2022-2023山东省德州市武城县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省德州市武城县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 已知是一次函数，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4. ，是正比例函数的图象上的两个点，则，的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
5. 如图，四边形的对角线，相交于点，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是( )
A. 甲、乙两种物质的溶解度均随温度升高而增大
B. 时两种物质的溶解度一样
C. 时两种物质的溶解度相差
D. 在之间，甲的溶解度比乙的溶解度高
7. 如图，有一根电线杆在离地面处的点断裂，此时电线杆顶部点落在离电线杆底部点远的地方，则此电线杆原来长度为( )
A. B. C. D.
8. 小明用四根长度相同的木条制作了如图所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为图所示的正方形，则图中的对角线的长为( )
A. B. C. D.
9. 某中学举办了以“放歌新时代奋进新征程”为主题的知识竞答比赛共道题，每题分已知选取了名学生的成绩，且名学生成绩的中位数和众数相同，但在记录时遗漏了一名学生的成绩如图是参赛名学生的成绩，则这名学生成绩的中位数是( )
A. B. C. D.
10. 如图，直线是一次函数的图象，且直线过点，则下列结论错误的是( )
A.
B. 直线过坐标为的点
C. 若点，在直线上，则
D.
11. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为( )
A. B. C. D.
12. 如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有( )
；
；
；
；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．
14. 如图，为了测量池塘两岸，两点之间的距离，可在外选一点，连接和，再分别取、的中点，，连接并测量出的长，即可确定、之间的距离若量得，则、之间的距离为______
15. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也向右滑，则梯子的长度为______ ．
16. 如图，直线：分别与，轴交于两点，过点的直线交轴的负半轴于点，且：：，直线的函数解析式为______ ．
17. 如图，中，点从点出发，匀速向点运动，连接，设的长为，的长为，则关于的函数图象如图所示，其中函数图象最低点，则的周长为______ ．
18. 新定义：为一次函数的“双减点”若是某正比例函数的“双减点”，则关于的不等式组的解集为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算
；
．
20. 本小题分
某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了名学生的初赛成绩初赛成绩均为整数，满分为分，分及以上为优秀统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
七，八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差 优秀率
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ；
若该校八年级有名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，估计八年级进入复赛的学生人数为多少人．
根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由写出一条理由即可
21. 本小题分
如图，中，，平分，交于点，，．
则点到直线的距离为______ ．
求线段的长．
22. 本小题分
如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、已知，，，设．
用含的代数式表示的长为______ ；
求的最小值______ ；
根据中的规律和结论，请模仿图在网格中图构图并求代数式的最小值．
23. 本小题分
为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球如果分别用元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少个，已知足球的单价为篮球单价的．
求篮球、足球的单价分别为多少元？
学校计划购买篮球、足球共个，如果购买足球个，总费用为元，请写出与的函数关系式；
在的条件下学校计划总费用不多于元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别在轴正半轴、轴正半轴上，过点作轴交轴于点，交对角线于点．
求证：；
判断、的数量关系，并说明理由；
若点，坐标分别为、，则的周长为______ ．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，且与直线：，交于点．
求出点，，的坐标；
若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数解析式；
在平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，
不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，
不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，
不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：是一次函数，
且，
解得：，
故选：．
根据一次函数的定义得出和，再求出答案即可．
本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出和是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数叫一次函数．
3.【答案】
【解析】解：、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，根据勾股定理的逆定理可知不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．因此，只需要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：计算两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
随的增大而增大，
又，是正比例函数的图象上的两个点，且，
．
故选：．
由，利用正比例函数的性质，可得出随的增大而增大，再结合，即可得出．
本题考查了正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
A、当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；
B、，
，
，
，
，
四边形为菱形，故选项B符合题意；
C、，
，
，
四边形是矩形；故选项C不符合题意；
D、当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．
故选：．
根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由图象可得，
甲、乙两种物质的溶解度均随温度升高而增大，故选项A说法正确，不符合题意；
时两种物质的溶解度一样，故选项B说法正确，不符合题意；
时两种物质的溶解度相差：，故选项C说法正确，不符合题意；
当温度为时，在时，甲的溶解度比乙的溶解度高，时两种物质的溶解度一样，当时，乙的溶解度比甲的溶解度高，故选项D说法错误，符合题意．
故选：．
利用函数图象的意义可得答案．
本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得：在中，，，
，
故这根高压电线杆断裂前高度为：．
故选：．
在中利用勾股定理求出的长，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用．
8.【答案】
【解析】解：如图，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
图中正方形的对角线的长为，
故选：．
先证是等边三角形，可得，由正方形的性质可求解．
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由图可知，名学生的成绩为：，，，，，，，，，
按大小排序：，，，，，，，，，
个数据的中位数是按从大到小排列后的第、两个数的平均数，
若遗漏的数据为，则中位数为，众数为，
名学生成绩的中位数和众数相同，
遗漏的数据不为，
若遗漏的数据为，则中位数为，众数为，
名学生成绩的中位数和众数相同，
遗漏的数据不为，
若遗漏的数据为，则中位数为，众数为、，
名学生成绩的中位数和众数相同，
遗漏的数据可能为，
若遗漏的数据为，则中位数为，众数为，
名学生成绩的中位数和众数相同，
遗漏的数据不为，
若遗漏的数据为，则中位数为，众数为，
名学生成绩的中位数和众数相同，
遗漏的数据不为，
综上，这名学生成绩的中位数是．
故选：．
根据中位数和众数的定义分情况讨论即可．
本题主要考查了中位数和众数的概念，掌握中位数和众数的定义是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与轴的交点位于轴下方，
，，
，故A正确，不符合题意；
将点代入，得：，
，
直线的解析式为，
当时，，
直线过坐标为的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数的值随的增大而减小，
又，
，故C正确，不符合题意；
该函数的值随的增大而减小，且当时，，
当时，，即，故D错误，符合题意．
故选：．
根据函数图象可知，，即得出，可判断；将点代入，即得出，即直线的解析式为，由当时，，即可判断；由图象可知该函数的值随的增大而减小，从而即可得出，可判断C正确；由该函数的值随的增大而减小，且当时，，即得出当时，，从而可判断．
本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出，，的值随的增大而减小是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：第一代勾股树中正方形有个，
第二代勾股树中正方形有个，
第三代勾股树中正方形有个，
第六代勾股树中正方形有个．
故选：．
由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
本题考查的是勾股定理及图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
12.【答案】
【解析】解：在 中，，
，，，，
平分，
是等边三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
又，
，
，
，
；故正确；
，，
，即，故正确；
，
；故正确，
，，
，故不正确，
，故正确，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，，，根据角平分线的定义得出，得出是等边三角形，根据三角形中位线的性质得出，进而逐项分析判断即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题主要考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解答本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设，
由题意得：，，，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得：，
，
即梯子的长为．
故答案为：．
设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，然后由勾股定理求出的长度．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：把代入得：，
解得：，
即，
当时，，
即点的坐标是，
所以，
：：，
，
点的坐标是，
设直线的函数解析式是，
把点的坐标代入得：，
解得：，
所以直线的函数解析式是．
故答案为：．
把代入得出，求出，得出，求出点的坐标，根据：：求出，求出点的坐标，设直线的函数解析式是，把点的坐标代入得出，求出即可．
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征，能求出点的坐标是解此题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
根据垂线段最短可知，当点运动到点时，取得最小值为，
图函数图象最低点，
此时，，
由图可知，当点运动到点时，所对的函数值为，
，
在中，，
在中，，
，
．
故答案为：．
过点作于点，根据垂线段最短可知，当点运动到点时，取得最小值为，结合图可得，，，根据勾股定理分别求出、的长，再根据三角形的周长公式计算即可．
本题主要考查动点问题的函数图象、勾股定理，理解函数图象中最低点坐标的实际意义是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：是某正比例函数的“双减点”，
，，
，
不等式组为，
由不等式得，
由不等式得，
不等式组的解集为，
故答案为：．
根据新定义求得，然后解不等式组即可．
本题考查了新定义，解一元一次不等式组，正确求出的值是解答此题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可；
先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20.【答案】
【解析】解：七年级的成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
分的人数最多，七年级成绩的众数为，
八年级的优秀率是，
，
故答案为：；；
人，
答：估计八年级进入复赛的学生为人；
根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：、，
故七年级的学生初赛成绩更好．
根据众数定义、优秀率的定义即可求出、的值；
用乘以满分的百分比即可求解；
根据优秀率进行评价即可．
本题考查了众数定义、优秀率的定义、用样本去估算总体，掌握从图中获取信息，优秀率、众数的定义是关键．
21.【答案】
【解析】解：作于，
平分，
，
，，
≌，
，，
，，
，
．
点到直线的距离是．
故答案为：．
设，
由知，
，
，
，
，
，
的长是．
由条件可以证明≌，得到，即可得到答案；
设，由勾股定理求出的长，由勾股定理得到，求出的值，即可得到的长．
本题考查勾股定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，关键是应用勾股定理列出关于的方程．
22.【答案】
【解析】解：，，
和是直角三角形，
，，，设，
，
在中，，
在中，，
，
故答案为：；
过点作，垂足为点，连接，如图所示：
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
要使的值最小，则需满足点、、三点共线即可，即最小值为的长，
的最小值；
取为线段上一动点，分别过点、作，，连接、已知，，，如图所示：
设，则根据勾股定理可得：，
，
同理可知的最小值即为点与点之间的距离，
的最小值为．
由勾股定理即可求解；
过点作，垂足为点，连接，则有，，要使的值最小，则需满足点、、三点共线即可，即最小值为的长，然后问题可求解；
取为线段上一动点，分别过点、作，，连接、已知，，，然后同理可进行求解．
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23.【答案】解：设篮球每个元，足球每个元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
则足球的单价为：元，
答：篮球每个元，足球每个元；
由题意得：，
即与的函数关系式为；
由题意可得：，
解得：，
，
由得：，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，
此时元，，
【解析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要检验；
根据题意，可以写出与的函数关系式；
根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24.【答案】
【解析】证明：四边形是正方形，
，，
在与中，
，
≌
；
解：，理由如下：
如图所示，设，交于点，
轴，
，
又，
，
≌
，
又，
，即，
；
解：如图所示，过点作轴于点，
则四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
点，坐标分别为、，
，，
，，
，
的周长为．
故答案为：．
证明≌，即可得证；
设，交于点，根据三角形内角和定理得出，根据≌得出，进而得出，等量代换即可求解；
过点作轴于点，证明≌，得出，，，进而即可求解．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
25.【答案】解：当时，，
，
当时，，
，
当时，，
；
，
，
设点横坐标为，
，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设，
当为平行四边形的对角线时，，，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
；
综上所述：点坐标为或或
【解析】分别令，求交点、，通过联立方程，求点的坐标；
设点横坐标为，由，得到方程，求出点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
设，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，再利用中点坐标公式求点坐标即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式的方法，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
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