图，已知，，任意点M关于点A的对称点为S，S关于B的对称点为N
（1）用，表示向量；
（2）已知，连接，交于G点，若，求的余弦值.
20.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，E是的中点.
（1）过点E在面内画一条直线l，使得，写出做法，并说明理由；
（2）设直线l与交于F点，求与底面所成角的正弦值.
21.（本题满分12分）
我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理，化学、生物这4门再选科目中选择2门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门.
（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；
（2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.
22.（本题满分12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角A；
（2）已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记.
①当时，设的面积为S，求S的最小值：
②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立 若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1.【答案】D
【详解】因为，所以，所以.故选：D.
2.【答案】A
解：三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，可知平面图如下所示：
的底，腰，
为直角三角形，高，所以斜边，
直角三角形的周长是.故选：A
3.【答案】C
【详解】对于A：若a，b都平行于同一个平面，则a，b平行、相交或异面，故A错误；
对于B：若a，b为圆锥的两条母线，它们与底面所成角相等，但它们是相交直线，即a，b与同一个平面所成角相等，不能得出直线a，b互相平行，故B错误；
对于C：若a，b都垂直于同一个平面，则a，b互相平行，故C正确；
对于D：若a平行于b所在平面，则a，b平行或异面，故D错误：故选：C
4.【答案】B
【分析】根据折线图的分布可判断两个样本的均值、极差和方差的大小，故可得正确的选项.
【详解】观察图形可知，样本A的数据均在之间，样本B的数据均在之间，由折线图可得，，故，而样本极差，
又样本B的数据波动较小，故，故选：B.
5.【答案】C
【详解】，，
剩余部分几何体的体积为.故选：C
6.【答案】B
【详解】估算全班学生每周购买零食的支出的平均数，
方差.故选：B.
7.【答案】A
【详解】如图，延长交于点G，取的中点H，连接，，易得G为的中点，，，，即过点A，B，O的平面截该刍甍所得的截面为四边形，
，，
过点A，B，O的平面截该刍甍所得的截面周长为.故选：A
8.【答案】C
【详解】由，可得，
化简得，，又因为，
所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
在方向上的投影向量的模为，其最小值为.故选：C
9.【答案】BD
【详解】由，，，得，
因为，所以
又，所以或135°.故选：BD.
10.【答案】BC
【详解】对于A，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数为1，2，3”，事件B为“点数为2，4，6”，则，但是A，B不是对立事件，故A不正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，所以不是互斥事件，故C正确；
对于D，若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，若第一次摸到绿球，则第二次摸到红的概率为，所以第二次摸到红球的概率为，故D不正确.故选：BC.
11.【答案】ACD.
【详解】如图所示，由向量的加法及减法法则可知，，
又由复数加法及减法的几何意义可知对应的模，对应的模，因为，所以四边形OACB是矩形，则，又因为线段的中点M对应的复数为，所以不同，所以
如图以为圆心，为直径的圆恰好过坐标原点，所以A、B为圆与坐标轴的交点，若，，则，，所以，
但是，，故B错误，C正确；
若，，同理可得，，故B错误，C正确；故选：ACD.
12.【答案】BCD
【详解】设圆锥的底面半径为R，高为h，母线长为1，
因为圆锥的轴截面为面积等于4的等腰直角三角形，则其面积，解得，所以.
对于A中，如图所示，由可知，点M在以为直径的圆上，半径为1，
因为，所以点M到平面距离的最大值为.
又因为，故三棱锥的体积即为三棱锥体积，
故体积最大值为，所以A错误；
对于B中，由平面，平面，所以，
又由，且，所以平面，所以，
所以在直角三角形中，的长度是的长度的一半，即为线段的长度的一半，所以B正确；
对于C中，因为平面，且平面，则，
又因为，且，则平面PAM，
因为平面，则，
由是等腰直角三角形，可得，即为等腰三角形，
连接，因为C为的中点，故，
又因为，则平面，平面，所以恒成立，所以C正确；
对于D中，由C项可知平面，又由平面，且平面，
所以，过点C且与垂直的平面仅有一个，则H点的轨迹为以OC为直径的圆，因为，则H点形成的轨迹周长为，所以D正确.
故选：BCD.
13.【答案】75 14. 15.
16.【答案】
【详解】因，则
即
所以，又，所以.设边上的中线为，
则，则，
所以，当且仅当时等号成立，所以
故答案为：
17.（本题满分10分）（1）12；（2）运动平均步数1.26万步，小王的运动步数约为1.36万步
【详解】（1）由题意得好友中男性有72人，女性有48人，
选取30人的样本，则应选取女性人
（2）由解得，
则运动平均步数（万步）
运动步数在的频率为0.35，在的频率为0.8，
则75%位数位于间，小王的运动步数为（万步）
18.（本题满分12分）
（1）由题意，，四边形是平行四边形
，
又，面，面
面
（2）由（1）得，B，D，E，F四点共面
连接，，
设
面，面，
又面面
，即，，三线交于M点
面面
几何体是三棱台
所以截面把几何体分割为三棱台和剩下一部分几何体，分别记他们的体积为，.
设长方体的高为h，底面正方形的边长为a，
则
，记，S分别为，的面积，
，，
三棱台的高为，
，
（注：三棱台的体积也可通过大三棱锥与小三棱锥的体积差得到）
，即两部分的体积之比为7:13
（注：答案为13:7也可给分）
19.（本题满分12分）
（1）由题意得A是的中点，B是的中点，
（2）取作为基底，由题意，
，，
，即
B为的中点
20.（本题满分12分）
（1）做法：取中点M，连接。过点E作垂直，交于点F，所在直线即为所求。
理由：连接
平面平面，
且平面平面
平面
为等边三角形，M为中点
平面
平面
平面
平面
（2）取中点N连接，，过点F作，设。
，平面，
平面平面，且平面平面
平面
平面
，为的中位线
，
设与平面所成角为
21.（本题满分12分）（1）；（2）
【详解】（1）用a，b分别表示“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，
则所有选科组合的样本空间，，
设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，
则，，.
（2）设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是，，，
由题意知事件，，相互独立，由（1）知.
记“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，则，易知事件，，两两互斥，
根据互斥事件概率加法公式得
22.（本题满分12分）（1）；（2）①②存在，，
【详解】因为，所以由正弦定理可得
所以
所以，所以.
因为，
所以或或，
即或（舍去）或（舍去），又，所以；
（2）解：①因为，所以，又，，所以，.
如图，设，，则在中，由正弦定理，得，
所以
在中，由正弦定理，得，所以
所以
因为，所以，故当，即时，.
②假设存在实常数，k，对于所有满足题意的，，都有成立，
则存在实常数，k，对于所有满足题意的，，
都有
由题意，是定值，所以，是定值，
对于所有满足题意的，成立，
故有
因为，从而，即，
因为，为的内角，所以，从而，.

福建省厦门市厦外2022-2023高一下学期期末考试数学试题（含解析）