第二十二章 二次函数 解答题 题型专练 人教版数学九年级上册（含解析）

第二十二章 二次函数 解答题 题型专练 人教版数学九年级上册（含答案解析）
1．求经过三点的抛物线的表达式
2．已知一抛物线与轴的交点是、，且经过点．
求该抛物线的解析式；
求该抛物线的顶点坐标．
3．（1）用配方法解方程：
（2）已知点(5，0)在抛物线y＝－x2＋(k＋1)x－k上，求出抛物线的对称轴.
4．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式．
5．某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
(1)直接写出工厂每天的利润元与每千克降价元之间的函数关系式（要求化为一般式）；
(2)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为多少元？
(3)当降价为多少元时，有最大利润，最大利润是多少？
6．已知一直角三角形两条直角边的和等于8，若其中一直角边为.
(1)写出这个直角三角形的面积关于的函数解析式；
(2)当两条直角边各为多少时这个直角三角形的面积最大？
7．2021中国航天硕果累累，为庆祝神舟十三号载人飞船发射取得圆满成功，某企业生产了一款纪念品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求该企业销售这款纪念品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式：
(2)该企业将每件的销售单价定为多少元时，可使这款纪念品每天所获销售利润最大？
8．某厂家销售一种产品，现准备从网上销售和市场直销两种销售方案中选择一种进行销售．由于受各种不确定因素影响，不同销售的方案会产生不同的成本和其它费用．设每月销售x件，网上销售月利润为w网（元），市场直销月利润为w市（元），具体信息如表：
每件售价（元） 每件成本（元） 月其他费用（元）
网上销售 -x+120 20 45000
市场直销 120 k
其中k为常数，且30≤k≤50．月利润=月销售额-月成本-月其它费用．
（1）当x=500时，网上销售单价为______元．
（2）分别求出w网，w市与x间的函数解析式（不必写x的取值范围）．
（3）若网上销售月利润的最大值与市场直销月利润的最大值相同，求k的值．
（4）如果某月要将3000件产品全部销售完，请你通过分析帮厂家做出决策，选择在网上销售还是市场直销才能使月利润较大？
9．若二次函数与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求的面积．
10．某景区经营一种新上市的纪念品，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设这种纪念品的销售单价为x(元)．
(1)求每天所得的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求销售单价为多少元时，该纪念品每天的销售利润最大；
(3)若要求每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元，则该纪念品的最大利润是多少？
11．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；
（2）求出售价x的范围；
（3）商场每月销售这种空气净化器所获得的利润为w（元），写出w关于x的关系？当售价x（元/台）定为多少时利润最大，最大是多少？
12．已知直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在上，点在的延长线上，且连接交于点，点为第一象限内的一点，当△是以为斜边的等腰直角三角形时，连接，设的长度为， 的面积为，请用含的式子表示，并写出自变量的取值范围．
13．振华公司对其办公楼大厅一块6×6米的正方形墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修，中心区域是正方形，用材料乙装修）．两种材料的成本如下：
材料 甲 乙
单价（元/米） 800 600
设矩形的较短边的长为x米，装修材料的总费用为y元．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)当中心区域的边长EF不小于2米时，预备材料的购买资金28000元够用吗？请说明理由．
()
()
14．在平面直角坐标系中，已知点，，其中a，b满足（a，b为常数）．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图1，D为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且，，过点C作于点E，求证：；
(3)如图2，P为y轴正半轴上一动点，连接，过点B在x轴下方作，且，连接，在（2）的条件下，设，求的面积（用含p的式子表示）．
15．若二次函数y＝ax2+bx﹣2的图像与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且过点C (3，﹣2)．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝5，求点P的坐标；
（3）在AB下方的抛物线上是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
17．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；
（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．
18．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为，其中．
(1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式．
(2)若、为此二次函数图象上两个不同点，当时，，求a的值．
(3)若点在此二次函数图象上，且当时y随x的增大而增大，求t的范围．
19．在平面直角坐标系中，与x轴的交点为，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和点C坐标．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点之间的部分与线段所围成的区域为图形W（不含边界）．
①当时，求图形W内的整点个数；
②若图形W内有2个整点，求m的取值范围．
已知抛物线有最高点．
（1）m 0（填“>、=、<”）；
（2）求二次函数的最大值（用含m的式子表示）；
（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）记（3）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴DE交BC于点E，点P是抛物线上一动点，将点P向右平移2个单位得到点P′，连接PP′
（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；
（2）当点P′落在抛物线上时，求点P的坐标；
（3）①点P从点A运动到点D，则PP′扫过的面积为？
②连接PE，OE，P′B，当P′B＝PE+OE时，点P的坐标．
22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当次方程有一根为零时，直线与关于x的二次函数的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．
参考答案：
1．
【分析】设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将代入，求a、b、c的值，可得结果．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
由题意可得：
解得：
∴抛物线的解析式为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确计算是本题的关键．
2．(1);(2) 顶点坐标为．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣1），把C的坐标代入求出的值即可得到抛物线解析式；
（2）由（1）的抛物线解析式即可求出该抛物线的对称轴及顶点坐标．
【详解】（1）∵抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），∴根据题意设y=a（x+2）（x﹣1），把C（2，8）代入y=a（x+2）（x﹣1）得：4a=8，∴a=2，∴y=2（x+2）（x﹣1）；
即：y=2x2+2x﹣4；
（2）∵，∴该抛物线的顶点坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．在设二次函数的解析式时，要根据不同的已知条件来设其解析式方程．
3．（1）x1=-2+，x2=-2-；（2）对称轴为直线x=3.
【分析】（1）利用配方法的步骤解方程即可；
（2）将点（5，0)代入y=-x2+（k+1）x-k求出k的值，再利用对称轴公式求对称轴即可.
【详解】（1）用配方法解方程：
移项得： x2+4x=-1，
配方得：x2+4x+4=-1+4，
（x+2）2=3
开平方得： x+2=，
解得：x1=-2+，x2=-2-
（2）将点（5，0)代入y=-x2+（k+1）x-k得：
0=-52+5（k+1）-k，
解得：k=5.
∴解析式为:y=-x2+6x-5.
∴抛物线对称轴为直线为：x==3.
【点睛】此题考查的是（1）用配方法解一元二次方程；（2）利用待定系数法求二次函数的解析式，并求对称轴.
4．或；
【分析】已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣4），再利用B点坐标和BC＝5得到C点坐标，然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到两个解析式．
【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），
∵B（4，0），点C在y轴上，BC＝5，
∴C点坐标为（0，3）或（0，﹣3），
①当C点坐标为（0，3），
把（0，3）代入得a·（﹣1）·（﹣4）＝3，
解得a=，
∴此时抛物线的解析式为y=（x﹣1）（x﹣4）=x2x+3；
②当C点坐标为（0，﹣3），
把（0，﹣3）代入得a·（﹣1）·（﹣4）＝﹣3，
解得a，
∴此时抛物线的解析式为y（x﹣1）（x﹣4）x2x﹣3，
∴该二次函数的解析式为y=x2x+3或yx2x﹣3．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，正确地设出解析式，并求出C点坐标的两种情况再代入求解析式是解决本题的关键．
5．(1)
(2)5
(3)4，9800
【分析】（1）根据利润=销售量×（单价－成本），列出函数关系式即可；
（2）根据（1）求得的函数关系式，当时，可求出的值，再根据题意选取的值即可；
（3）根据（1）求得的函数关系式进一步利用分配方法求出答案即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，
与之间的函数关系式为：；
（2）解：根据题意可得：，即，
解得：，
让利于民，
不合题意，舍去，
，
故工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为5元；
（3）解：由（1）得，，
，
时，最大，为9800，
所以当降价为4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元．
【点睛】此题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．
6．(1)= -+4
(2)即当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大.
【分析】（1）首先表示出另一条直角边长，再利用直角三角形面积公式求出即可．
（2）利用二次函数的性质即可解决
【详解】（1）解：=（8-）=4-= -+4
关于的函数解析式为 = -+4；
（2）解：= -+4 =-（-4）+ 8，
∴当=4时，面积最大，
即当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大.
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，二次函数的性质，根据直角三角形面积公式得出是解题关键．
7．(1)
(2)该企业将每件的销售单价定为80元时．可使这款纪念品每天所获销售利润最大
【分析】（1）按照每件的利润乘以实际销量可得y与x之间的函数关系式；
（2）将（1）中的二次函数配方，利用二次函数的性质可得答案；
【详解】（1）由题意得：
．
∴该企业销售这款纪念品每天的销售利润y与销售单价x之间的函数关系式为：
．
（2），
∵在中，，∴抛物线开口向下，
∵，对称轴是直线，
∴当时，y取得最大值，（元），
故该企业将每件的销售单价定为80元时．可使这款纪念品每天所获销售利润最大．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能根据题意正确列式并明确二次函数的性质，是解题的关键．
8．（1）110；（2）w网=-（x-2500）2+80000，W市=（120-k）x-；（3）40；（4）选择市场销售，见解析
【分析】（1）由题意直接把x=500代入-中进行计算即可；
（2）根据w网=（网上销售的每件售价-每件成本）×销售数量-其他费用，w市=（市场直销的每件售价-每件成本）×销售数量-其他费用，列出函数关系式即可；
（3）根据函数的性质，求出各个函数的最大值，再由已知等量关系列出方程即可；
（4）由题意可知当x=3000时，w网=75000，w市=3000（60-k）．再分三种情况：w网＞w市，w网=w市，w网＜w市，分别求出k的取值范围即可．
【详解】解：（1）把x=500代入-中得，
-=-10+120=110，
故答案为：110．
（2）w网=（--20）x-45000=-0.02x2+100x-45000=-（x-2500）2+80000，
W市=（120-k）x-；
（3）网上销售的最大利润为为80000元，市场销售的最大利润=因为市场销售月利润的最大值与在网上销售月利润的最大值相同．
可得80000=，解得k1=40，k2=200，
由于30≤k≤50，因此k=40．
（4）当x=3000时，w网=75000，w市=3000（60-k），
①75000＞3000（60-k）．解得：k＞35，
当35＜k≤50时，选择网上销售；
②75000=3000（60-k）解得：k=35，
当k=35时，选择网上销售和市场直销利润一样；
③75000＜3000（60-k）．解得：k＜35，
当k＜35时，选择市场销售.
【点睛】本题考查二次函数在实际生活中的应用，难度适中，根据利润的关系式分别写出w网，w市与x间的函数关系式是解题的关键．
9．（1）；（2）6
【分析】（1）将代入二次函数解析，求解一元二次方程，即可求解；
（2）将代入二次函数解析，求得点坐标，的面积为，求解即可．
【详解】（1）解：将代入二次函数解析，得：
∵点A在点B的左侧，∴
（2）当与y轴相交时，，∴，∴
由（1）知，，
答：的面积为6．
【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握二次函数的有关性质．
10．(1)y＝﹣10x2+700x﹣10000；(2)销售单价为35元时，该纪念品每天的销售利润最大为2250元；(3)该纪念品的最大利润是1250元．
【分析】（1）根据利润=（单价-进价）×实际销售量，而实际销售量＝原销售量－10上涨的钱数，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）求出方案中x的取值范围，然后求出方案的最大利润．
【详解】(1)y＝(x﹣20)[250﹣10(x﹣25)]
＝﹣10x2+700x﹣10000
∴每天所得的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式：y＝﹣10x2+700x﹣10000；
(2)y＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10(x﹣35)2+2250
∴当x＝35时销售利润最大为2250元；
(3)∵250﹣10(x﹣25)≥10，x﹣20≥25
∴45≤x≤49
∵y＝﹣10(x﹣35)2+2250的对称轴为：x＝35且图象开口向下
∴x＝45时，y有最大值1250元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找出各量之间的关系列出函数关系式是解题的关键.
11.（1）y=﹣5x+2200；（2）300≤x≤350；（3）W=﹣5（x﹣320）2+72000，当售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．
【详解】试题分析：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；
（2）根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．
（3）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；
试题解析：解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200；
（2）供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，根据题意得：
，解得：300≤x≤350，∴售价x的范围为：300≤x≤350；
（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．
∵x=320在300≤x≤350内，∴当x=320时，最大值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．
点睛：本题主要考查了二次函数的应用，还应用到将函数变形求函数最值的知识．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点求得的坐标，根据求得点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意画出图形，过点作轴于点，作于点，则四边形是矩形．设，证明，得出，进而得出，根据，结合三角形面积公式，即可求解．
【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于两点，
令，解得，
令，解得，
∴,，
∴,
∵，
∴,
∴
∵,,在抛物线上，
∴
解得：
∴抛物线解析式：
（2）过点作轴于点，作于点，则四边形是矩形．
，，设
是等腰直角三角形．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．(1)
(2)不够用，理由见解析
【分析】（1）由题意可得出米，米，再求出四周八个全等的矩形所需材料的费用和中间正方形所需材料的费用，最后将两笔费用相加即得出y与x之间的关系式；
（2）根据题意可得出，解出x的取值范围．令，则，解出x的值，比较该解是否在x的取值范围内，如果在说明预备材料的购买资金28000元够用，反之则不够用．
【详解】（1）解：∵四边形是一块6×6米的正方形，
∴米．
∵四周阴影部分是八个全等的矩形，
∴米．
∵中心区域是正方形，
∴米，
∴
．
∵，
∴，
∴y与x之间的关系式为；
（2）解：不够用．
理由：由题意可知，
∴，
∴．
当时，,
解得：，
∴都不符合题意，
即说明当中心区域的边长EF不小于2米时，预备材料的购买资金28000元不够用．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，看懂图形，找出等量关系和不等关系，列出等式和不等式是解题关键．
14．(1)；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）将左边展开，左右恒等得出方程求得；
（2）作交的延长线于F，易得，证明，可得，再证明，可得，证明是等腰直角三角形，可得，即可证明；
（3）分为P在A点上方和在A点下方，可得，从而轴，进而表示出及上的高，从而求得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图1，
作交的延长线于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图2，
当时，
延长交于D，与交于I，
∵，
∴，
∵，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图3，
当时，
，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，列函数关系式等知识，解决问题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
15．（1）；（2）；（3）存在，点M到y轴的距离为
【分析】(1)由待定系数法可求解析式；
(2)设直线BP与x轴交于点E，过点P作PD⊥OA于D，设点P(a，a2-a-2)，则PD=a2-a-2，利用参数求出BP解析式，可求点E坐标，由三角形面积公式可求a，即可得点P坐标；
(3)如图2，延长BM到N，使BN=BO，连接ON交AB于H，过点H作HF⊥AO于F，由全等三角形的性质和锐角三角函数求出点N坐标，求出BN解析式，可求点M坐标，即可求解．
【详解】(1)∵二次函数y=ax2+bx-2的图像过点A(4，0)，点C (3，-2)，
∴，
解得：
∴二次函数表达式为：；
(2)设直线BP与x轴交于点E，过点P作PD⊥OA于D，
设点P(a，a2-a-2)，则PD=a2-a-2，
∵二次函数与y轴交于点B，
∴点B(0，-2)，
设BP解析式为：，
∴a2-a-2=ka﹣2，
∴，
∴BP解析式为：y=()x﹣2，
∴y=0时，，
∴点E(，0)，
∵S△PBA=5，
∵S△PBA=,
∴，
∴a=-1(不合题意舍去)，a=5，
∴点P(5，3)；
(3)如图2，延长BM到N，使BN=BO，连接ON交AB于H，过点H作HF⊥AO于F，
∵BN=BO，∠ABO=∠ABM，AB=AB，
∴△ABO≌△ABN(SAS)
∴AO=AN，且BN=BO，
∴AB垂直平分ON，
∴OH=HN，AB⊥ON，
∵AO=4，BO=2，
∴AB=，
∵S△AOB=×OA×OB=×AB×OH，
∴OH=，
∴AH=，
∵cos∠BAO=，
∴，
∴AF=，
∴HF=，
OF=AO﹣AF= 4﹣=，
∴点H(，-)，
∵OH=HN，
∴点N(，﹣)
设直线BN解析式为：y=mx﹣2，
∴﹣=m﹣2，
∴m=﹣，
∴直线BN解析式为：y=﹣x﹣2，
∴x2﹣x﹣2=﹣x﹣2，
∴x=0(不合题意舍去)，x=，
∴点M坐标(，﹣)，
∴点M到y轴的距离为．
【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建合适的辅助线，灵活运用所学知识解决问题，难度有点大．
16．(1)
(2)存在，或或
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，可得，用待定系数法即可求解；
（2）求出直线的解析式，设点D坐标为，则点，利用勾股定理表示出，然后分①当时，②当时，③当时三种情况进行讨论，列出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标；
【详解】（1）抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，
∴，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式；
（2）∵，
∴，
设直线BC的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
设点D坐标为，则点，
∵，
∴，
，
，
①当时，即，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为；
②当时，即，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为；
③当时，即，
∴，
解得，
∴点N的坐标为；
综上，存在，点N的坐标为或或；
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论．
17．(1)y=﹣x2+x+5；(2)0＜n＜3；(3)PC的长为7或17．
【详解】试题分析：（1）根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式即可；（2）可先求得抛物线的顶点坐标，再利用坐标平移，可得平移后的坐标为（1+n，1），再由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式，可求得y=1时，对应的x的值，从而可求得n的取值范围；（3）当点P在y轴负半轴上和在y轴正半轴上两种情况，根据这两种情况分别求得PC的长即可.
试题解析：（1）把A、B、C三点的坐标代入函数解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+5；
（2）∵y=﹣x2+x+5，
∴抛物线顶点坐标为（1，），
∴当抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度后，得到的新抛物线的顶点M坐标为（1+n，1），
设直线BC解析式为y=kx+m，把B、C两点坐标代入可得，解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+5，
令y=1，代入可得1=﹣x+5，解得x=4，
∵新抛物线的顶点M在△ABC内，
∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，
即n的取值范围为0＜n＜3；
（3）当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，
由题意可知OB=OC=5，
∴∠CBA=45°，
∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，
∴AD=PD，
在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC=，
设PD=AD=m，则CD=AC+AD=+m，
∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，
∴△COA∽△CDP，
∴，即，
解得m=，PC=17；
可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，
如图2，在y轴正半轴上截取OP′=OP=12，连接AP′，
则∠OP′A=∠OPA，
∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，
∴P′也满足题目条件，此时P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，
综上可知PC的长为7或17．
考点：二次函数综合题.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1） 将，代入即可；
（2）由可得这两个点关于抛物线的对称轴对称，再利用对称轴公式计算即可；
（3）由题意可得，分和分别求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得：，
解得：，
∴,
∴这个二次函数的表达式为：；
（2）∵，
∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
∴；
（3）解：点在二次函数图象上，
∴，
∵当时y随x的增大而增大，
当时，有，
∴，
∴，
当时，不符合题意舍去，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式，函数图象上点的坐标的特征，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的各知识点是解决本题的关键．
19．（1）抛物线的对称轴为，C（0，1）；（2）①一个；②．
【分析】（1）直接利用对称轴公式计算，即可得出抛物线的对称轴，再令x=0，即可求出点C的坐标；
（2）①先确定出抛物线解析式，即可得出结论；②先判断出满足条件的整数点由（1，-1），进而抛物线的顶点坐标的范围即可得出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为（m<0），
∴抛物线的对称轴为直线，
令x=0，则，
∴C（0，1）；
（2）①当m=-1时，抛物线的解析式为，
由（1）知，C（0，1），抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线还经过（2，1），
∵抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴图形W内的整点只有（1，1）一个；
②如图，
由①知，抛物线过点（0，1），（2，1），
∵图形W内有2个整数点，
顶点纵坐标为：，
∴，
∴．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线对称轴的确定，函数图象的画法，顶点坐标公式，利用数形结合的思想解决问题是解本题的关键．
20．（1）>；（2）m-3；（3）y=x-4（x＞1）；（4）-3＜yP＜-2.
【分析】（1）抛物线有最高点即开口向下，-m<0，即可得到答案；
（2）用配方法或公式法求得函数的最大值；
（3）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1， m-3），即x=m+1，y=m-3，x-y=4即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（4）求出抛物线恒过点B（2，-2），函数H图象恒过点A（2，-3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．
【详解】解：（1）解：（1）∵y= mx2+2mx 3有最高点，
∴ m<0，
∴m>0,
故答案为>；
(2)∵y=-mx2+2mx-3=-m（x-1）2+m-3，抛物线有最大值，
∴二次函数y= mx2+2mx 3的最大值m-3；
（3）∵抛物线G：y=-m（x-1）2+m-3,
∴平移后的抛物线G1：y=-m（x-1-m）2+m-3,
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1， m-3）,
∴x=m+1，y=m-3,
∴x-y=m+1-m+3=4.
即x-y=4，变形得y=x-4.
∵m＞0，m=x-1.
∴x-1＞0,
∴x＞1,
∴y与x的函数关系式为y=x-4（x＞1）.
（4）如图，
函数H：y=x-4（x＞1）图象为射线,
x=1时，y=1-4=-3；x=2时，y=2-4=-2,
∴函数H的图象恒过点B（2，-2）,
∵抛物线G：y=-m（x-1）2+m-3,
x=1时，y=m-3；x=2时，y=-m+m-3=-3.
∴抛物线G恒过点A（2，-3）,
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yA＜yP＜yB
∴点P纵坐标的取值范围为-3＜yP＜-2.
【点睛】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．运用二次函数性质是解题的关键．
21．（1），B（6，0）；（2） ；（3）①16；②P（，）．
【分析】（1）解一元二次方程可得B点坐标，根据对称轴公式可计算出对称轴；
（2）判断出点P的横坐标即可解决问题；
（3）①PP′扫过的面积可以看作底为2高为8的平行四边形的面积即可解决问题；
②如图，作EF∥PP′交BP′于F．当EF=2时，点P满足条件，求出EP的解析式，利用方程组即可解决问题；
【详解】解：（1）对于抛物线y＝﹣x2+2x+6令y＝0，得到﹣x2+2x+6＝0，解得x＝﹣2或6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝2，B（6，0）．
（2）观察图象可知当点P′落在抛物线上时，点P的横坐标为1，
x＝1时，y＝﹣+8＝．
∴P（1，）．
（3）①∵抛物线的顶点坐标D（2，8），
∴点P从点A运动到点D，则PP′扫过的面积＝2×8＝16．
②如图，作EF∥PP′交BP′于F．
当EF＝2时，∵EF＝PP′＝2，EF∥PP′，
∴四边形PP′FE是平行四边形，
∴PE＝P′F，
∵E（2，4），
∴F（4，4），
∴OE＝BF＝2，
∴P′B＝BF+P′F＝OE+PE，
∴此时点P满足条件，
设直线BF的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∵PE∥BF，
∴直线EP的解析式为y＝﹣2x+8，
由解得或
∵点P在第一象限，
∴P（，）．
【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.
22．（1）1，2；（2），M（，）；（3）b=1或=．
【详解】试题分析：（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；
（2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；
（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△==，∴，∴k＜3，∵k为正整数，∴k为1，2；
（2）把x=0代入方程得k=1，此时二次函数为，此时直线与二次函数的交点为A（﹣2，0），B（1，3），由题意可设M（m，m+2），其中，则N（m，），MN===，∴当时，MN的长度最大值为，此时点M的坐标为（，）；
（3）当过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），把A（﹣2，0）代入得b=1，当与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点，由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为，∴有一组解，此时有两个相等的实数根，则所以=，综上所述b=1或=．
考点：二次函数综合题．
()
()

第二十二章 二次函数 解答题 题型专练 人教版数学九年级上册（含解析）