人教A版（2019）选修二5.1.1变化率问题（含解析）

人教A版（2019）选修二5.1.1变化率问题
（共19题）
一、选择题（共12题）
设函数 ，当自变量 由 变到 时，函数的平均变化率是
A． B． C． D．
已知函数 在 处的导数为 ，则
A． B． C． D．
某物体的运动规律是 ，则该物体在 到 这段时间内的平均速度
A． B．
C． D．
某司机看见前方 处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度 是关于刹车时间 的函数，其图象可能是
A． B．
C． D．
在 处的导数为
A． B． C． D．
已知函数 和 在区间 上的图象如图所示，则下列说法正确的是
A． 在 到 之间的平均变化率大于 在 到 之间的平均变化率
B． 在 到 之间的平均变化率小于 在 到 之间的平均变化率
C．对于任意 ，函数 在 处的瞬时变化率总大于函数 在 处的瞬时变化率
D．存在 ，使得函数 在 处的瞬时变化率小于函数 在 处的瞬时变化率
设函数 ，则当自变量 由 改变到 时，函数值的改变量
A． B．
C． D．
函数 的自变量 由 变化到 时，函数值的改变量 为
A． B．
C． D．
某市在一次降雨过程中，降雨量 （）与时间 （）的函数关系可近似地表示为 ，则在时刻 的降雨强度为
A． B． C． D．
已知 ． 等于
A． B． C． D．
一质点在时间段 内的平均速度为 ，则该质点在 时的瞬时速度是
A． B． C． D．
函数 在 处的导数可表示为 ，即
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共4题）
若质子的运动方程为 ，其中 的单位为 ， 的单位为 ，则质子在 时的瞬时速度为 ．
已知曲线 上两点 ，，当 时，割线 的斜率是 ；当 时，割线 的斜率是 ．
已知函数 ，则函数在区间 上的平均变化率为 ．
一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 （单位：）与时间 （单位：）之间的函数关系为 ，则：
（）前 内球的垂直方向的平均速度为 ；
（）在 这段时间内，球的垂直方向的平均速度为 ．
三、解答题（共3题）
已知直线 和曲线 相切，求切点坐标及 的值．
已知直线 为曲线 在点 处的切线， 为该曲线的另一条切线，且 ．
(1) 求直线 的方程；
(2) 求由直线 ， 和 轴围成的三角形的面积．
已知曲线 在点 处的切线与 轴，直线 围成的三角形的面积为 ，求 的值．
答案
一、选择题（共12题）
1. 【答案】A
【解析】 ，
，
所以函数的平均变化率为 ．
2. 【答案】B
3. 【答案】A
【解析】由平均速度的定义可知，物体在 到 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以 ．
4. 【答案】A
【解析】在刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；
由于是紧急刹车，所以汽车开始时速度下降非常快，图象较陡，排除选项B．
5. 【答案】B
【解析】因为 ，，
所以 ，
所以 ，
当 时，，
所以 ．
6. 【答案】D
【解析】因为 在 到 之间的平均变化率是 ， 在 到 之间的平均变化率是 ，，，
所以 ，
所以A，B错误；
易知函数 在 处的瞬时变化率是函数 在 处的导数，即函数 在该点处的切线的斜率，
同理函数 在 处的瞬时变化率是函数 在该点处的导数，即函数 在该点处的切线的斜率，
由题中图象知C错误，D正确．
7. 【答案】D
【解析】由公式 可得解．
8. 【答案】D
【解析】分别写出 和 时对应的函数值 和 ，
两函数值相减就得到了函数值的改变量，
所以 ．
9. 【答案】D
【解析】由 ，
得 ，
所以 ．
10. 【答案】C
11. 【答案】D
【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在 时的瞬时速度为 ．
12. 【答案】C
【解析】根据导数的定义可知C正确．
二、填空题（共4题）
13. 【答案】
【解析】因为 ，
所以所求瞬时速度为 ．
14. 【答案】 ；
15. 【答案】
【解析】当 时，，当 时，，
则该函数在区间 上的平均变化率为 ．
故答案为：．
16. 【答案】 ；
【解析】（）由题意知，，，即前 内球的垂直方向的平均速度为 ．
（）由题意知，，，即这段时间内球的垂直方向的平均速度为 ．
三、解答题（共3题）
17. 【答案】设直线 与曲线相切于点 ，则 ．
由导数的几何意义，得 ，解得 或 ，
所以切点坐标为 或 ．
当切点为 时，有 ，所以 ．
当切点为 时，有 ，所以 ，因此切点坐标为 或 ， 的值为 或 ．
18. 【答案】
(1) 因为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
设直线 过曲线 上的点 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ．
(2) 由 得 即直线 与 的交点坐标为 ．
又 ， 与 轴的交点坐标分别为 ，，
所以所求三角形的面积 ．
19. 【答案】因为 ，
所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ．
令 ，得切线与 轴的交点为 ，
令 ，得 ．
由题意知三角形面积为 ，
解得 ．

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