四川省雅安市重点高中2022-2023高一上学期9月开学测试数学试题（含解析）

四川省雅安市重点高中2022-2023学年高一上学期9月开学数学试题
一、单选题（每小题5分，共6题，共60分.）
1．不等式 的解集为（　　）
A． 或 B．
C． 或 D．
2．将分解因式，所得结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．方程组的解组成的集合为（　　）
A． B．或
C．， D．
4．关于x的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知集合，若.则实数a的值为（　　）
A．1 B．1或 C． D．或
6．如果集合 中只有一个元素，则a的值是（　　）
A．0 B．-1 C．0或1 D．0或-1
7．若集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
8．已知集合，.若，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．函数的值域（　　）
A． B． C． D．
10．关于x的一元二次方程有两个实数根，，则代数式写的最小值是（　　）
A．-8 B．-5 C．1 D．2
11．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　）
A． B． C． D．
12．设集合，.则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共4题，共20分）
13．因式分解：　 　.
14．已知，则的值等于　 　.
15．已知，，，则代数式的值为　 　.
16．已知函数 在区间 上不单调，则实数a的取值范围是　 　.
三、简答题（共6小题，共70分）
17．
（1）解不等式；
（2）已知方程有一个根，求整数m的值.
18．已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值范围
19．设，，，
（1）分别求，
（2）若，求实数a的取值范围.
20．已知集合，.
（1）在①，②，③这三个条件中选择一个条件，使得，并求；
（2）已知，求实数a的取值范围.
21．已知函数的最小值为-2，求实数a.
22．设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合T为集合S的“耦合集”.
（1）若集合，求集合的“耦合集”；
（2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证对于任意，有；
（3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：结合二次函数的图象解不等式得 ，
∴不等式的解集为 ．
故答案为：B．
【分析】结合二次函数的图象解不等式，可得不等式的解集。
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程
【解析】【解答】解：a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2=[(a+1)(a-1)]2=(a+1)2(a-1)2.
故选：D
【分析】利用完全平方公式和平方差公式即可得答案.
3．【答案】D
【知识点】集合的表示法
【解析】【解答】解：由得或，
故方程组的解组成的集合为.
故选：D
【分析】首先求出方程组的解，再用列举法表示集合.
4．【答案】C
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得x1，
故不等式的解集为 .
故选：C
【分析】将原不等式化为，即可求出.
5．【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】解：因为 ，
所以a-2=-1或2a2-a-2=-1，
所以a=1或a=-，
经检验得a=-，
故选：C
【分析】由题可知a-2=-1或2a2-a-2=-1，即求.
6．【答案】D
【知识点】集合中元素个数的最值
【解析】【解答】 时， ，满足题意，
时， ， ，此时 ，
综上 或 ，
故答案为：D．
【分析】按 和 分类讨论．
7．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为 ，，
所以 .
故选：D
【分析】先对集合A，B进行化简，再由并集运算即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】解：当时，m+1>2m-1，解得m<2，成立；
当时，，解得，成立；
综上所述，
故选：C
【分析】讨论，两种情况，分别计算得到答案.
9．【答案】D
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：令t=x2，0<t<1，所以，
因为对勾函数在0<t<1上单调递减，且没有最大值，
所以，
所以.
故选：D
【分析】令t=x2，将原式整理成，利用对勾函数易得在0<t<1上单调递减，且没有最大值，即可求得答案.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；一元二次方程
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，，
所以，解得，
因为，是的两个实数根，
所以由韦达定理得x1+x2=2(k+2)，x1x2=k2+2k
所以，
当时，y=(k+5)2-8的值随着k的增大而增大，
所以当时， 的最小值为(-2+5)2-8=1，
故选：C
【分析】根据得到，再将所求的式子进行变形，用韦达定理将式子变成关于k的二次函数，再由二次函数的性质求最值即可.
11．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为 ，，
所以，
所以.
故选：C
【分析】依题意图中阴影部分表示，再根据交集、补集的定义计算可得.
12．【答案】B
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】解：对于集合 ，，
∵2k+1是奇数集，k+2是整数集，
∴ ，
故选：B
【分析】将集合M、N中表达式化为、，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定M、N的包含关系.
13．【答案】（x+2）（x-7）
【知识点】一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得 （x+2）（x-7） .
故答案为： （x+2）（x-7）
【分析】由十字相乘法因式分解即可.
14．【答案】0
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：因为 ，所以b-a=ab(a≠0，b≠0)即a-b=-ab(a≠0，b≠0)，
所以 ，
故答案为：0
【分析】根据可得a-b=-ab(a≠0，b≠0)，代入所求的式子即可得到答案.
15．【答案】3
【知识点】一元二次方程
【解析】【解答】解：因为 ，，，
所以
，
故答案为：3
【分析】将变形成，代入a，b，c即可得到答案.
16．【答案】
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】若 ，则 ， 在 为减函数，不符题意，舎；
若 ，则 为二次函数，对称轴为 ，因为 在 不单调，故 ，所以 ，填 .
【分析】根据函数在 不单调可得 且 ，从而得到实数 的取值范围.
17．【答案】（1）解：
当 时，原绝对值不等式可化为 解得 ，无解；
当 时，原绝对值不等式可化为 ，解得 ，无解；
当 时，原绝对值不等式可化为 ，解得 ，则 ；
当 时，原绝对值不等式可化为 ，解得 ，则 .
故不等式的解集是 .
（2）解：当 即 时，方程为 或 均只有一个根，满足题意；
当 即 时，方程为一元二次方程，要满足方程有一个根，则需满足 .
即 ，解得 .
综上所述 或 .
【知识点】绝对值不等式；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法可求不等式的解集.
（2）利用判别式可求整数m的值.
18．【答案】（1）解：当 时， ，
∴
（2）解：由 ，
则有： ，解得：
即 ，
∴实数m的取值范围为 .
【知识点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算
【解析】【分析】（1）由题意可得 ，利用交集的定义运算即得；
（2）由题可得 ，即得．
19．【答案】（1）解：解不等式可得 ， .
所以 ， ，
（2）解：由 可得 ，且 ，
所以 ，解得 ，即 .
【知识点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）解不等式求得几何A，B，直接计算集合的交集并集与补集；
（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.
20．【答案】（1）解：若选①，则 ，此时 ，不合乎题意；
若选②，则 ，则 ，合乎题意；
若选③，则 ，则 ，合乎题意；
（2）解：∵ ，则 .
当 时， ，即 满足条件；
当 时，则有 ，解得 .
综上，实数a的取值范围是 .
【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）根据所选条件验证 是否成立，再利用交集的定义可求得；
（2）分析可得 ，分 、 两种情况讨论，结合 可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数a的取值范围.
21．【答案】解：函数 的最小值为-3，
配方得： ，函数的对称轴为直线 ，顶点坐标为 .
（1）当 即 时，
函数最小值为 ，不合题意；
（2）当 即 时，
∵当 时，y有最小值0，不符合题意；
（3）当 即 时，
∵当 时，y有最小值；
∴y有最小值 ，解得 .
综上实数a的值为 .
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】先利用配方得到 ，得到对称轴为直线x=-a，接着讨论， 和 三种情况，即可得到答案.
22．【答案】（1）解：由已知条件②得 的可能元素为：2，4，8；又满足条件③，所以
（2）解：证明：因为 ，由已知条件②得 的可能元素为： ， ， ， ， ， ，由条件③可知 ，得 ，同理得 ， ， ， ， ，所以对于在意 ，有
（3）解：因为 ，由（2）知 得 即 ，同理 ， ，所
以 ， ，又因为T的可能元素为： ， ， ， ， ， ，所以 共5个元素.
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【分析】（1）根据“耦合集”定义可得.
（2）由条件②可知的可能元素为： ， ， ， ， ， ，由条件③可知 得 ， 同理其它比得证；
（3）由（2）知得 得 即 ， 同理 ， ，故 共5个元素.

四川省雅安市重点高中2022-2023高一上学期9月开学测试数学试题（含解析）