【考点全练】提升卷07-2024年新高考数学单选题、多选题、填空题训练（含解析）

提升卷07
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知复数z满足，则复数z的虚部为（　 　）
A． B．1 C． D．i
【答案】B
【分析】根据题意，化简得到，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数满足，可得，
所以复数z的虚部为.
故选：B.
2．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
【答案】C
【分析】解对数不等式和一元二次不等式可得集合A，B，然后可得集合，可得子集个数.
【详解】由得，所以，
解不等式得，
所以，所以的子集个数为.
故选：C
3．（2023·四川·校联考模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.
【详解】由题意知，
则原式.
故选：B.
4．（2023春·江苏盐城·高一统考阶段练习）已知向量，且，则实数等于（ ）
A．2 B． C．8 D．±
【答案】D
【分析】根据，由求解.
【详解】解：因为向量，
所以，
因为，
所以，
解得，即，
故选：D
5．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）若则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.
【详解】因为，，，
当时，设，
则，
所以在上单调递减且，
所以，
即，所以；
又因为，所以，，即，
所以.
故选：A.
6．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率．
【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，
延长交轴于点，则由平行于轴知，，
则,设内切圆半径为r，
则，
∴椭圆的离心率为．
故选：A﹒
7．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期中）已知，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据，结合二项式定理求解即可.
【详解】因为，展开式第项，当时，，当时，，故，即.
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3个小球和3个小球，当发生有效碰撞时，，上的计数器分别增加2计数和1计数，，球两两发生有效碰撞的概率均为，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球个数的期望是（ ）个
A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2
【答案】B
【分析】由题意可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等，根据种不同的取法，每种取法里三个球两两碰撞之后共有种等可能的情况发生，其中可产生计数为的球的情况有种，再算出其中不同取法里球个数各自的概率，即可计算出期望.
【详解】由，球两两发生有效碰撞的概率均为，
可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等.
取出三个球后，每两个球之间碰撞一次，则需碰撞次，
每次碰撞均有有效碰撞和无效碰撞两种情况发生，且可能性相等，
所以三个球两两碰撞之后共有种等可能的情况发生.
①若取出的三个球均为球，有种取法，
碰撞之后产生计数为的球的情况有：
每个球之间有效碰撞次，无效碰撞次，计数结果为，有种；
每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种；
则符合条件的情况数为.
②若取出的三个球为个球，个球，有种取法，
碰撞之后产生计数为的球的情况有：
，球之间有效碰撞次，无效碰撞次，计数结果为或，有种；
每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种；
则符合条件的情况数为.
③若取出的三个球为个球，个球，有种取法，
碰撞之后不产生计数为的球的情况有：
每个球之间无效碰撞次，计数结果为，有种；
则碰撞之后产生计数为的球的情况有种，符合条件的情况数为.
④若取出的三个球均为球，有种取法，
碰撞之后不产生计数为的球的情况有：
每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种；
每个球之间无效碰撞次，计数结果为，有种；
则碰撞之后产生计数为的球的情况有种，符合条件的情况数为.
所以碰撞之后产生计数为的球的情况总数为，
设李华一开始取出的三个球里，球个数为随机变量，
则随机变量所有可能取值的集合是，
，
，
，
，
故的分布列如下表：
数学期望，
所以李华一开始取出的三个球里，球个数的期望是个.
故选：.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022春·高一课时练习）攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖．以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（ ）
A．底面边长为4米 B．侧棱与底面所成角的正弦值为
C．侧面积为平方米 D．体积为32立方米
【答案】BD
【分析】根据已知条件及正四棱锥的结构特征，求底面边长、体高，再应用棱锥的体积、表面积公式求表面积和体积.
【详解】如图，在正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，E为CD的中点，，
设底面边长为2a，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，
所以，则，，，
所以，即，可得．
底面边长为米，A错误；
侧棱与底面所成角的正弦值为，B正确；
侧面积，C错误；
体积，D正确．
故选：BD
10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则边上的中线长为
B．若，，，则有两个解
C．若不是直角三角形，则一定有
D．若是锐角三角形，则一定有
【答案】CD
【分析】利用向量化即可判断A；利用正弦定理解三角形即可判断B；根据三角形内角和定理结合两角和的正弦定理即可判断C；由，，结合正弦函数的单调性即可比较，进而可判断D.
【详解】对于A，由为的中点得：
，
所以边上的中线长为，故A错误；
对于B，，，，
因为，所以，
所以或，
又因为，所以，且只有一个解，
所以只有一个解，故B错误；
对于C，因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，故C正确；
对于D，因为是锐角三角形，所以，
又，所以，
所以，所以，
同理，
所以，故D正确.
故选：CD.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是R上的奇函数 D．是R上的奇函数
【答案】AD
【分析】利用函数的奇偶性、周期性、对称性，以及原函数与导函数的奇偶性，即可判断各选项正误.
【详解】解：已知为偶函数，可知关于对称，
所以关于对称，
因为是奇函数，可知关于对称，
所以关于对称，
又因为，则，即，
所以与关于对称，
因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为，
所以关于对称，关于直线对称，是偶函数，
而关于对称，，又，
则，，，
即是周期为4的偶函数，故C选项错误；
由关于直线对称，，关于对称，，
则，，
所以，即是周期为4的偶函数，
由于是周期为4的偶函数，则，
等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数，
同理，由于是周期为4的偶函数，则，
等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数，
所以与均是周期为4的奇函数，故D选项正确；
由于关于对称，，，则，
所以，故A选项正确；
，故B选项错误；
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的对称性得到函数的奇偶性及周期性，再利用复合函数的导数可得导函数的性质进而即得.
12．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（ ）
A．若中点纵坐标为2，则的斜率为2
B．若点恰为的垂心，则的周长为
C．若与的倾斜角互补，则的斜率恒为
D．若，则点纵坐标的取值范围是
【答案】BD
【分析】使用抛物线的性质解题，结合斜率的运算公式可以排除选项A；利用垂心的性质，选项B正确；利用斜率的二级结论，排除选项C；利用，选项D正确。
【详解】对于选项A，设，，则由，在抛物线上可得，，
所以，当中点纵坐标为2时，，所以，A错误；
对于选项B，若点恰为的垂心，则由，可得，关于轴对称，所以，
则，，又由可得，所以，
则，，所以，，则的周长为，B正确；
对于选项C，若与倾斜角互补，则，即，
所以，则，故C错误；
对于选项D，若，由可得，即，
即（，与2互不相等），
将看作关于的一元二次方程，令，解得，
又当时，，当时，方程无解，所以点纵坐标，故D正确，
故选：BD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则 ．
【答案】/
【分析】先根据和在公共点处有相同的切线得出在处两函数的导数相等,再由在上,列方程组求解即可.
【详解】因为，
所以，，
因为在公共点处有相同的切线，
所以即，
所以
故答案为：
14．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）下列说法中正确的有 （填正确说法的序号）．
①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；
②已知随机变量，且，则；
③若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；
④若事件A，B满足，，，则有．
【答案】①②④
【分析】对于①，利用方差的性质求解判断，对于②，根据正态分布的性质计算，
对于③，根据相关系数的性质判断，对于④，利用独立事件和条件概率公式求解判断.
【详解】由于，所以数据，，…，的方差为16，
故标准差为4，因此①正确；
根据正态分布，，故，即，
故.3，因此②正确；
线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故③错误；
由于等价于“事件A与事件B相互独立，即，
故必有，因此④正确.
故答案为：①②④
15．（2023·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱中，，棱柱的侧棱足够长，点P在棱上，点在上，且，则当△的面积取最小值时，三棱锥的外接球的体积为 .
【答案】
【分析】取的中点，连接，证得平面，得到，再证得平面，得到，设，求得，，得到，得到，结合基本不等式，求得时，的面积取最小值，进而得到O为三棱锥的外接球的球心，求得球的半径，利用球的体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点为，连接，
因为三棱柱为直棱柱，所以平面ABC，
因为平面，所以，
又因为且，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为且，平面，所以平面，
因为平面，所以，
设，在直角中，，同理，
所以，整理得到，
又由
，
当且仅当时等号成立，即时，的面积取最小值，
因为平面，平面，所以，所以，
又因为为直角三角形，故，所以为三棱锥的外接球的球心，
设外接球的半径为，可得外接球的直径为，
所以外接球的体积为.
故答案为：.
16．（2023春·安徽·高二安徽省庐江汤池中学校联考期中）函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造，得到其在上为偶函数，且在上单调递增，变形得到，从而得到，求出答案.
【详解】令，则，
又，所以得，
即，所以为上的偶函数，
又时，，所以在上单调递增，
又为上的偶函数，所以在上单调递减，
由，得，
所以，
即，所以得，解得：，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若，则构造，
若，则构造，
若，则构造，
若，则构造.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
提升卷07
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知复数z满足，则复数z的虚部为（　 　）
A． B．1 C． D．i
2．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
3．（2023·四川·校联考模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·江苏盐城·高一统考阶段练习）已知向量，且，则实数等于（ ）
A．2 B． C．8 D．±
5．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）若则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
7．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期中）已知，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．（2023·全国·高三专题练习）李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3个小球和3个小球，当发生有效碰撞时，，上的计数器分别增加2计数和1计数，，球两两发生有效碰撞的概率均为，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球个数的期望是（ ）个
A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2022春·高一课时练习）攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖．以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（ ）
A．底面边长为4米 B．侧棱与底面所成角的正弦值为
C．侧面积为平方米 D．体积为32立方米
10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则边上的中线长为
B．若，，，则有两个解
C．若不是直角三角形，则一定有
D．若是锐角三角形，则一定有
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是R上的奇函数 D．是R上的奇函数
12．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（ ）
A．若中点纵坐标为2，则的斜率为2
B．若点恰为的垂心，则的周长为
C．若与的倾斜角互补，则的斜率恒为
D．若，则点纵坐标的取值范围是
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则 ．
14．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）下列说法中正确的有 （填正确说法的序号）．
①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；
②已知随机变量，且，则；
③若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；
④若事件A，B满足，，，则有．
15．（2023·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱中，，棱柱的侧棱足够长，点P在棱上，点在上，且，则当△的面积取最小值时，三棱锥的外接球的体积为 .
16．（2023春·安徽·高二安徽省庐江汤池中学校联考期中）函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为 ．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()

【考点全练】提升卷07-2024年新高考数学单选题、多选题、填空题训练（含解析）