2023年江西省萍乡市中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

2023年江西省萍乡市中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在，，，四个数中最大的数是( )
A. B. C. D.
2. 尼莫点，正式名称为海洋难抵极，是地球表面距离陆地最偏远的地点，位于南太平洋中央的海面上，最近的陆地与当地相隔米之遥，其中用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3. 下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，中，，，，分别平分，，，以下结论不一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知抛物线是常数，，，下列结论错误的是( )
A. 若抛物线经过点，则
B. 若，则方程一定有根
C. 抛物线与轴一定有两个不同的公共点
D. 点，在抛物线上，若，则当时，
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 计算： ______ ．
8. 九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为 ．
9. 如图，是的直径，点是半径的中点，过点作，交于点，两点，过点作直径，连结，则 ．
10. 已知一组从小到大排列的数据：，，，，，的平均数与中位数都是，则这组数据的众数是___________．
11. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交对角线于点，则图中阴影部分与所围图形的面积为______ ．
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点在坐标轴上，点在坐标平面内，若以、、、为顶点的四边形为矩形，则点的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共92.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
解不等式组：．
14. 本小题分
如图，四边形为菱形，对角线，相交于点于点，连接若，求的度数．
15. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
16. 本小题分
如图，某科技馆展大厅有，两个入口，，，三个出口，小钧的任选一个入口进入展宽大厅，参观结束后任选一个出口离开．
若小钧已进入展览大厅，求他选择从出口离开的概率．
求小购选择从入口进入，从出口离开的概率，请用列表或画树状图求解
17. 本小题分
如图，点，，在上，且，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．保留作图痕迹，不写作法
在图中，，作一个度数为的圆周角；
在图中，，作一个顶点均在上的等边三角形．
18. 本小题分
某顾客在商场搞活动期间，分别以折和折的优惠购买了甲、乙两种商品，共付款元，这两种商品原价总和为元，求甲、乙两种商品的原价．
19. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，轴，点的坐标为，，将向下方平移，得到，且点的对应点落在反比例函数的图象上，点的对应点落在轴上，连接，．
求证：四边形为平行四边形；
求反比例函数的表达式；
求平移的距离及线段扫过的面积．
20. 本小题分
近几年萍乡市加大职高教育投入力度，取得了良好的社会效果，某校随机调查了九年级的名学生的升学意向普高、职高、其他，并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题．
______ ；
扇形统计图中“职高”对应的圆心角度数为______
请补全条形统计图；
若该校九年级有名学生，请你估计该校九年级共有多少名学生的升学意向是职高．
21. 本小题分
如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点过点作交的延长线于点，垂足为点．
求证：；
若的直径为，，求线段的长．
22. 本小题分
如图，是一个可调节靠椅，其抽象示意图如图所示，已知两支脚架，在水平地面上，，为上固定的连接点，靠背可绕点旋转一定的角度，，．
求点到水平地面的距离；
当时，求点到水平地面的距离；
在中的状态下，绕点将靠背向后调整到位置，若点在水平方向上移动的距离为，求靠背绕点旋转的度数参考数据：，，，结果保留位小数
23. 本小题分
在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，已知抛物线：．
若抛物线经过点，求抛物线的函数表达式；
如图，抛物线与直线交于点，，点为抛物线上一点，连接，，，交于点，若
，求直线的函数表达式；
过抛物线的顶点作直线的垂线，垂足为点当的长度最短时，求的值，并求出此时长度的最短值．
24. 本小题分
某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边中，，点在射线上运动，连接，以为一边在右侧作等边．
【问题发现】如图，当点在线段上运动时不与点重合，连接则线段与的数量关系是______ ；直线与的位置关系是______ ；
【拓展延伸】如图，当点在线段的延长线上运动时，直线，相交于点，请探究的面积与的面积之间的数量关系；
【问题解决】当点在射线上运动时点不与点，重合，直线，相交于点，若的面积是，请求出线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
则最大的数为：，
故选：．
正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此比较大小即可．
本题考查有理数的大小比较，此为常考且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，去括号的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合完全平方公式，并同类项，积的乘方，去括号，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】
【解析】解：由图可知，有个实心圆点与个空心圆点相对，
只有符合题意．
故选：．
根据几何体的展开图先判断出实心圆点与空心圆点的关系，进而可得出结论．
本题考查的是几何体的展开图，此类问题从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，分别平分，，
，，
，，
，
，
，
故A符合题意；
平分，
，
，
，
，
，
，
故B不符合题意；
，，
，，
，
，
故C不符合题意；
在中，，
平分，
，
，
，，，
，，
，
，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据三角形外角性质、角平分线定义、三角形内角和定理判断求解即可．
此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：将点代入，得：，
，
，
，
整理得：，故选项A正确；
，，
，
，
，
方程可转化为：，
，
，
解得：，，故选项B正确；
，
，
判别式，
该抛物线与轴有公共点，故选项C不正确；
，
，
抛物线的对称轴为，
，
，即：，
，
该抛物线的对称轴在直线的右侧，
，
点，在对称轴左侧的抛物线上，
又，
抛物线的开口向上，
，
故选项D正确．
综上所述：结论错误是选项C．
故选：．
将点代入抛物线的解析式，再结合即可对选项A进行判断；
先由，可得出，且，然后将，代入方程，并解出方程的两个根，进而可对选项B进行判断；
先由得，然后再对方程的判别式的符号进行判定即可对选项C进行判断；
先由得，结合，即可得出抛物线的对称轴为，进而可判定点，在对称轴左侧的抛物线上，进而再根据抛物线的性质即可对结论进行判断．
此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题的关键熟练掌握二次函数的对称轴、与轴的交点，函数的增减性．
7.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
首先计算零指数幂和绝对值，然后计算减法，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
设每只雀有斤，每只燕有斤，根据五只雀、六只燕，共重斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【解答】
解：设每只雀有斤，每只燕有斤，
由题意得，
故答案为：．
9.【答案】
【解析】解：点是半径的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平均数、众数与中位数的定义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
根据平均数与中位数的定义可以先求出，的值，进而就可以确定这组数据的众数．
【解答】
解：一组从小到大排列的数据：，，，，，的平均数与中位数都是，
，，
解得，，
这组数据的众数是．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：过点作于点，与交于点，
四边形为平行四边形，，
，，，
，
，，
，
．
故答案为：．
过点作于点，与交于点，由平行四边形的性质可求得，，的长，结合勾股定理及含角的直角三角形的性质可求得，，的长，再利用计算可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，扇形面积的计算，含角的直角三角形的性质，求解和扇形的面积是解题的关键．
12.【答案】或或
【解析】解：直线分别与轴、轴交于点、，
点坐标，点坐标，
分三种情况：
点在原点，矩形中，
，，
点坐标为；
如图，点在轴上，
矩形中，，
∽，
，
，
点坐标为，
将点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
的坐标为；
如图，点在轴上，
矩形中，，
∽，
，
，
点坐标为，
将点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，
的坐标为，
点坐标为或或，
故答案为：或或．
分类讨论：点在轴上；点在原点；点在轴上，利用相似及平移规律即可求解．
本题考查了一次函数与矩形的综合题型，解题关键是分类讨论和利用相似三角形的性质得到对应线段之间的关系．
13.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14.【答案】解：四边形是菱形，
，，，
，
，，
为的斜边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
．
【解析】根据菱形的性质得出，进而利用等边三角形的性质解答即可．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：
．
由题可知，
原式．
【解析】先计算括号里的，然后计算分式除法，再将的值代入求值．
本题考查了分式的化简求值及特殊锐角的三角函数值，正确分解因式是解题的关键．
16.【答案】解：他选择从出口离开的概率为；
画树形图如图得：
由树形图可知所有可能的结果有种，其中选择从入口进入，从出口离开的只有种结果，
选择从入口进入，从出口离开的概率为．
【解析】直接利用概率公式计算可得；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小购选择从入口进入，从出口离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
17.【答案】解：如图中，即为所求；
如图中，即为所求．

【解析】作直径，连接，，则，；
作直径，连接，，，即为所求．
本题考查作图复杂作图，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】解：设甲商品的原价为元，则乙商品的原价为元，
根据题意得：，
解得：，
则．
答：甲商品的原价为元，乙商品的原价为元．
【解析】设甲商品的原价为元，则乙商品的原价为元，根据付款额甲商品的原售价乙商品的原售价即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元一次方程是解题的关键．
19.【答案】证明：由平移的性质，可知：，，，
轴，且在轴上，
，
．
，，
，
四边形为平行四边形；
解：连接，如图所示．
四边形为平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，三点共线．
轴，在轴上，，
四边形是平行四边形，
．
点的坐标为，，
，，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
解：连接，，如图所示．
在中，，，
，
平移的距离为．
，，
四边形是平行四边形，
，
线段扫过的面积为．
【解析】利用平移的性质，可得出，，，由轴且在轴上，可得出，结合，可得出，由，，可得出，再利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可证出四边形为平行四边形；
连接，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出，结合，可得出，，三点共线，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出的长，结合，可得出点的坐标，再利用反比例函数系数的几何意义，可求出的值，进而可得出反比例函数的表达式；
连接，，在中，利用勾股定理，可求出的长，由此可得出平移的距离为，由，，可得出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质及三角形的面积公式，即可求出线段扫过的面积．
本题是反比例函数的综合题，考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、反比例函数系数的几何意义、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：由平移的性质及平行线的性质，找出及；利用平移的性质及平行四边形的性质，找出点的坐标；利用勾股定理及平行四边形的性质，求出的长及平行四边形的面积．
20.【答案】
【解析】解：“其他”学生数为名，占比，
随机调查了九年级的学生数名，
故答案为：；
扇形统计图中“职高”对应的圆心角度数为：，
故答案为：；
“普高”学生数为：名，
“职高”学生数为：名，
补全条形统计图如下：
该校九年级学生的升学意向是职高的学生估计：名，
答：估计该校九年级共有名学生的升学意向是职高．
根据“其他”的学生数和占比可求出；
将“职高”占百分比乘以即可；
分别求出“普高”学生数，“职高”学生数，再补全条形统计图即可；
将乘以“职高”所占百分比即可作出估计．
本题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
21.【答案】证明：连接，如图，
是的切线，
．
，
，
，
，
．
．
．
连接，则，如图，
在中，
，，
．
，
．
，
．
．
在中，
，
．
由知：，
∽，
，
即：．
解得：．
【解析】连接，根据切线的性质得出，再由平行线判定得出，利用其性质及等角对等边即可证明；
连接，根据圆周角定理得出，再由正弦函数得出，利用等边对等角及等量代换得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可．
题目主要考查圆的切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
22.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
点到水平地面的距离约为；
过点作，交于点，过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
点到水平地面的距离，
点到水平地面的距离约为；
过点作，垂足为，
由题意得：，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
靠背绕点旋转的度数约为．
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，先根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
过点作，交于点，过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，从而求出，最后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：对于直线：
当时，；
当时，；
故点、的坐标分别为、．
抛物线经过点，
将代入抛物线，得，整理得，解得．
将代入抛物线，得．
抛物线与直线交于点，，
将代入抛物线，得，解得．
将代入抛物线，得．
解方程组，得，或，故有
，且与底边上的高相等，
．
过点作平行于轴，交轴于；过作，交于．
，，
∽，
．
点在直线上，设点横坐标为，
点纵坐标为，
，
，，
，整理得，解得．
点纵坐标为，
直线过点和点，
直线是正比例函数，设为，
将点坐标代入，得，解得．
直线的函数表达式为
抛物线的顶点的坐标为，整理得，即
过点作，交于点；过点作轴，分别交直线于点，交轴于点．
，，
，
．
点的纵坐标为，代入直线，解得点的横坐标为．
．
当时，最小，最小值为．
【解析】利用待定系数法，将点的坐标代入求出值，再将的值代入抛物线即可求出其函数表达式；
直线过原点，所以它是一个正比例函数．根据给出的面积关系，求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的斜率即可解答；
利用点的坐标，根据几何关系得出关于的表达式，对该表达式分析求出最小值即可．
本题难度较大，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及一次函数和二次函数的性质及坐标，并结合了几何，综合性较强，解题过程比较复杂，计算量也不小，极易出错，所以每一步都要认真和细心．
24.【答案】
【解析】解：和是等边三角形，
，，，
，
即，
≌，
，，
，
，
故答案为：，；
，理由如下：
和是等边三角形，
，，，
，
即，
≌，
，
，
；
由可知，无论点在线段上还是在线段的延长线上，
都有≌，，，，
，
，
，
的边上的高的边上的高，
，
，
∽，
，
，
设，
当点在线段上时，如图，
则，，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
；
当点在线段的延长线上时，如图，
则，，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
；
综上所述，线段的长为或．
证≌，得，，再证，则；
证≌，得，再证，即可解决问题；
由可知，≌，，，，则，则，再证∽，得，设，当点在线段上时则，，求出，则，解方程即可；
当点在线段的延长线上时，解法同．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形面积、一元二次方程的解法以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
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2023年江西省萍乡市中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）