2023年河北省邯郸市丛台区育华中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年河北省邯郸市丛台区育华中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下各数是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 是非负数的表达式是( )
A. B. C. D.
4. 如图，把三角形沿方向平移个单位长度得到三角形，若四边形的周长为，则三角形的周长为( )
A. B. C. D.
5. 观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是( )
A. B.
C. D.
6. 把用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
7. 已知点在第四象限，且到轴的距离为，到轴距离是，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
8. 如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影子的大小变化是( )
A. 越来越小
B. 越来越大
C. 大小不变
D. 不能确定
9. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是( )
A. B.
C. D.
10. 若，则的值是( )
A. B. C. D.
11. 如图，图是边长为的等边三角形铁丝框，按图方式变形成以为圆心，长为半径的扇形图形周长保持不变，则所得扇形的面积是( )
A. B. C. D.
12. 如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则图中的的度数是( )
A. B. C. D.
13. 如图，四边形是边长为的正方形，是边长为的正三角形，点，分别是边，的中点，在点，，，四个点中，位于同一反比例函数图象上的两个点是( )
A. 点和点 B. 点和点 C. 点和点 D. 点和点
14. 在一次知识竞赛中，位学生的成绩分别为分，分，分，分，分，分，统计时误将一位学生的成绩分记成了分，则其中不受影响的统计量是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
15. 如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点到点的方向，把铅笔依次绕点、点、点按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖方向变为点到点的方向，这种变化说明( )
A. 三角形内角和等于 B. 三角形外角和等于
C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 三角形任意两边之差小于第三边
16. 九年级班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来米长的围栏，准备围成一边靠墙墙足够长的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形底边靠墙、半圆形这三种方案，最佳方案是( )
A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 面积都一样
二、填空题（本大题共3小题，共8.0分）
17. 在一个不透明的盒子中装有张形状、大小、质地均相同的卡片，上面分别标有数字，，，，，从中随机同时抽取张卡片，那么抽取的卡片上的数字是的概率是______ ．
18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是______ ．
19. 已知两个正数，，可按规则扩充为一个新数在，，三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依此继续扩充下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，
若，，按上述规则操作三次，扩充所得的数是______ ；
若，按上述规则操作五次后扩充所得的数为为正整数，则 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
如图，点，均在数轴上，点在点的右侧，点对应的数字是，点对应的数字是．
若，求的值；
点是线段上一点且，点对应的数字是，若，求的值．
21. 本小题分
为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分满分为分，根据获取的样本数据，制作了如图的统计图和图，图中的一部分被纸片挡住了，请根据相关信息，解答下列问题：
本次随机抽查的学生人数为______ ，在图中，“”的描述应为“分”，其中的值为______ ；
计算抽取的学生实验操作得分数据的平均数；
若该校九年级共有名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
22. 本小题分
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如，，因此，、、这三个数都是神秘数．
验证和这两个数是否为神秘数；
设两个连续偶数为和其中取非负整数，由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗？请说明理由．
23. 本小题分
如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为单位：．
求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
通过计算说明点到点的距离和点到点的距离哪个更长；
要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围．
24. 本小题分
金华境内峰峦叠嶂，公路隧道众多，如图所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面阴影部分如图所示，是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，甲、乙、丙三个小组分别采用三种不同的方法，测算三片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径．
如图，，的延长线交于圆心，若甲组测得，，，求的长．
如图，，的延长线交于圆心，若乙组测得，，，求的长．
如图，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点为的中点，若丙组测得，，求该混凝土管片的外圆弧半径．
25. 本小题分
数学兴趣小组探究平面内横、纵坐标满足特定关系的动点的运动轨迹问题：
组长提出问题：动点随着的变化形成的运动轨迹是什么？
甲同学的思考：取个特殊值得到个点坐标，发现点在一条直线上，可以利用待定系数法求出该直线的表达式；乙同学的思考：令，，通过消去得到与的函数关系式．
______ 填甲或乙同学的方法更严谨，点运动轨迹的函数表达式为______ ；
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，为坐标系内一点且，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴向左运动，同时点从点出发以每秒个单位的速度沿轴向上运动，点是的中点，设运动时间为求点的运动轨迹的函数表达式，并计算当时的最小值；
老师给出坐标平面内两个动点：，．
丙学说：点、的运动轨迹都是直线；丁同学说：点、在运动过程中不可能重合；请你判断两人结论是否正确并说明理由．
26. 本小题分
如图，在正方形中，，点，分别在，上，连接，若，，以为斜边，向下作直角三角形，则在边上存在______ 个符合条件的直角顶点；
在的条件下，若存在符合条件的，求的面积，若不存在，求的长；
某小区有一个边长为的正方形活动区域，小区物业在一面墙的中点处安装一台监控器，该监控器的视角为，监控器可以左右来回转动，并且可以监控该区域的每一个地方，如图，，与正方形在同一个平面内，连接，若点在线段上运动时，请计算面积的最值；
在的条件下，若在线段上运动时不含，两点，请直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此进行判断．
此题考查了最简二次根式的判定，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
故A正确，符合题意；
，
故B错误，不符合题意；
，
故C错误，不符合题意；
，
故D错误，不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则求解即可．
此题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项，熟练掌握完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：是非负数，
．
故选：．
非负数就是正数和零，即大于等于零的数是非负数判断即可．
本题考查了非负数，掌握定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：把三角形沿方向平移个单位长度得到三角形，
，≌，
四边形的周长为，
，
，
，即，
又，，
，
三角形的周长为：．
故选：．
根据平移的性质可得，≌，再由四边形的周长为，可得，再根据，即可求出结果．
本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形，不符合题意；
B、根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形，不符合题意；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，，，
根据角平分线的作法可知，，
，是等腰三角形，不符合题意；
D、不能判断是等腰三角形，符合题意，
故选：．
根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
本题考查了作图复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
7.【答案】
【解析】解：由到轴的距离是，到轴的距离是，得：
，．
由点位于第四象限，得：点坐标为，
故选：．
根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
本题考查了点的坐标，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值得出，是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：根据中心投影的性质，当球竖直向下运动时，球的影子会越来越小，
故选：．
根据中心投影的性质求解．
本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
对角线互相平分，故A不一定是菱形；
四边形是平行四边形，
对边相等，故B不一定是菱形；
四边形是平行四边形，
对边平行，故D不一定是菱形，
图中，根据三角形的内角和定理可得：，
邻边相等，
四边形是平行四边形，
邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形；
故选：．
根据菱形的判定解答即可．
此题考查菱形的判定，关键是根据菱形的判定方法解答．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
，，
．
故选：．
将所给等式的左边展开，然后与等式右边比较，可得含有和的等式，求出、的值即可得答案．
本题考查了多项式乘以多项式，明确多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：是等边三角形，，
的长度为，
．
故选：．
直接根据扇形的面积公式进行计算即可．
本题考查了扇形面积的计算．熟记公式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，将纸带沿折叠成图，
，
，
，
，
．
故选：．
根据折叠的性质求出，根据平行线的性质求出即可．
此题考查平行线的性质，根据平行线的性质解答是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是边长为的正方形，是边长为的正三角形，
，，，，，
则，，
，，，四个点的坐标分别为，，，．
，
点和点在同一个反比例函数的图象上．
故选：．
连接，分别确定，，，四个点的坐标，即可判断．
此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，正确理解各图形性质得到，，，四个点的坐标是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：位学生的成绩分别为分，分，分，分，分，分，统计时误将一位学生的成绩分记成了分，
众数要变，故C不符合题意；平均数与每个数有关，因此平均数也要变，故A不符合题意；方差与每个数据有关，数据变了方差也要变化，故D不符合题意；
中位数是，不会变化，故B符合题意；
故答案为：．
利用已知条件可知统计时误将一位学生的成绩分记成了分，平均数和方差都要变，可对，作出判断；同时众数也要变化，可对作出判断；此时的中位数不变，可对作出判断．
本题考查了平均数；中位数；方差；众数等知识，掌握平均数、方差、中位数、众数的含义是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：这种变化说明三角形的内角和是，
故选A．
根据三角形的内角和定理解答即可．
此题考查三角形的内角和定理，关键是根据三角形的内角和定理是．
16.【答案】
【解析】解：方案：设米，则米，
则菜园面积，
当时，此时菜园最大面积为米；
方案：解法一：如图，过点作于，则，
，
当时，的面积最大为；
解法二：过点作于，
设，，则，
，
，
，
，
当且仅当时，菜园最大面积米；
方案：半圆的半径米，
此时菜园最大面积米米
故选：．
分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
本题考查二次函数的应用，根据题意计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：共个数字，个，
抽取的卡片上的数字是的概率是，
故答案为：．
根据概率公式直接求解即可．
本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．概率等于所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】
【解析】解：如图，设点上方个单位的格点为，
连接、，根据圆周角定理可得，
每个小正方形的边长都是，点、、均在网格交点上，
，，
，
故答案为：．
根据圆周角定理将转换到直角三角形中，即可求得的值．
本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：，，按规则操作三次，
第一次：；
第二次，，所以有：；
第三次：，所以有：．
故答案为：；
第一次得：；
因为，所以第二次得：；
所得新数大于任意旧数，所以第三次可得；
第四次可得：；
第五次可得：；
，，
．
故答案为：；．
，，按规则操作三次，第一次：；第二次；第三次；
第一次得：；第二次得：；所得新数大于任意旧数，故经过次扩充，所得数为：，故可得结论．
本题考查了推理与论证以及新定义运算，考查学生分析解决问题的能力，求出经过次操作后扩充所得的数是关键．
20.【答案】解：由题意得，
，
解得，
的值是；
由题意得，
，
解得，
的值是．
【解析】根据可列式，再求解即可；
由题意可列式，再通过解该方程即可．
此题考查了数轴中数形结合问题的解决能力，关键是能准确根据题意和数轴知识列式、计算．
21.【答案】
【解析】解：本次随机抽查的学生人数为：人，
，
故答案为：，；
分的人数为人；
分的人数为人，
，
答：这组数据的平均数是．
在抽取的学生实验操作得分中，得满分的学生比例为，
．
答：估计该校理化生实验操作得满分的学生有人．
由分的人数人除以解得总人数，用减去各组百分比即可解得的值；
先求得分和分的人数，根据平均数的定义解答；
先计算得满分的学生比例为，再乘以即可．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，求平均数，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】解：，，
和这两个数都是神秘数；
是，理由如下：
这两个连续偶数构造的神秘数为：
，
取非负整数，
由和造的神秘数是的倍数．
【解析】根据新定义，进行判断即可求解；
根据定义，利用平方差公式因式分解即可求解．
本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
23.【答案】解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，舍去，
喷出水的最大射程为；
关于对称轴的对称点为：，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移个单位得到，
下边缘抛物线为：，令，
解得：或，
点在正半轴上，
．
，
；
，
点的纵坐标为，
，
解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为，
综上所述，的取值范围是．
【解析】由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
利用关于对称轴的对称点为：，可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移个单位得到，求出下边缘抛物线为：，进一步可求出，根据两点坐标勾股定理求得，即可求解；
根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案．
本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
24.【答案】解：，，
，
∽，
，
设，则，
，
解得，
经检验，是原方程的根，
即；
由可得，，
设，则，
．
解得，
经检验，是原方程的解，
即；
如图，设圆心为点，连接、、，，与相交于点，则，，
设外半径为，则，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解得，
答：该混凝土管片的外圆弧半径为．
【解析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∽，利用相似三角形的性质进行计算即可；
根据“弧长的比等于相应的半径的比”进行计算即可；
根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查弧长的计算，垂径定理，掌握垂径定理、勾股定理以及弧长的计算方法是解决问题的前提．
25.【答案】乙
【解析】解：令，，
，，
，
，
故答案为乙，，
点的速度为每秒个位，点的速度为每秒个位，
，，
，，
为的中点，
，
令，，
，，
，
，
如图，以点为圆心，为半径作圆，过点作轴于点，连接交于点，
此时值最小，
当时，点坐标为，
，
，，
在中，
，
的最小值为，
丁同学的结论正确，
理由：令，，
，，
，
的运动轨迹是抛物线，不是直线，
令，，
，，
，
令，
，
，
此方程无解，
与 无交点，
点、在运动过程中不可能重合，
设出参数，，令，，通过消去得到与的函数关系式．
根据，的移动速度找到移动的距离，计算得出，的坐标，进而得到中点的坐标，根据第一个问号的方法求出点运动轨迹的函数关系式，当为特定值时，根据两点之间，线段最短找到最小值的线段，利用坐标找到线段长度根据勾股定理算出最小值．
根据第一个问号的方法找到和的两点运动轨迹函数关系式，由点的运动轨迹的函数关系式可知点的运动轨迹是抛物线，不是直线，再将和的两点运动轨迹函数关系式联立组成方程组，通过计算根的判别式发现方程无解，说明点、在运动过程中不可能重合，所以判断丁同学结论成立．
本题考查求动点的运动轨迹函数表达式的过程，设出参数，列出函数函数关系式，从而解决问题，在解决函数关系式的基础上，又考查函数环境下最短距离的内容，本题的解题关键是如何消去参数，列出函数关系式．
26.【答案】两
【解析】解：如图，
设，则，
在正方形中，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
或，
故答案为：两；
当时，，
，
，
当时，，，
，
综上所述：的面积或；
图，
作于，
，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
当时，，
的面积最小值为：，
，
当时，，
的面积的最大值为：，
如图，
由上知：∽，
，
．
设，可证得∽，从而得出，即：，求得的值，进而得出结果；
根据的值，分两种情况和的长，进而求得结果；
作于，可证得∽，从而，从而得出，，从而，根据，找出的最值，从而得出结果；
根据∽可得出．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“一线三直角”模型．
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2023年河北省邯郸市丛台区育华中学中考数学三模试卷（含解析）