内蒙古自治区赤峰市2022-2023高一下学期期末联考数学试卷（含答案）

赤峰市高一年级学年联考数学试题
数学答案 2023．07
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C D D A B C AB BCD ACD CD
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
1
13．6 . 14． 5 . 15． . 16． ( ，2 ．
2
17．（10分）
a2 + c2 b2
解：（1）因为c (acosB bsinA) = a2 b2 ，由余弦定理得c a bsinA
2 2
= a b ，
2ac
b2 + c2 a2
整理得sin A = = cos A ……………………………………………………3分
2bc
因为 A (0,π)，所以sin A 0，所以cos A 0，
π
则 tan A =1，所以 A = . …………………………………………………………………5分
4
（2）由余弦定理得a2 = b2 + c2 2bccos A可得：4 = b2 + c2 2bc (2 2 )bc，
4
则bc = 4+ 2 2 ， ………………………………………………………………………8分
2 2
当且仅当b = c = 4+ 2 2 时，等号成立， ……………………………………………………9分
1 2
所以，三角形 ABC的面积最大值为: (4+ 2 2) = 2 +1． ………………………10分
2 2
18．（12分）
解：（1）设由分层抽样可得分数在 70,80)的人数与分数在 80,90)的人数之比为3:5，
所以，3:5 = 0.006 : x，则 x = 0.01， …………………………………………………………2分
1 (0.04+ 0.06 2+ 0.1 2+ 0.2+ 0.3)
y = = 0.014， ……………………………………4分
10
又由频率分布直方图可知：分数在 60,70)的频率为 0.04，分数在 70,80)的频率为 0.06，
分数在 80,90)的频率为 0.1，分数在 90,100)的频率为 0.2，分数在 100,110)的频率为 0.3，
分数在 110,120)的频率为 0.14，分数在 120,130)的频率为 0.1，分数在 130,140)的频率为
0.06．则平均数= 0.04 65+ 0.06 75+ 0.1 85+ 0.2 95+ 0.3 105+ 0.14 115+ 0.1 125+ 0.06 135
=102.8（分） ……………………………………………………………………6分
（2）由题意可知分数在 130,140)的频率为 0.06，所以前 5%在该组，不妨设第 5%名的分数为 x0 ，
则可得等式为 (140 x0 ) 0.006 = 5% (140 x0 ) 0.006 = 0.05，…………………………8分
0.05 50
x0 =140 =140 131.667……………………………………………………10分
0.006 6
∵ x0 =131.667 132，故小明能被选.……………………………………………………12分
19．（12分）
2 1
解：（1） 向量m = ( 3 cos x，1) ，n = (sin x，cos x ) ( 0)且函数 f (x) = m n ，
2
1
{#{QQABaQSEAgoggCgIAAgIBAAAABRhhCCAAQQHXQwCCEEIQIQkkAACGAAACKKggGGAhEEAAMIssAAAyyRBNABAA=}}#}}
1 3 cos 2 x +1 1f (x) = 3 sin x cos x + cos2 x = sin 2 x + ……………………………2分
2 2 2 2
3 1
= sin 2 x + cos 2 x = sin 2 x + ，………………………………………………3分
2 2 6
2
又因为函数 y = f (x)的最小正周期T = ，所以T = = = ，所以 = 2， ……………4分
2 2 2

所以， f ( x) = sin 4x + ； ……………………………………………………………………6分
6

（2）将函数 y = f (x)的图象向右平移 个单位长度后，得到 y = sin 4x 的图象.
8 3

再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 y = sin 2x 的图象，
3

所以 g ( x) = sin 2x ， ………………………………………………………………………8分
3

根据正弦函数的单调递增区间，令2x 2k ,2k + ， k Z ， 3 2 2
5
解得 f (x) 的单调递增区间为： + k , + k ， k Z . ………………………………10分
12 12
2
当 x （0, ）时， 2x ，由正弦函数的图象可知：
2 3 3 3
3
函数 y = g(x)的值域为 ( ,1] …………………………………………………………12分
2
20．（12分）
证明：（1）因为M ， N 分别为PC， PB的中点，所以MN //BC ，又 AD//BC ，
所以MN //AD ，则M , N , A, D四点共面. ………………………………………………2分
因为N 是 PB的中点，PA = AB，所以 AN ⊥ PB．
因为PA⊥平面 ABCD，所以PA⊥ AD．
在直角梯形中， AB ⊥ AD ．
而PA AB = A，PA， AB 平面PAB，
因此 AD ⊥平面PAB．
所以 AD ⊥ PB ． ……………………………………………………………………………4分
又因为 AN ⊥ PB，且 AN AD = A， AN ， AD 平面 ADMN ，
所以PB ⊥平面 ADMN ．
因为DM 平面 ADMN ，所以PB ⊥ DM ． ……………………………………………6分
（2）连接DN ，由（1）知PB ⊥平面 ADMN ，故 BDN 是BD与平面 ADMN 所成角．………8分
设PA = AD = AB = 2BC = a ，于是PB = PA2 + AB2 = 2a，
1 2
BN = PB = a．另一方面，BD = AB2 + AD2 = 2a．
2 2
因此，在直角三角形BDN 中，
BN a 1
sin BDN = = = ……………………………………10分
BD 2a 2

所以BD与平面 ADMN 所成角的为 ．……………………12分
6
21．（12分）
解：（1）因为 A产品的利润 y与投资 x成正比，所以设 y = kx(k 0)，由函数图象可知，当 x =1时，
y = 0.25，所以有0.25 = k ，所以 y = 0.25x(x 0)；…………………………………………………2分
因为 B产品的利润 y与投资 x的算术平方根成正比，
所以设 y = m x(m 0)，由函数图象可知：当 x = 4时， y = 4，
2
{#{QQABaQSEAgoggCgIAAgIBAAAABRhhCCAAQQHXQwCCEEIQIQkkAACGAAACKKggGGAhEEAAMIssAAAyyRBNABAA=}}#}}
所以有4 = m 4 m = 2，所以 y = 2 x(x 0)； ……………………………………………4分
（2）① 将 200万元资金平均投入两种产品的生产，
所以 A产品的利润为0.25 100 = 25，B产品的利润为 y = 2 100 = 20，
所以获得总利润为25+ 20 = 45万元； ……………………………………………………6分
② 设投入 B产品的资金为 x(0 x 200)万元，则投入 A产品的资金为 (200 x) 万元，
设企业获得的总利润为w万元，
1
所以w = 0.25(200 x)+ 2 x = x + 2 x +50， ………………………………………8分
4
1 1
令 x = t(0 t 10 2)，所以w = f (t) = t
2 + 2t +50 = (t 4)2 +54，
4 4
当 t = 4时，即当 x =16 时，w有最大值，最大值为54， ……………………………10分
所以当投入 B产品的资金为16万元，投入 A产品的资金为184万元，该企业获得的总利润
最大，其最大利润为54万
元. …………………………………………………………………………………………12分
22.（12分）
解：（1）因为函数h(x) = x2 +bx+ c是偶函数，故b = 0. …………………………………………1分
x2 1 1
而 h( 1) =1+ c = 0，可得c = 1，则h(x) = x2 1，故 f (x) = = x ………………………2分
x x
1
易知 f (x) = x 在 x [1,2]上单调递增，故 f (x)min = f (1) = 0， f (x)
3
max = f (2) = ；
x 2
故 f (x) [0,
3] ………………………………………………………………………………………3分
2
（2）F(x) = x
2 + 1 2t(x 1) = (x 1)2 2t(x 1)+ 2, x [1,2]
2 …………………………4分 x x x x
令m = x 1 , x [1,2]
3
，故m [0, ]； ………………………………………………………………5分
x 2
则 F(m) = m
2 2tm+ 2,m [0, 3]，对称轴为m = t
2
①当 t 0
3
时，F(m) =m2 2tm+ 2在m [0, ]上单增，故F(m)min = F(0) = 2； ……………6分 2
t (0, 3 ) 3②当 时，F(m) =m2 2tm+ 2在m [0,t)上单减，在 (t, ]上单增，
2 2
故 F(m)min = F(t) = 2 t
2
； ………………………………………………………………………7分
3
③当 t 时，F(m) =m2 2tm+ 2在m [0,
3] 3 17上单减，故F(m)min = F( ) = 3t ；
2 2 2 4

2,(t 0)

3
故函数 F(m) 的最小值 g (t ) = 2 t
2 , (0 t ) …………………………………………………8分
2
17 3
3t, t
4 2
3 2
（3）由（2）知当 t (1, )时， g(t) = 2 t ；
2
t
则G(t) = log2 + 2t + tg(t) = log
t
2 + 2t + 2m mt
2 = 0 ，即mt
2 2t 2m = log t2 ………9分 3 3 3
3
令 1(x) = mx
2 2x 2m， 2 (x) = log
x
2 ， x (1, ) 3 2
3
{#{QQABaQSEAgoggCgIAAgIBAAAABRhhCCAAQQHXQwCCEEIQIQkkAACGAAACKKggGGAhEEAAMIssAAAyyRBNABAA=}}#}}
3
问题等价于两个函数 1(x) 与 2 (x)的图象在 x (1, )上有且只有一个交点；…………………10分
2
2
由m 0，函数 1(x) = mx 2x 2m
1
的图象开口向下，对称轴为 x = 0，
m
3 3
1(x) 在 x (1, )上单调递减， 2 (x)在 x (1, )上单调递增，
2 2
1
1 (1)

2 (1) 2 m log 2 3 m log23 2
结合图形知， 3 3 m log23 2；
m 1 m 81 2
2 2 3 log

2 4 2
故m ( , log2 3 2) ………………………………………………………………………………12分
4
{#{QQABaQSEAgoggCgIAAgIBAAAABRhhCCAAQQHXQwCCEEIQIQkkAACGAAACKKggGGAhEEAAMIssAAAyyRBNABAA=}}#}}2023年赤峰市高一年级学年联考试卷
数学
2023.07
考试范围：必修1，必修2。
本试卷共22题，共150分，共8页，考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内。
选择题答案必须使用铅笔填图，非选择题答案使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚。
请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（ ）
三棱柱 四棱锥 四棱柱 五棱台
已知非零平面向量、，“”是“”的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
若，则（ ）
为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务。根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的模型：。已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为。若银行希望实际还款比例为，则贷款人的年收入约为（参考数据：，）（ ）
万元 万元 万元 万元
空间四边形的对角线，，分别为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则（ ）
已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（ ）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
甲袋中有2个黑球，2个白球，乙袋中有2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全相同。从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（ ）
个球都是黑球的概率为 个球都是白球的概率为
个黑球个白球的概率为 个球中最少有个黑球的概率为
函数（）在一个周期内的图像如图所示，下列结论正确的是（ ）
的图像关于点对称
的图像的对称轴为直线
若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
直三棱柱的体积是
的最小值为
直三棱柱的外接球表面积是
三棱锥的体积与点的位置无关
恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达以上为贫困，为温饱，为小康，为富裕，低于为最富裕。国家统计局年月17日发布了我国年居民收入和消费支出情况，根据统计图表，如图甲、乙所示，下列说法正确的是（ ）
年农村居民人均可支配收入增长额 超过城镇居民人均可支配收入增长额
年城镇居民收入增长率快于农村居民
从恩格尔系数看，可认为我国在年达到富裕
年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填写到答题卡对应的位置上。
已知不等式的解集为，若函数（），则 。
已知复数满足：，则 。
如图，平行四边形的对角线交于点，线段上有点满足，线段上有点满足，设，，已知，则 。
在锐角中，角的对边分别为，且满足，若恒成立，则实数的取值范围为 。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（10分）已知分别为三个内角的对边，且。
（1）求；
（2）若，求面积的最大值。
（12分）赤峰市某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计（若该校全体学生的成绩均在分），按照，，，，，，，的分组做出频率分布直方图如图所示，若用分层抽样从分数在内抽取8人，则抽得分数在的人数为3人。
（1）求频率分布直方图中的的值，并估计本次考试成绩的平均数（以每一组的中间值为估算值）；
（2）该高三数学组准备选取数学成绩在前的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗？
（12分）已知向量，（），函数，其最小正周期为。
（1）求的表达式；
（2）将函数的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，求函数的单调增区间和当时，函数的值域。
（12分）如图，在四棱锥中，底图为直角梯形，，，，且，分别为的中点。
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的大小。
（12分）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润与投资的单位均为万元）。
（1）分别求两种产品的利润关于投资的函数解析式；
（2）已知该企业以筹集到200万元资金，并将全部投入两种产品的生产：
①若将200万元资金平均投入到两种产品的生产，可获得总利润多少万元？
②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？
图（1） 图（2）
（12分）已知函数是偶函数，且，。
（1）当时，求函数的值域；
（2）设，，求函数的最小值；
（3）设，对于（2）中的，是否存在实数，使得函数，在时有且只有一个零点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。

内蒙古自治区赤峰市2022-2023高一下学期期末联考数学试卷（含答案）