浙教版2023年九年级上册第1章《二次函数》经典题型检测卷（含解析）

浙教版2023年九年级上册第1章《二次函数》经典题型检测卷
一、选择题（共30分）
1．下列函数是二次函数的是（ ）．
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点的横坐标是（ ）．
A． B． C． D．0
3．在函数，y随x增大而减小，则x的取值范围为( )
A． B． C． D．
4．如果点在抛物线上，将此抛物线向右平移3个单位后，点同时平移到点，那么坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( )
A． B． C． D．
6．已知抛物线与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．已知都在函数图象上，则的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
8．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
9．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共32分）
11．二次函数的概念：一般的，形如 (是常数，)的函数叫做二次函数．其中 是自变量，分别是函数解析式的 、 、常数项．
12．二次函数的图象开口方向是 ．
13．抛物线与轴的交点坐标是 .
14．抛物线的对称轴是 ．
15．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的解析式为 ．
16．长方形的周长为，其中一边长为（其中），面积为，则与的关系式为 ．
17．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则关于的方程的根为 ．

18．当时，二次函数的最小值为 ．
三、解答题（共58分）
19．（6分）已知二次函数的图像经过，两点．
(1)求和的值；
(2)试判断点是否在此函数图像上？
20．（6分）在平面直角坐标系中中画出二次函数的图象．

21．（8分）如图，已知二次函数的图象过和两点，

(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线，并直接写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
22．（8分）年月日至日，第届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某超市在今年1月份销售“冰墩墩”个，“冰墩墩”十分畅销，、月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，月份的销售量达到个．
(1)求“冰墩墩”、这两个月销售量的月平均增长率；
(2)若“冰墩墩”每个进价元，原售价为每个元，该超市在今年月份进行降价促销，经调查发现，若“冰墩墩”在月份的基础上每个降价元，销售量可增加个，当“冰墩墩”每个售价为多少元时，出售“冰墩墩”在月份利润最大，最大利润为多少元？
23．（9分）在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，点、均在直线上．
(1)求直线的表达式；
(2)若抛物线与直线有交点，求的取值范围；
(3)当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值．
24．（9分）某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹上，任意一点与支柱的水平距离x（单位：）与广场地面的垂直高度为y（单位：）满足关系式，且点在抛物线上

(1)求该抛物线的表达式；
(2)求水柱落地点与雕塑的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到的距离）控制在7到14之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度
25．（12分）如图，已知．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求三角形的面积；
(3)若点E在抛物线上，且三角形面积是三角形面积的一半，求E点坐标．
参考答案
1．C
【分析】利用二次函数的定义进行逐一判断即可：一般地，形如是常数，的函数叫做二次函数．
【详解】解：A、未知数的最高次不是2，该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
B、未知数的最高次不是2，该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．D
【分析】只需要找到抛物线的对称轴即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为y轴，即抛物线顶点的横坐标为0，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知对于二次函数，其顶点坐标为是解题的关键．
3．D
【分析】根据抛物线的开口方向和顶点式判断即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴函数图像开口向上，
当时，随的增大而减小．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数（，，为常数，），当时，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大；当时，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小．
4．C
【分析】先把代入得，于是得到点坐标为，由于抛物线向右平移3个单位，则抛物线上所有点都右平移3个单位，然后根据点平移的规律可确定点坐标．
【详解】解：把代入得，
则点坐标为，
把点向右平移3个单位后所得对应点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．D
【分析】根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨的情况，即可求出答案.
【详解】解：二次函数为 ，
，
二次函数的开口方向向上，
排除C选项.
一次函数，
，
一次函数经过轴正半轴，
排除A选项.
当时，则，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数经过轴正半轴，
排除B选项.
当时，则
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数经过轴负半轴，
D选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系.
6．A
【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．决定抛物线与轴的交点个数．
7．A
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出，，的值，然后比较它们的大小．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，，
所以．
故选：A．
【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把坐标代入解析式．
8．C
【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．
【详解】解：∵此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：，
∴炮弹所在高度最高的是第12秒．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
9．B
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
10．B
【分析】根据的纵坐标与的纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可解答．
【详解】解：∵点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，根据题意找出题中规律是解题的关键．
11． x 二次项系数 一次项系数
【分析】根据二次函数的概念可直接得出答案．
【详解】解：二次函数的概念：一般的，形如 (是常数，)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
故答案为：x，二次项系数，一次项系数．
【点睛】本题考查了二次函数的概念，熟练掌握基础知识是解题的关键．
12．向下
【分析】根据二次系数即可解答．
【详解】解：∵二次函数中，，
∴二次函数图像的开口方向是向下．
故答案为：向下．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据题意得出，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标．
【详解】解：令，得，
故与轴的交点坐标是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键，此题较容易．
14．y轴
【分析】根据二次函数的图象与性质，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴是y轴，
故答案为：y轴．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握的对称轴是y轴是解决本题的关键．
15．
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”可得答案．
【详解】解：把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的解析式为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
16．
【分析】首先利长方形周长公式表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解.
【详解】解：∵长方形的周长为，长方形的一边长为，
∴另一边长为，
则与的关系式为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了列函数关系式，理解长方形的边长、周长以及面积之间的关系是关键.
17．，
【分析】观察函数图象当时，，由二次函数对称轴为直线，则当时，，据此即可得出方程的解．
【详解】解：根据二次函数图象可得：当时，，
又因为二次函数关于直线对称，
所以当时，，
所以关于的方程的解为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．
18．
【分析】先把二次函数配方成顶点式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵二次函数，且，
∴抛物线开口向上，对称轴为：直线，
∴当时，y随x的增大而减少，
∴当时，二次函数的最小值，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，把二次函数配方成顶点式，是解题的关键．
19．(1)
(2)不在
【分析】（1）已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得、的值；
（2）将点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点是否在抛物线的图象上．
【详解】（1）解：把，两点代入二次函数得
，
解得，；
（2）解：由（1）得，
把代入，得，
点在不在此函数图象上．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
20．见解析
【分析】将x和对应的y值列表，再在平面直角坐标系中描点，最后连线即可画出图形．
【详解】解：函数的x和对应的y值列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 7 1 1 7 …
描点、连线画出抛物线如图：

【点睛】本题考查了利用描点法画二次函数的图象，根据二次函数的解析式求出图象上的点是解题关键．
21．(1)
(2)点D坐标为
(3)
【分析】（1）根据二次函数的图象过和两点，代入得出关于a，b的二元一次方程组，求得a，b从而得出二次函数的解析式；
（2）令，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点D的坐标；
（3）联立一次函数和二次函数解析式，求解出交点坐标，按照函数解析式运用描点法画出图象，观察二次函数与一次函数图象，找到一次函数值高于二次函数值的部分，其对应自变量即是x取值范围．
【详解】（1）解：二次函数的图象过和两点，
，
，，
二次函数的解析式为；
（2）当时，得；
解得，，
点D坐标为；
（3）解：联立一次函数和二次函数，
，
解得：，，
即一次函数与二次函数图象如图，

当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，描点法画函数图象，二次函数与一次函数的交点等知识，熟练掌握各个知识点是解答关键．
22．(1)
(2)每个售价为元时，出售“冰墩墩”在月份利润最大，最大利润为元
【分析】（1）设“冰墩墩”月销售量平均增长率为a，根据题意建立方程求解即可；
（2）设“冰墩墩”每个降价元，利润为元，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”月销售量平均增长率为a，根据题意，
得．
解得（舍去），，
答：“冰墩墩”月销售量的月平均增长率为；
（2）设“冰墩墩”每个降价元，利润为元
当时，有最大值．最大值为元．
此时售价为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键．
23．(1)
(2)且
(3)或
【分析】（1）将、代入直线得，解方程组即可得到答案；
（2）联立与，则有，抛物线与直线有交点，则，求解即可得到答案；
（3）分在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：将、代入直线得，
，
解得，
∴；
（2）解：联立与，
则有，
∵抛物线与直线有交点，
∴，
∴且；
（3）解：根据题意可得，，
∴抛物线开口向下，对称轴为：直线，
∵时，有最大值，
∴当时，有，
∴或，
①在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴时，y有最大值，
∴；
②在对称轴右侧，随增大而减小，
∴时，有最大值；
综上所述：或．
【点睛】本题考查二次函数的图形及性质，一次函数的图形及性质，熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．
24．(1)
(2)14米
(3)米
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）求出抛物线与x轴正半轴交点的横坐标即可；
（3）利用待定系数法求出抛物线的表达式，化为顶点式，求出最大值，与（2）中水柱喷水的半径为时的最大高度比较后即可得到答案．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴；
（2）在中，
令，得，
解得或（舍去），
∴水柱落地点与雕塑的水平距离是14米；
（3）当水柱喷水的半径为时，抛物线经过，，代入，得
，
解得．
∴，
∴当时，喷水池水柱的最大高度是米；
由（2）知，当水柱喷水的半径为时，，
∴当时，喷水池水柱的最大高度是米．
∵，
∴喷水池水柱的最大高度是米．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，用到了待定系数法、函数的顶点式和最值问题等知识，读懂题意准确计算是解题的关键．
25．(1)；
(2)；
(3)E点坐标为或或或．
【分析】（1）用待定系数法：设二次函数的解析式为，由题意可得抛物线经过A，B，C三点，将这三点坐标代入抛物线解析式，求出a，b，c，的值即可求出抛物线的解析式；
（2）求出的值，利用三角形面积公式求出的面积；
（3）由上题可知，设E点的纵坐标为n，因为，所以由面积公式得，再分别代入抛物线解析式，即可求出E点横坐标，对应写出E点坐标即可．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，
由题意可得函数经过三点，将三点坐标代入得：，
解得，
所以二次函数的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：设E点的纵坐标为n，
∵，
∴，即，，
代入解得，
当时，，
整理得，
解得，，
E点坐标为或；
当时，，
整理得，
解得，，
E点坐标为或；
综上，E点坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解解析式．

浙教版2023年九年级上册第1章《二次函数》经典题型检测卷（含解析）