2022-2023湖北省恩施州宣恩县清源自然双语高级中学高二（下）期末数学试卷（Word含解析）

2022-2023学年湖北省恩施州宣恩县清源自然双语高级中学高二（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集和，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3. “”是“”的条件．( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4. 已知是第一象限角，且，则( )
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是( )
A. 零向量没有大小，没有方向 B. 零向量是唯一没有方向的向量
C. 零向量的长度为 D. 任意两个单位向量方向相同
6. 已知函数，则等于( )
A. B. C. D.
7. 过点且平行于直线的直线方程为( )
A. B. C. D.
8. 若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 给定数，，，，，，，，，，则这组数据的( )
A. 中位数为 B. 方差为 C. 平均数为 D. 分位数为
10. 若，，则( )
A. B. ，共线
C. D.
11. 质地均匀的正四面体骰子的四个面分别标有，，，四个数字，任意抛掷一次这个正四面体骰子，观察它与地面接触的数字，得到以下事件：“出现数字或者”，“出现数字或者”，“出现数字或者”，“出现数字”，则以下说法正确的是( )
A. B. 与是互斥事件
C. 与是对立事件 D.
12. 已知实数，，满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若，则的最小值为______．
14. 为了调查某地三所高中未成年人思想道德建设情况，省文明办采用分层抽样的方法从该地的，，三所中学抽取名学生进行调查，已知，，三所学校中分别有，，名学生，则从学校中应抽取的人数为______ ．
15. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为______．
16. 从圆外一点向这个圆引切线，则切线的方程为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求在区间上的值域．
18. 本小题分
已知函数的图像经过点，．
求的解析式；
解不等式．
19. 本小题分
已知函数的部分如图所示，将函数的图像上所有的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到．
求的解析式；
求的单调递增区间．
20. 本小题分
从某校的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如图频率分布直方图．
求的值；
求该组数据的众数和平均数；
从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以下的概率．
21. 本小题分
如图，在正方体中，，分别是正方形，的中
心
求证：平面；
若，求三棱锥的体积；
求平面与平面所成角的余弦值．
22. 本小题分
已知椭圆：的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．
求的方程；
已知直线：与椭圆相交于两点，，求线段的长度；
经过点作直线，交椭圆于、两点如果恰好是线段的中点，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
进行交集的运算即可．
本题考查了集合的列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，其虚部为．
故选：．
先对化简，再结合虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：“”“”，反之不成立，例如．
因此“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
“”“”，反之不成立，例如即可判断出结论．
本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为是第一象限角，且，
则．
故选：．
由已知结合同角平方关系即可求解．
本题主要考查了同角平方关系的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：零向量方向是任意的，大小是，因此不正确；
B.零向量方向是任意的，故不正确；
C.零向量的长度为，正确；
D.任意两个单位向量的方向不一定相同，因此不正确．
故选：．
利用零向量与单位向量及其向量的定义与性质即可判断出正误．
本题考查了零向量与单位向量及其向量的定义与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，则，
则，
故选：．
根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：所求直线与直线平行，
可设所求直线方程为不等于，
又过点，则，解得，
所求直线方程为．
故选：．
由平行关系设出直线方程，再根据过点，可得到答案．
本题考查两直线平行的条件以及直线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由双曲线的方程可得：，，
即焦点为，
由椭圆的方程可得：，，，
，．
故选：．
结合双曲线、椭圆的标准方程，求出双曲线和椭圆的焦距，即可得出结论．
本题考查了椭圆、双曲线的方程，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，这组数据的中位数为，故A正确；
对于，这组数据的平均数为，故C正确；
对于，这组数据的方差为，故B错误；
对于，因为，
所以第分位数为，故D正确．
故选：．
根据中位数、平均数、方差和百分位数的定义计算．
本题主要考查了中位数、平均数、方差和百分位数的计算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：已知若，，
对于选项A，，即选项A正确；
对于选项B，，即，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C错误；
对于选项D，，即选项D错误．
故选：．
由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量的模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，A正确；
对于，与可能同时发生，则、不是互斥事件，B错误；
对于，当“出现数字”时，事件、都没有发生，事件、不是对立事件，C错误；
对于，，D正确．
故选：．
根据题意，由对立事件、互斥事件的定义依次分析选项，综合可得答案．
本题考查互斥事件、相互独立事件判定和性质的应用，涉及古典概型的计算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，取，，满足，但是，故A错误；
对于，因为函数在上单调递增，且，
所以，故B正确；
对于，，，
，故C正确；
对于，若，，则，故D错误．
故选：．
根据不等式的性质可判断，根据指数函数的单调性可判断．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，则，当且仅当 时，等号成立，
故答案为．
因为，直接利用基本不等式求出其最小值．
本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据分层抽样法从三所中学抽取名学生，应从学校抽取的人数为．
故答案为：．
根据分层抽样原理计算应从学校抽取的人数即可．
本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．
15.【答案】：
【解析】解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
球的体积与圆柱的体积之比是：：；
故答案为：：．
设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球与圆柱的体积，则答案可求．
本题考查几何体的体积的求法，考查计算能力，是基础题．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
此题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，属于基础题．
当切线方程斜率不存在时，直线满足题意；当切线方程斜率存在时，设出切线方程，根据圆心到切线的距离列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出此时切线方程，综上，得到满足题意的切线方程．
【解答】
解：圆的圆心为，半径为，
分两种情况考虑：
若切线方程斜率不存在时，直线满足题意；
若切线方程斜率存在时，设为，
此时切线方程为，即，
直线与圆相切，
圆心到切线的距离，
即，解得：，
此时切线方程为，即，
综上，切线方程为或．
故答案为或．
17.【答案】解：，
的最小正周期；
，，
，即的值域为．
【解析】根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式可得出，然后即可求出的最小正周期；
根据即可求出的范围，然后即可求出的值域．
本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，正弦函数的图象，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：函数的图像经过点，，
，解得，
；
因为函数在上单调递增，
所以不等式，等价于，
解得或，
即不等式的解集为或．
【解析】把点，的坐标代入解析式，得到关于，的方程组，解出，的值，即可得到的解析式；
根据函数的单调性可得，进而求出的取值范围．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，考查了函数单调性的应用，属于基础题．
19.【答案】解：由图像可知，函数过点，
则，
又，
则，解得，
故；
依题意，，
令，
则，
故函数的单调递增区间为．
【解析】根据函数过点，再结合的范围，可得的值，进而得到的解析式；
先求得的解析式，再利用正弦函数的性质即可得解．
本题考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：由题意知：，
解得．
由频率分布直方图知，身高区间、、、、、的频率分别为、、、、、，
故众数为，
学生身高的平均数为．
由频率分布直方图知，身高在以下的概率为．
【解析】由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为，求出，
由频率分布直方图众数和平均数；
结合频率分布直方图确定在、、区间内的频率，进而求得概率．
本题考查由频率分布直方图求频数、频率、众数、平均值，考查频率公式属于基础题．
21.【答案】证明：由题意知，，分别为线段和的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
解：若，则，所以正方体的棱长为，
所以三棱锥的体积．
解：取的中点，连接，，
设正方体的棱长为，
由题意知，，
所以和均为等边三角形，
所以，，所以或其补角就是平面与平面所成角，
在中，，，
由余弦定理知，，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
【解析】易知，再由线面平行的判定定理，得证；
先写出正方体的棱长，再由棱锥的体积公式，得解；
取的中点，连接，，易得，，从而知或其补角即为所求，再在中，利用余弦定理，求出的值，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，二面角的定义是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：由题意可得，可得，，
所以椭圆的的方程为：；
设，，
联立，整理可得，可得，，
所以；
设，，由题意可得，，
将，的坐标代入可得：，作差整理可得：，
即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
【解析】由题意可得，的值，即求出，的值，可得椭圆的方程；
联立直线的方程与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，代入弦长公式，可得的大小；
设，的坐标代入椭圆的方程，作差整理可得直线的斜率，代入点斜式方程求出直线的方程．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，点差法求直线的斜率的方法，属于中档题．
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2022-2023湖北省恩施州宣恩县清源自然双语高级中学高二（下）期末数学试卷（Word含解析）