2023年江苏省连云港市海州区新海初级中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省连云港市海州区新海初级中学中考数学二模试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 下列图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
5. 对于一组数据，，，，下列结论不正确的是( )
A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是
6. 圆锥的高是，其底面圆半径为，则它的侧面展开图的面积为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得，且点在上，交于点，则的度数为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在轴上，在轴上，，，点在边上，，的圆心在线段上，且与边，都相切．若反比例函数的图象经过圆心，则的值是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若二次根式有意义，则的取值范围是________．
10. 因式分解： ．
11. 五一假期，连云港市花果山景区接待游客人次，将用科学记数法表示为______ ．
12. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则______．
13. 如图，是的直径，点，，都在上，，则______
14. 如图，与正五边形的边、分别相切于点、，则劣弧所对的圆心角的大小为______度．
15. 已知关于的二次函数，当时，的值随的增大而减小，则的取值范围为______．
16. 如图，在正方形中，、分别为、的中点，连接，交于点，将沿对折，得到，延长交延长线于点，下列结论正确的是______．
；；；．
三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解不等式组：．
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中是方程的根．
20. 本小题分
年月日，中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，他们生动演示了微重力环境下的多个实验某中学以其中个实验浮力消失实验，太空冰雪实验，水球光学实验，太空抛物实验为主题开展手抄报评比活动，学校天文社团随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
补全条形统计图；
扇形统计图中 ______ ，实验所对应的圆心角的度数为______ ；
若该校共有学生名，请根据上述调查结果，估计有多少人对“太空抛物实验”感兴趣？
21. 本小题分
为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按，，三类分别装袋、投放，其中类指废电池，过期药品等有毒垃圾，类指剩余食品等厨余垃圾，类指塑料、废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类．
直接写出甲投放的垃圾恰好是类的概率；
求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
22. 本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
23. 本小题分
如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，点在的延长线上，且．
求证：是的切线；
若的直径为，，求的长．
24. 本小题分
如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的俯角分别是和，如果斑马线的宽度是米，驾驶员与车头的距离是米，这时汽车车头与班马线的距离是多少？
参考数据：，，，
25. 本小题分
自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用元采购型商品的件数是用元采购型商品的件数的倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多元．
求一件，型商品的进价分别为多少元？
若该欧洲客商购进，型商品共件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，且不小于件．已知型商品的售价为元件，型商品的售价为元件，且全部售出．设购进型商品件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
在的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．
求二次函数的表达式；
如图，连接，，设的面积为，求的最大值；
如图，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
27. 本小题分
【问题情境】如图，在中，，于点，，，求的长．
【问题解决】小明同学是这样分析的：将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，延长、相交于点请按着小明的思路解答下列问题：
说明四边形是正方形；
在中运用勾股定理，求出的长．
【方法提炼】通过问题解决，小明发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地集中、关联与重组请根据自己理解，解答下列问题：
如图，四边形中，，，，，求的最大值．
如图，四边形中，，，点是上一点，且，，，则的最大值为______ 直接写出结果
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值是，
故选：．
利用绝对值的定义求解即可．
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
2.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误；
故选：．
根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，及同类项的合并进行各项的判断，继而可得出答案．
此题考查了同底数幂的除法运算，解答本题要求我们掌握合并同类项的法则、完全平方公式及同底数幂的除法法则．
4.【答案】
【解析】解：，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算判别式的值，然后根据判别式的值进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
5.【答案】
【解析】
【分析】
根据众数、中位数、方差和平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了方差、平均数、众数和中位数，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】
解：这组数据的平均数是：；
出现了次，出现的次数最多，则众数是；
把这组数据从小到大排列为：，，，，则中位数是；
这组数据的方差是：；
故选D．
6.【答案】
【解析】解：这个圆锥的母线长，
所以这个圆锥的侧面积
故选：．
先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，基础题
由旋转的性质可得≌，，由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理和三角形的外角性质可求的度数．
【解答】
解：，，
，
旋转，
≌，，
，
，
，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：作于，轴于，如图，设的半径为，
与边，都相切，
，
，，，
，
，
，解得，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
点坐标为，
把代入得．
故选：．
作于，轴于，如图，设的半径为，根据切线的性质得，再利用面积法求出，接着证明为等腰直角三角形得到，于是得到点坐标为，然后把代入可求出的值．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．
根据被开数即可求解．
【解答】
解：若二次根式有意义，
则，
．
故答案为．
10.【答案】
【解析】首先提公因式，再利用平方差进行二次分解．
解：原式．
故答案为：．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当绝对值时，是正整数，当原数的绝对值时，负整数．
本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的概念是关键．
12.【答案】
【解析】解：点是线段的黄金分割点，且，
．
故答案为．
根据黄金分割的定义求解．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
13.【答案】
【解析】解：连接，如图，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，如图，先利用圆周角定理得到，则利用邻补角计算出，然后再利用圆周角定理计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出、，从而可求出．
【解答】
解：五边形是正五边形，
．
、与相切，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由当时，的值随的增大而减小可知，抛物线开口向上，，
且对称轴，
解得，
故答案为：．
根据对称轴的左侧的增减性，可得，根据增减性，可得对称轴大于或等于，可得答案．
本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出抛物线的开口方向且是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：，分别是正方形边，的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；
，
，
，
，故正确；
由翻折可知：，，
，
，
，
，
设，
则，
在中，设，
，
，
，故正确；
，，
∽，
，，
：：，
的面积：的面积：，
，故错误．
综上所述，结论正确的是．
故答案为：．
首先证明≌，再利用角的关系求得，即可得到；；沿对折，得到，利用角的关系求出，设，解出，，根据正弦的定义即可得到；根据两个角对应相等可证与相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可得到．
本题属于四边形的综合题，是中考填空题的压轴题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先算出乘方，指数幂，负指数幂，化简二次根式，再算加减计算即可．
此题考查实数的综合运算能力．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18.【答案】解：，
解不等式得；
解不等式得；
原不等式组的解集为．
【解析】先求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，分别解出每一个不等式并正确不等式组的解集是解题的关键．
19.【答案】解：原式，
为方程的根，
，即，
则原式．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：由题意得，样本容量为：人，
的人数为：人，
补全频数分布直方图如图所示．
，
，
实验所对应的圆心角为．
故答案为：；．
人，
答：在全校名学生中，约有人对“太空抛物实验”感兴趣．
【解析】用实验主题的人数除以其所占百分比可得调查的学生总人数，求出实验主题的人数，再补全频数分布直方图即可．
用减去，，主题所占的百分比即可求得；用实验所占的百分比乘即可得出答案．
全校名学生乘对“太空抛物实验”感兴趣的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21.【答案】解：垃圾要按，，三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
甲投放的垃圾恰好是类的概率为：；
如图所示：
，
由图可知，共有种可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有种，
所以，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类；
即乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率是：．
【解析】直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是类的概率；
首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．
22.【答案】证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解答本题的关键．
23.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
．
，
．
，
，
，
即，
是的直径，
直线是的切线；
解：过点作于．
，，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
．
【解析】连接，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明．
解直角三角形即可得到结论．
本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．
24.【答案】解：过点作，交的延长线于点，
由题意得：米，米，，
，，
米，
米，
在中，米，
在中，米，
米，
，
解得：，
这时汽车车头与班马线的距离约为米．
【解析】过点作，交的延长线于点，根据题意可得：米，米，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元．
由题意：，
解得，
经检验是分式方程的解，
答：一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元．
因为客商购进型商品件，所以客商购进型商品件．
由题意：，
，
．
设利润为元．则，
当时，即时，随的增大而增大，
所以时，最大利润为元．
当时，最大利润为元．
当时，即时，随的增大而减小，
所以时，最大利润为元．
【解析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．
设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元．根据元采购型商品的件数是用元采购型商品的件数的倍，列出方程即可解决问题；
根据总利润两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；
设利润为元．则，分三种情形讨论即可解决问题．
26.【答案】解：把代得，
．
把代得，
．
设抛物线的解析式为，
将代入得：，解得：，
．
抛物线的解析式，即．
如图所示：过点作轴，垂足为，交与点．
设，则，．
．
当时，有最大值，最大值为．
如图所示：过点作垂足为，直线交直线与点．
，，，
，，，
，
为直角三角形．
取的中点，连接，则，
．
．
当时，即，
，，
，
又，，
，又，
∽，，
设，
则，
，
解得：舍去或．
点的横坐标为．
当时，
设，，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
整理得：，
解得：舍去或．
点的横坐标为．
综上所述，当点的横坐标为或．
【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据题意得到、两点的坐标，设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求得的值即可；
过点作轴，交与点，设，则，然后列出与的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；
根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，，过作轴的垂线，垂足为，交的延线于，设，则，，最后，分为和两种情况列方程求解即可．
27.【答案】
【解析】证明：将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，
，，，，，，，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
解：设，
四边形是正方形，
，，
，，
在中，，
，
，
；
解：如图，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，
，，，，，
，
，
，
，，，
，
当，，三条线段共线时，有最大值，
则的最大值；
解：如图，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，
，，，，，，
，
，
，
，
当，，三条线段共线时，有最大值，
故答案为：．
由折叠的性质可得，，，，，，，可证四边形是正方形；
由正方形的性质可得，，由勾股定理可求解；
将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，由折叠的性质可求，当，，三条线段共线时，有最大值，即可求解；
由折叠的性质可得，，，，，，可求，当，，三条线段共线时，有最大值．
本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，利用折叠的性质添加辅助线是解题的关键．
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