2.4 用因式分解法求解一元二次方程同步练习2023—2024北师大版数学九年级上册（含答案）

2.4 用因式分解法求解一元二次方程同步练习
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A．3 B． C．或1 D．3或
2．已知，则代数式（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如果与互为相反数，那么x的值为（　　）
A．1 B． C．1或 D．2
4．已知一元二次方程的解是，，则一元二次方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．如图，正方形内接于．已知和的面积分别是，和，，那么正方形的边长是（ ）
A．1 B． C． D．2
6．已知实数a、b、c满足.则代数式ab+ac的值是( ).
A．-2 B．-1 C．1 D．2
7．如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．已知四个多项式，，，，下列说法中正确的个数为（ ）
①若，则
②若，则
③若x为正整数，且为整数，则
④若对任意x都有，则当时，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．若实数x、y满足，则 ．
10．已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为
11．若实数、满足，则 ．
12．方程的解是，则方程的解是 ．
13．关于的方程的所有根都是比小的正实数，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
14．解方程
(1)；
(2)．
(3)
(4)
15．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是等腰三角形时，求的值．
16．如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)如图①，若，，求的长．
(3)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
17．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，
解这个方程得：，．
当时，，∴；当时，，∴
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)利用换元法解方程得到方程的解为______．
(2)若，求的值．
(3)利用换元法解方程：．
参考答案
1--8ABCAD ADB
9．1
10．15
11．3
12．
13．或
14．（1）解：
；
（2）令，则原式变形为，
，
∵，
∴，
∴．
（3）解：，
，
或，
解得：，；
（4）解：，
，
或，
解得：，．
15．（1）证明：∵，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：当时，原方程为：，
解得：，
当时，原方程为：，
∴，．
由三角形的三边关系，可知、、能围成等腰三角形，
∴符合题意；
当时，则有：，
解得：，
∴原方程为：，
解得：．
由三角形的三边关系，可知、、能围成等腰三角形，
∴符合题意．
综上所述：的值为或．
16．（1）解：结论：四边形是正方形．理由如下：
是由绕点按顺时针方向旋转得到的，
，，
又，
，
四边形是矩形，
由旋转可知：，
四边形是正方形；
（2）如图①，过点作于点．则
四边形是正方形，
，，
∴∠DAE＋∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝EAB，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，，
根据勾股定理得：，
，
或（舍去），
，
故答案为：12．
（3）结论：CF=EF
证明：如图②，过点作于点，
，
，
，
，
由旋转可知：，
由（1）可知：四边形是正方形，
，
，
．
17．（1）设，则，
于是原方程可变为，
解这个方程得：，，
当时，，
移项得：，
∵，
∴此方程无解，
当时，，
解得，；
故答案为：，；
（2）设，则该方程变为．
解得：，．
∵
∴，即
（3）设，则，
原方程变形为：，
去分母，得，
即
解得，．
经检验，是分式方程的根．
∴
即
解得：，．
经检验，是分式方程的根．
∴原分式方程的解为：，．

2.4 用因式分解法求解一元二次方程同步练习2023—2024北师大版数学九年级上册（含答案）