2022-2023北京市西城区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数，，，中，无理数是( )
A. B. C. D.
2. 若，则下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，直线，相交于点，，垂足为，，的大小是( )
A. B. C. D.
4. 下列命题中，是假命题的是( )
A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 如果，，那么 D. 负数没有平方根
5. 在平面直角坐标系中，点，，若直线与轴垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 以下抽样调查中，选取的样本具有代表性的是( )
A. 了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查
B. 了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查
C. 了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查
D. 了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取人进行调查
7. 以某公园西门为原点建立平面直角坐标系，东门和景点的坐标分别是和如图，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为，如图，景点和分别在线段，上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为，如图，景点和分别在线段，上，景点在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为下列，，的大小关系正确的是( )
A. B. 且 C. D. 且
8. 有张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式不重叠放置在大长方形中，根据图中标出的数据，张小长方形卡片的面积是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若是方程的解，则的值为______ ．
10. 在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，写出一个符合条件的点的坐标：______ ．
11. 若一个数的平方等于，则这个数是______ ．
12. 如图，在三角形中，，点到直线的距离是线段______ 的长，的依据是______ ．
13. 点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是______ ．
14. 解方程组，小红的思路是：用消去未知数，请你写出一种用加减消元法消去未知数的思路：用______ 消去未知数．
15. 如图，四边形纸片，，折叠纸片，使点落在上的点处，点落在点处，折痕为若，则 ______
16. 小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示已知该环形跑道一圈的周长大于．
小明恰好跑圈时，路程是否超过了？答：______ 填“是”或“否”；
小明共跑了且恰好回到起点，那么他共跑了______ 圈
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解方程组；
解不等式组，并写出它的所有整数解．
19. 本小题分
如图，点，分别在，的延长线上，直线分别交，于点，，，．
求证：
请将下面的证明过程补充完整：
证明：，
______ ______ ．
______ ______ 填推理的依据
，
______ ．
______ ______ ______ 填推理的依据
．
，______ 填推理的依据
．
20. 本小题分
为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品已知同类图书中每本书价格相同，购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元．
科技类图书和文学类图书每本各多少元？
经过评选有名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书如果学校用于购买奖品的资金不超过元，那么科技类图书最多能买多少本？
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，将三角形先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到三角形，其中点，，分别为点，，的对应点．
在图中画出三角形；
求三角形的面积；
若三角形内一点经过上述平移后的对应点为，直接写出点的坐标用含，的式子表示．
22. 本小题分
北京市节水条例自年月日起实施学校组织了“珍惜水资源，节水从我做起”的活动，号召大家节约用水为了解所居住小区家庭用水的情况，小芸从该小区的住户中随机抽取了部分家庭，获得了这些家庭月份用水量单位：的数据，并对这些数据进行整理和描述数据分成组：，，，，下面给出了部分信息：
月份用水量的数据的扇形图、频数分布直方图分别如图，图所示．
月份用水量的数据在这一组的是：
根据以上信息，回答下列问题：
小芸共抽取了______ 户家庭进行调查；
扇形图中，这一组所对应的扇形的圆心角的度数为______ ， ______ ；
补全频数分布直方图；
请你根据小芸的调查结果，估计该小区户家庭中有多少户家庭年用水量超过．
23. 本小题分
将三角形和三角形按图所示的方式摆放，其中，，，，点，，，在同一条直线上．
将图中的三角形绕点逆时针旋转，且点在直线的下方．
如图，当时，求证：；
当时，直接写出的度数；
将图中的三角形绕点逆时针旋转，如图，当点首次落在边上时，过点作，作射线平分，作射线平分交的反向延长线于点，依题意补全图形并求的度数．
24. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，对于点，将点称为点关于点的关联点．
点关于点的关联点的坐标是______ ；
点，，以为边在直线的下方作正方形点，，关于点的关联点分别是点，，若三角形与正方形有公共点，直接写出的取值范围；
点，关于点的关联点分别是点，，且点在轴上，点为原点，三角形的面积为，求点的坐标．
25. 本小题分
在边长为的正方形网格中，网格线交点称为格点，顶点都在格点上的多边形称为格点多边形将格点多边形边上含顶点的格点个数记为，内部的格点个数记为，其面积记为，它们满足公式小东忘记了公式中，的值，他想到可以借助两个特殊格点多边形求出，的值小东画出一个格点四边形如图，它所对应的，，．
请在图中画出一个格点三角形，并直接写出它所对应的，，的值；
求，的值．
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：
．
已知点．
若点与点重合，则 ______ ；
若点，则 ______ ；
正方形四个顶点的坐标分别是，，，，其中，在正方形内部有一点，动点在正方形的边上及其内部运动若，求所有满足条件的点组成的图形的面积用含，，的式子表示；
若点，，，且为奇数，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：实数，，，中，无理数是，
故选：．
根据无理数的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，
选项错误，不符合题意；
，
，
选项错误，不符合题意；
，
，
选项正确，符合题意；
，
，
选项错误，不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
利用垂直定义和对顶角相等进行计算即可．
此题主要考查了垂线与对顶角、邻补角，关键是掌握垂线定义和对顶角相等的性质．
4.【答案】
【解析】解：、如果两个角相等，那么它们是对顶角，是假命题，符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
C、如果，，那么，是真命题，不符合题意；
D、负数没有平方根，是真命题，不符合题意，
故选：．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5.【答案】
【解析】解：点，，若直线与轴垂直，
，
解得，
故选：．
点，，直线与轴垂直，即点，点到轴的距离相等，也就是其纵坐标相等，解即可．
本题考查点的坐标，理解平面内点的坐标的定义，掌握平面内点的坐标确定点的位置的方法是正确解答的前提，理解“点，，直线与轴垂直，就是它们纵坐标相等”是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：了解某公园的平均日客流量，不能只选择周末或节假日，这样选取的样本就不具有代表性，因此选项A不符合题意；
B.了解某校七年级学生的身高，不能只选择某班男生，这样选择的样本比较片面，不具有代表性，要从七年级的学生中，随机选取部分男生和女生，因此选项B不符合题意；
C.了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，不能只对小区活动中心的老年人进行调查，要将小区中的所有居民，即不同年龄阶段，不同职业水平，不同生活习惯的居民，随机进行抽样，因此选项C不符合题意；
D.了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取人进行调查，具有代表性，因此选项D符合题意；
故选：．
根据选择样本的代表性结合具体的问题情境逐项进行判断即可．
本题考查抽样调查的可靠性，理解抽样调查的可靠性，抽取样本的代表性是正确判断的前提．
7.【答案】
【解析】解：根据题意可得，，
；
将线段平移，可得到线段，线段移可得到线段，
，，
，
，
故选：．
根据三角形三边的关系即可证明，根据平移的性质可证明．
本题考查了三角形三边关系平移的性质，题目新颖，灵活运用所学知识是关键
8.【答案】
【解析】解：设小长方形卡片的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
，
张小长方形卡片的面积是．
故选：．
设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：将代入原方程得：，
解得：，
的值为．
故答案为：．
将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
10.【答案】答案不唯一
【解析】解：设点，
点在第四象限，
，，
点到两坐标轴的距离相等，
，
因此点的坐标可能为答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
根据平面内点的坐标特征，即点的坐标确定点的位置的方法进行解答即可．
本题考查点的坐标，理解点的坐标的定义，掌握点的坐标确定点的位置的方法是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据平方根的定义得出即可．
本题考查了对平方根和实数的应用，主要考查学生的理解能力和记忆能力．
12.【答案】 垂线段最短
【解析】解：，
，
点到直线的距离是线段的长，
根据垂线段最短可得，
故答案为：，垂线段最短．
根据点到直线的距离的定义解答即可；
本题考查了点到直线的距离，正确把握定义是解题的关键，熟知垂线段最短的性质．
13.【答案】点
【解析】解：，
，
，
则表示实数的点是点，
故答案为：点．
先估算出在哪两个整数之间，再结合数轴即可求得答案．
本题考查实数与数轴的关系，估算出在哪两个整数之间是解题的关键．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：解方程组，小红的思路是：用消去未知数，用加减消元法消去未知数的思路：用消去未知数，
故答案为：答案不唯一．
利用加减消元法，进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
由折叠性质可得，
，
，
故答案为：．
根据平行线性质及折叠性质求得的度数，继而求得的度数．
本题考查平行线的性质，结合已知条件求得是解题的关键．
16.【答案】否
【解析】解：小明恰好跑圈时，路程没有超过了，
故答案为：否；
小明恰好跑圈时，路程超过了，但小于，
所以小明跑圈时，路程超过但小于，
又因为一圈的路程比多，
所以小明共跑了且恰好回到起点，那么他共跑了圈．
故答案为：．
由题意可知，小明恰好跑圈时，路程超过了，但没有达到；
由可知，小明恰好跑圈时，路程比多，但小于，再根据一圈的路程比多，据此可得答案．
本题考查了函数的图象，理清题意，利用数形结合的方法是解答本题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，二次根式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：，
，得，
．
把代入，得，
．
所以这个方程组的解是；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集为，
它的所有整数解为，，，．
【解析】利用加减消元法求解可得；
先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，进一步得到它的所有整数解即可求解．
本题考查的是解二元一次方程组与一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则及加减消元法解方程组是解答此题的关键．
19.【答案】 两直线平行，内错角相等 同位角相等，两直线平行 对顶角相等
【解析】证明：，
．
两直线平行，内错角相等
，
．
同位角相等，两直线平行，
，
，对顶角相等，
．
故答案为：，，，两直线平行，内错角相等，，，，同位角相等，两直线平行，对顶角相等．
根据平行线的判定定理及性质定理即可得到结论．
本题主要考查了平行线的判定定理及性质定理，熟记性质及判定定理并能熟练运用是解决本题的关键．
20.【答案】解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元，
根据题意得：，
解得：．
答：科技类图书每本元，文学类图书每本元；
设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：科技类图书最多能买本．
【解析】设科技类图书每本元，文学类图书每本元，根据“购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之可求出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：如图，即为所求；
的面积；
由题意，．
【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
平移平移变换的性质判断即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质属于中考常考题型．
22.【答案】
【解析】解：小芸共抽取了户，
故答案为：；
扇形图中，这一组所对应的扇形的圆心角的度数为：，
第一组的频数为：，
；
故答案为：，；
如图所示；
，
被调查的户家庭中有户家庭月份的用水量超过，
户．
答：估计该小区户家庭中约有户家庭年用水量超过．
根据第三组的频数和所占的百分比即可求出答案；
用乘第三组占的百分比即可得到扇形圆心角，用第一组的频数除以总数即可求出；
根据所求，即可补全频数分布直方图；
用乘以家庭年用水量超过的百分比即可．
本题考查的是频数率分布直方图、扇形图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】证明：．
点，，，在同一条直线上．
，
，
．
解：过点作，
，
，
，，
，
，
又，
，
．
解：补全图形如下：
过点作，设，，则，
，
，
，，
为的平分线，为的平分线，
，，
，
，
，
，
，
解得：．
．
【解析】由得，进而得，然后根据，点，，，在同一条直线上得，据此可得出结论；
过点作，则，由平行线的性质得，，进而得，，据此可求出的度数；
先按照题意补全图形，在过点作，设，，则，由得，，再根据角平分线的定义得，，进而得，然后根据得，据此列出关于的方程，解方程求出即可．
此题主要考查了图形的旋转及性质，平行线的性质，角平分线的定义，解答此题关键是准确识图，熟练掌握图形的旋转变换，理解两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
24.【答案】
【解析】解：，，
，，
点关于点的关联点的坐标是．
故答案为：；
点，，关于点的关联点分别是点，，，
，，，
正方形中，，，
，
，，
，
，
若三角形与正方形有公共点，
或，
或；
点，关于点的关联点分别是点，，
点的坐标为，点的坐标为．
点在轴上，
，即，
的坐标为，点的坐标为．
三角形的面积为，
，即，
或．
或．
点的坐标为或．
根据关联点的定义即可求解；
先根据关联点的定义求出，，，那么，根据正方形的性质得出，，然后根据三角形与正方形有公共点，列出关于的不等式组，求出解集即可；
先根据关联点的定义求出点的坐标为，点的坐标为由点在轴上，得到，那么的坐标为，点的坐标为然后根据三角形的面积为，列出关于的方程，解方程即可．
本题考查了新定义，坐标与图形性质，点的坐标，正方形的性质，三角形的面积等知识，正确理解新定义是解题的关键．
25.【答案】解：所作三角形如图，
由图得，在四边形中，，，，
在三角形中，，，；
有公式得：
，
解得：．
【解析】作出三角形，并求出、、即可；
利用公式列出方程组，解答即可．
本题考查了作图能力，方程组的计算是解题关键．
26.【答案】
【解析】解：由题意得：，
故答案为：．
由题意得：，
故答案为：．
设点的坐标为，
，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
，
，，
所有满足条件的点组成的图形是如图所示的阴影区域，面积为，
由题意得，，
当时，，
，
，
，
为奇数，即为奇数，
；
当时，，
此时满足且为奇数，
，
当时，，
，
，
，
为奇数，即为奇数，
；
综上，或或．
根据所给的定义进行求解即可；
设点的坐标为，则，然后讨论、的取值范围，去绝对值，根据确定、的取值范围，从而求出答案；
求出，然后讨论的取值范围，去绝对值，然后根据，且为奇数进行求解即可．
本题考查了一次函数的综合应用，利用分类讨论的思想是解题的关键．
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2022-2023北京市西城区七年级（下）期末数学试卷（含解析）