2022-2023河南省开封市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省开封市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2. 设随机变量，，则( )
A. B. C. D.
3. 直线与椭圆交于，两点，则，与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为( )
A. B. C. D. 不能确定
4. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是( )
A. B.
C. D.
5. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到已知，依据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是( )
A. 变量与独立
B. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 变量与不独立
D. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
6. 已知圆：与圆关于直线对称，则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数的极小值为，则( )
A. B. C. D.
8. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满足递推关系：，已知数列为“斐波那契”数列，为数列前项的和，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下表是年某市月份新能源汽车销量单位：千辆与月份的统计数据，
月份
销量
由表中数据求得经验回归方程为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 与正相关
C. 由经验回归方程估计，月份每增加个月，销量平均增加千辆
D. 由已知数据可以确定，月份该市新能源汽车销量一定为千辆
10. 若圆锥曲线：，且的一个焦点与抛物线：的焦点重合，则( )
A.
B. 的离心率
C. 为双曲线，且渐近线方程为
D. 与的交点在直线上
11. 已知平行六面体中，，与的交点为，，，则( )
A. B.
C. D.
12. 人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，和是显性基因，是隐性基因则下列说法正确的是( )
A. 若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有种
B. 若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有种
C. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为
D. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的展开式的常数项是______ 用数字作答．
14. 已知为等比数列前项的和，且，则 ______ ．
15. 在端午节假期间，某单位要安排某科室的名男职工和名女职工进行天假期值班分白班和夜班，其中女职工不值夜班，男职工可以值白班和夜班，且每个人至少要值一次班，则不同的安排方法共有______ 种用数字作答．
16. 已知函数，则的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上．
求圆的标准方程；
求与直线平行且与圆相切的直线方程．
18. 本小题分
已知等差数列满足．
求的通项公式；
记为的前项和，求的最小值及取得最小值时的值．
19. 本小题分
某商场进行有奖促销，一次性消费元以上的顾客可以进行线上抽奖，游戏规则如下：盒中初始装有个白球和个红球每次从盒中有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果某轮取到的两个球都是红球，则记该轮中奖并停止抽球；否则，在盒中再放入一个白球，然后进行下一轮抽球，如此进行下去，最多进行三轮已知顾客甲获得了抽奖机会．
记甲进行抽球的轮次数为随机变量，求的分布列；
按照三轮中奖概率由小到大分别发放代金券元、元、元，求甲抽取代金券金额的期望．
20. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，四棱锥的体积为，的面积为．
求到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
21. 本小题分
已知点在圆：上运动，过点作轴的垂线段，为垂足，为线段的中点当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．
求点的轨迹方程；
经过点作直线，与圆相交于，两点，与点的轨迹相交于，两点，若，求直线的方程．
22. 本小题分
已知函数的图象在点处的切线与直线垂直．
求的值及切线的方程；
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的一个方向向量为，
则直线的斜率为，
直线过点，
则，即．
故选：．
根据已知条件，先求出直线的斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解．
本题主要考查直线的点斜式公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：随机变量，，
，，
．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：直线与椭圆交于，两点，
，与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为：．
故选：．
直接根据椭圆的定义求解即可．
本题主要考查椭圆的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：选项A，，所以，，三个向量共面，不可构成基底；
选项B，，所以，，三个向量共面，不可构成基底；
选项D，，所以，，三个向量共面，不可构成基底；
选项C，由于，，不共面，所以，，不能相互表示出来，故可构成基底．
故选：．
根据已知条件，结合共面向量的充要条件，即可求解．
本题考查空间向量的共面定理，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，，
所以依据小概率值的独立性检验，变量与独立，A正确．
故选：．
根据题意，即可得出正确的结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：圆：的圆心坐标为，半径为；
圆心关于直线的对称点的坐标为
故，解得．
故圆的标准方程为．
故选：．
首先利用点关于线的对称求出圆心的坐标，进一步求出圆的方程．
本题考查的知识要点：点关于直线的对称，圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减，无极值；
当时，，单调递减，无极值极值；
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以当时，取得极小值，
极小值，
解得．
故选：．
由题意，对函数进行求导，分别讨论当，和这三种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
8.【答案】
【解析】解：数列中：，，
得，
，
，
，，
可得：．
故选：．
利用“斐波那契”数列的递推关系式，即，使用迭代法求出与的关系式，即可求出．
本题考查利用数列的递推关系式使用迭代法求和，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：，，
则样本点的中心坐标为，代入，
得，故A正确；
由，可得与正相关，故B正确；
由经验回归方程估计，月份每增加个月，销量平均增加千辆，故C正确；
由已知数据可以确定，月份该市新能源汽车销量约为千辆，故D错误．
故选：．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程可得，然后依次分析四个选项得答案．
本题考查线性回归方程的应用，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项，抛物线：的焦点为，则焦点为，
则圆锥曲线为双曲线，且，即，故A错误；
选项，由分析可知，，，，故B正确；
选项，由分析可知渐近线方程为：，故C错误；
选项，联立，方程有，得，
，由可知，则，
即与的交点在直线上，故D正确．
故选：．
由题可得：的焦点为，则圆锥曲线为双曲线，可判断各选项正误．
本题考查抛物线，双曲线的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：已知平行六面体中，，与的交点为，，，
如图所示：
故，故A正确，B错误；
，
故，故C正确，D错误．
故选：．
直接利用向量的线性运算和向量的模的运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：若父母的血型不相同，
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共种，
所以父母血型的基因类型组合有种，故A错误，B正确；
若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，即基因类型为，
则父亲血型的基因类型可能是，，，其对应的概率分别为，，，
当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，
对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；
当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，，
对应的概率分别为，，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；
当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，
对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；
综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为，故C正确，D错误．
故选：．
若父母的血型不相同，列出所有情况算数即可判断，；若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，可得父亲的基因类型及计算出相应概率，再根据父亲、母亲的基因类型可得孩子的基因类型及计算出相应概率，进而可判断，．
本题考查古典概型概率公式的应用，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：展开式中的通项公式为，
令，解得，
故的展开式的常数项是．
故答案为：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，可得，设公比为，
则，解得，则，
则．
故答案为：．
先求出，设出公比，得到方程，求出，从而得到首项，利用求和公式求出答案．
本题考查等比数列的通项公式，前项和公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：个白班，个晚班，共需要人次，则必有人值班次，
若天白班全部是名女职工值班，则有，晚班个男职工值班有，则共有种，
若天白班名女职工值班两天，则剩余一天有男职工值班，则有种，
则共有种．
故答案为：．
讨论白班全部有名女职工值班或有名男职工进行值班两种情况，进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理进行求解是解决本题的关键，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：函数，则．
所以函数上单调递减，在上单调递增．
故在，即时，函数的最大值为．
故答案为：
首先利用函数的导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值，进一步确定函数的最值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的导数的应用，主要利用函数的导数求出函数的单调区间，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
17.【答案】解：，，
则的中点为，，
故直线的中垂线方程为：，即，
圆心在线段的垂直平分线上，且圆心在直线：上
则，解得，
圆心的坐标为，圆的半径，
故圆的标准方程为：；
由题意可设，所求直线方程为，
则圆心到直线的距离，解得，
故所求直线方程为．
【解析】先求出直线的垂直平分线，再结合圆心在直线：上，求出圆心，即可求出半径，即可求解；
根据已知条件，设出所求直线方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：由已知为等差数列，记其公差为，
当时，，，
所以两式相减可得，，
当时，，所以，
所以；
，
所以，当取与最接近的整数或时，
最小，最小值为．
【解析】根据递推公式，代入求得首项，由递推式可得等差数列的公差，即可得等差数列的通项公式；先求得等差数列的前项和，可得的通项公式，即可求最小值．
本题考查等差数列的性质，考查前项和的最值，属于基础题．
19.【答案】解：易知的所有取值为，，，
此时，，，
则的分布列如下：

记甲抽取代金券的金额为随机变量，
则的所有取值为，，，
此时，，，
所以，
故甲抽取代金券金额的期望为元．
【解析】由题意，得到的所欲取值，求出相对应的概率，进而即可列出分布列；
记甲抽取代金券的金额为随机变量，得到的所有取值，求出相对应的概率，代入数学期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了运算能力和数据分析．
20.【答案】解：因为四棱锥的体积为，底面是菱形，
所以三棱锥的体积为，
设到平面的距离为，
则，
则；
因为为的中点，，
所以，
又因为平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为侧棱底面，平面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
由知，平面，，
所以，
则，，，
，，，
则，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，则平面的一个法向量为．
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】易知三棱锥的体积为，设到平面的距离为，利用等体积法即可得解；
建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量的夹角公式得解．
本题考查点到平面的距离，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
21.【答案】解：设，，则点，
由点是的中点，得，
因为在圆上，所以，
可得，即，
所以点的轨迹是椭圆，其方程为．
当直线的斜率不存在时，则直线，
将代入：中，解得，则，
将代入中，解得，则，
而，舍去；
故直线的斜率存在，设为，故直线，即，
圆心到直线的距离，
则，
联立，消去得，
设，，
则，
所以，
由，
得，解得．
综上所述，直线的方程为或．
【解析】利用相关点法求解点的轨迹方程，得到点的轨迹为椭圆；
考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，利用垂径定理得到，联立直线与椭圆方程，由弦长公式求出，从而列出方程，求出答案．
本题考查圆锥曲线的综合问题，属于中档题．
22.【答案】解：，
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解之得，
又，所以切线的方程为，
即．
证明：由知，，，
令，，
所以在区间上单调递增，
又，，
所以在区间上有唯一实根，且，
当时，，当时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，，
所以，所以成立．
【解析】由切线的几何意义和两直线垂直时斜率的关系即可得答案．
先对函数求导，分析导数可求出函数的最小值，因为最小值大于零，所以．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
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2022-2023河南省开封市高二（下）期末数学试卷（含解析）