青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023高一下学期期末联考数学试题（含解析）

2022~2023学年度第二学期大通县期末联考
高一数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，则（ ）
A. B. C.2 D.5
2.如图，将直角绕直角边旋转，所得几何体为（ ）
A.圆锥 B.圆柱 C.圆台 D.球
3.已知，，，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6.四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A.平均数为3，中位数为2 B.中位数为3，众数为2
C.平均数为2，方差为2.4 D.中位数为3，方差为2.8
7.如图，在棱长为a的正方体中，点E为棱的中点，则点A到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.在中，已知，则的形状一定是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（ ）
A.A与B互为对立事件 B.A与B为相互独立事件
C.A与B相等 D.
10.已知直线l与三个不同的平面，则的充分条件是（ ）
A.， B.， C.， D.，
11.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A.a的值为0.005 B.估计成绩低于60分的有25人
C.估计这组数据的众数为75 D.估计这组数据的第85百分位数为86
12.如图，在中，，，直线交于点Q，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是_________.
14.某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理.则每个零件报废的概率为________.
15.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为，，且. 若山高m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为________.
16.已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为和，且两截面间的距离为1，则该球的体积为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.在平面直角坐标系中，已知，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，，求与的数量积.
18.暑假期间，某中学为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了200名学生并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，将其整理后分为5组画出频率分布直方图如图所示，但是第一、五两组数据丢失，只知道第五组的频率是第一组的2倍.
（1）求第一组、第五组的频率并补全频率分布直方图（用阴影涂黑）；
（2）现从第四、五组中按分层抽样方法抽取6人参加校古诗词比赛，经过比赛后，第四组得分的平均数，方差，第五组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？
19.如图，在长方体中，，，点P为棱上一点.
（1）试确定点P的位置，使得平面，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小.
20.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为，，.
（1）求的周长；
（2）求角C的度数.
21.为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节日氛围，某市文联在南山公园广场举办2023年正月十五“闹元宵 猜灯谜”灯谜展猜活动，活动分一、二两关，分别竟猜5道、20道灯谜. 现有甲、乙两位选手独立参加竟猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道 .假设猜对每道灯谜都是等可能的.
（1）从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率；
（2）从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率.
22.如图，四棱锥中，底面，为等边三角形，，，M是上一点，且，N是的中点.
（1）求证：；
（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积.
2022~2023学年度第二学期大通县期末联考·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 由题意，复数z之满足，则. 故选A.
2.A 由圆锥的定义可得直角绕直角边旋转，所得的旋转体为圆锥. 故选A
3.D 设向量与的夹角为θ，则，因为，所以. 故选D.
4.D 由余弦定理的推论，得，又，所以. 故选D.
5.B 由，，，得，解得. 所以，所以在上的投影向量为. 故选B.
6.C 对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，若平均数是2，且出现6点，则方差，平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为，方差为，
可以出现点数6，故D错误. 故选C.
7.C 在正方体中，平面，而平面，
则平面平面，在平面内过点A作于F，
连接，如图，因平面平面，于是得平面，
则的长即为点A到平面的距离，点E为棱的中点，在中，，，
即，解得，所以点A到平面的距离为，故选C.
8.B 由，得.即，又因为，所以，，所以，得，所以一定为直角三角形. 故选B.
9.BD 由对立事件是在一次试验中，故A错误；A，B为独立事件，B正确；事件不是在一次试验中，事件不会相等，由，可得C错误，D正确. 故选BD.
10.BC 对于A，，，两平面垂直于同一个平面可以相交，故A错；对于B，，，垂直于同一条直线的两平面平行，故B对；对于C，，，平行于同一个平面的两平面平行，故C对；对于D，，，平行于同一条直线的两平面可以相交，故D错. 故选BC.
11.ACD 对于A，由，得，故A正确；对于B，估计成绩低于60分的有人，故B错误；对于C，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75，故C正确；对于D，设这组数据的第85百分位数为m，则，解得，故D正确. 故选ACD.
12.BC 对于A，因为，所以，则，故A错误；对于B和C，因为A，M，Q三点共线，由共线定理可知，存在实数λ，使得，设，
所以，
所以解得即可得，，，故B，C正确；对于D，，故D错误.故选BC.
13. 由题意解得.
14. 0.02 零件报废即连续两次检测都不合格，则每个零件报废的概率为.
15. 由题意可知，m，m，由余弦定理可得（m），这辆汽车的速度为（）
16. 设球的半径为R，依题意，截面圆的面积分别为和，则截面圆的半径分别为3，4，可得球心到两截面圆的距离分别为，. 当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为1，所以，解得（舍负）；当球心在两截面之间时，可得，即，该方程无解.
综上，，故该球的体积为.
17.解：（1），，，
，
，，解得.
（2）由已知可得，，
.
18.解：（1）第一组的频率为x，则第五组的频率为2x.
依题意得，解得.
所以第一组的频率为0.05，则第五组的频率为0.10.
频率分布直方图如下：
（2）因为第4组和第5组的频数之比为2：1，
所以从第4组抽取4人，第5组抽取2人.
所以这6人得分的平均数.
方差.
19.解：（1）当P为棱的中点时，平面.
理由如下：设和交于点O，则O为的中点.
连结，又因为P是的中点，所以.
又因为平面，平面.
所以直线平面.
（2）由（1）知，，所以即为异面直线与所成的角或其补角.
因为，且，
所以.
又，所以.
故异面直线与所成角的大小为.
20.解：（1）由的面积，得，
，
又，.
则，故的周长为.
（2）由余弦定理，得，
，.
21.解.（1）设“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道，
则样本空间为，
，
所以，，根据古典概型的计算公式，得.
（2）设“任选一道灯谜，甲猜对”，“任选一道灯谜，乙猜对”，“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”，根据题意可得，，，.
因为，且，互斥，又甲、乙两位选手独立参加竞猜，所以B，C相互独立，从而，C，B，也相互独立.
所以.
即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为.
22.（1）证明：因为为正三角形，所以，又，所以.
又底面，平面，所以.
，，平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）解：因为底面，平面，
所以，又已知，，，平面，
所以平面，平面，所以，
所以即为二面角的平面角.
因二面角的大小为，所以.
由题意，可证，又为等边三角形，所以.
在中，.
因为底面，平面，
所以.知，，所以的面积.
因为，所以，
又因为N为中点，所以.
设点A到平面的距离为h，由，得，
解得，即点A到平面的距离为，
又,所以三棱锥的体积.

青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023高一下学期期末联考数学试题（含解析）