康托尔集位于一条线段上的点的集合

康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合。

取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。

中文名

康托尔集

领域

数学

引入者

格奥尔格·康托尔

发现者

亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯

引入

1883年，德国著名数学家康托尔(G．Cantor)构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到一个离散的点集F，称为康托尔三分集。

康托三分集

概念解释

取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。

称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。操作n次后边长r=(1/3)^n，边数(r)=2^n，根据公式D=lnN(r)/ln(1/r),D=ln2/ln3=0.631。

所以康托尔点集分数维是0.631。

性质特点

康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。

康托三分集具有

（1）自相似性；

（2）精细结构；

（3）无穷操作或迭代过程；

（4）传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。

（5）长度为零；

（6）简单与复杂的统一。[2]

康托尔集P具有三条性质：

1、P是完备集。

2、P没有内点。

3、P的基数为c。

康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。[1]

参考资料

1.康托尔集是什么，康托尔什么时候提出康托尔集的？·大人物

2.康托尔集是什么，康托尔什么时候提出康托尔集的？·趣历史