人教版数学八年级上册11.2.1　三角形的内角素养提升练（含解析）

第十一章　三角形
11.2　与三角形有关的角
11.2.1　三角形的内角
基础过关全练
知识点1　三角形内角和定理
1.如图①②③④所示的四种方法中,能成为证明三角形内角和定理思路的是 (　　)
A.①②③④　B.①③　C.③④　D.①②
2.【跨学科·地理】【新独家原创】如图,在某主题公园内从A处看见C在其北偏东62°的方向上,从B处看见C在其北偏东18°的方向上(A与B在同一条直线上),则从C处看A,B两处的视角∠ACB的度数为 (　　)
A.18°　　　B.26°　　　C.44°　　　D.62°
3.【教材变式·P17T8】如图,在△ABC中,∠BAC=62°,BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,BD、CE相交于点O,则∠BOC的度数是　　　　.
4.(2023吉林省第二实验学校月考)如图,在△ABC中,∠A=46°,CE是∠ACB的平分线,交AB于点E,点B、C、D在同一条直线上,FD∥EC交AB于F,∠D=42°,求∠B的度数.
5.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°,求这个“特征三角形”的最小内角的度数;
(2)是否存在“特征角”为120°的“特征三角形” 若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由.
知识点2　直角三角形的性质与判定
6.(2023山东烟台期末)如图,直线AB∥CD,且AC⊥CB于点C,若∠BAC=35°,则∠BCD的度数为 (　　)
A.65°　　　　　B.55°　　　
C.45°　　　　　D.35°
7.【教材变式·P14T2】如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过E作ED⊥AB,垂足为D,若∠1=∠2,则△ABC是 (　　)
A.直角三角形　　　　　
B.锐角三角形
C.钝角三角形　　　　　
D.无法确定
8.如图,BD平分∠ABC,∠ADB=60°,∠BDC=80°,∠C=70°,则△ABD是
　　　　三角形.
9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线,它们相交于点O,∠AOB=125°,则∠CAD的度数是　　　　.
能力提升全练
10.(2022湖南岳阳中考,5,★☆☆)如图,已知l∥AB,CD⊥l于点D,若∠C=40°,则∠1的度数是(　　)
A.30°　　　B.40°　　　C.50°　　　D.60°
11.(2022广东深圳外国语学校月考,4,★☆☆)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为 (　　)
A.38°　　　B.39°　　　C.40°　　　D.44°
12.(2021贵州毕节中考,5,★☆☆)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上,则∠1的度数为(　　)
A.70°　　　B.75°　　　C.80°　　　D.85°
13.(2022四川成都七中期末,6,★★☆)如图,在三角形纸片ABC中,∠A=60°,∠B=70°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC外的C'处,折痕为DE,若∠2=18°,则∠1的度数为(　　)
A.50°　　　B.118°　　　C.100°　　　D.90°
14.(2021广东广州育才中学期中,7,★★☆)在下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2;③∠A=90°-∠B;④∠A=
2∠B=3∠C中,能确定△ABC是直角三角形的有 (　　)
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
15.(2021江苏常州中考,15,★☆☆)如图,在△ABC中,点D、E分别在BC、AC上,∠B=40°,∠C=60°,若DE∥AB,则∠AED=　　　°.
16.(2022黑龙江哈尔滨中考,17,★★☆)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC的度数是　　　　　.
17.(2023河北唐山期末,23,★★☆)如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠C>∠B,
E为射线AD上一点,且EF⊥BC于F.
(1)若∠B=40°,∠C=60°,试求∠DEF的度数;
(2)由解答(1)的经历,试探索∠DEF与∠B、∠C的数量关系,并说明理由.
素养探究全练
18.【推理能力】【教材变式·P16T5】已知:如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称为“8字形”.试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:　　　　　　　　　　　　;
(2)仔细观察,在图2中,“8字形”的个数为　　　　;
(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N,利用(1)的结论,试求∠P的度数;
(4)当图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系 (直接写出结论即可)
图1　 图2
答案全解全析
基础过关全练
1.B　题图①是过点A作直线l∥BC,可以成为证明三角形内角和定理的思路;题图③是延长BA至D,过点A作射线l∥BC,可以成为证明三角形内角和定理的思路;题图②④中的l是过点A作的任意直线或射线,不能成为证明三角形内角和定理的思路,故选B.
2.C　由题意得∠CAB=90°-62°=28°,∠ABC=90°+18°=108°,
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=44°.故选C.
3.答案　121°
解析　∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∠BAC=62°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-62°=118°,
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×118°=121°,故答案为121°.
4.解析　∵FD∥EC,∠D=42°,∴∠BCE=∠D=42°,
∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACB=2∠BCE=84°,
∵∠A=46°,∴∠B=180°-84°-46°=50°.
5.解析　设这个“特征三角形”的三个内角分别为α、β、γ.
(1)∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=100°时,β=50°,则γ=30°,
∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
(2)不存在.
理由:∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=120°时,β=60°,
则γ=0°,此时不能构成三角形,
∴不存在“特征角”为120°的“特征三角形”.
6.B　∵AC⊥CB,∴∠ACB=90°,
∴∠ABC=180°-90°-∠BAC=90°-35°=55°,
∵直线AB∥CD,∴∠BCD=∠ABC=55°,故选B.
7.A　∵ED⊥AB,∴∠1+∠A=90°,
∵∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°,∴∠ACB=90°,
∴△ABC是直角三角形.故选A.
8.答案　直角
解析　在△DBC中,∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-80°-70°=30°,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°,
∵∠ADB=60°,∴∠A=180°-30°-60°=90°,
∴△ABD是直角三角形.
9.答案　20°
解析　∵∠AOB=125°,∴∠OAB+∠OBA=55°,
∵AE,BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线,
∴∠BAC+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=110°,
∴∠C=180°-110°=70°,
∵AD是BC边上的高,
∴∠ADC=90°,∴∠CAD=90°-70°=20°.
能力提升全练
10.C　如图,在Rt△CDE中,∠CDE=90°,∠DCE=40°,∴∠CED=90°-40°=50°,∵l∥AB,∴∠1=∠CED=50°.
11.B　∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ACB,
∵∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-54°-48°=78°,
∴∠BCD=39°,
∵DE∥BC,∴∠CDE=∠BCD=39°,故选B.
12.B　如图,
∵∠2=90°-30°=60°,∴∠3=180°-45°-60°=75°,
∵a∥b,∴∠1=∠3=75°,故选B.
13.B　在△ABC中,∠A=60°,∠B=70°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=50°.
由折叠可知∠CDE=∠C'DE,∠CED=∠C'ED,
∴∠CED==99°,
∴∠CDE=180°-∠CED-∠C=31°,
∴∠1=180°-∠CDE-∠C'DE=180°-2∠CDE=118°.
故选B.
14.C　①∵∠A+∠B=∠C,∴2∠C=180°,∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形;
②∵∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2,
∴设∠A=5x,∠B=3x,∠C=2x,x>0°,
∴5x+3x+2x=180°,解得x=18°,
∴∠A=18°×5=90°,∴△ABC是直角三角形;
③∵∠A=90°-∠B,∴∠A+∠B=90°,
∴∠C=180°-90°=90°,∴△ABC是直角三角形;
④∵3∠C=2∠B=∠A,
∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠A+∠A=180°,
∴∠A=°,∴△ABC为钝角三角形.
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③,共3个,
故选C.
15.答案　100
解析　在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,
∵∠B=40°,∠C=60°,
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°,
∵DE∥AB,∴∠A+∠AED=180°,
∴∠AED=180°-80°=100°.故答案为100.
16.答案　80°或40°
解析　当△ABC为锐角三角形时,如图1,
∵∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°;
当△ABC为钝角三角形时,如图2,∵∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°,∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°.
综上所述,∠BAC=80°或40°.
图1　 　图2
17.解析　(1)∵∠B=40°,∠C=60°,∴∠BAC=80°,
∴∠1=∠2=∠BAC=40°,
∴∠FDE=∠ADC=180°-40°-60°=80°,
∵EF⊥BC,∴∠DEF=90°-80°=10°.
(2)∠DEF=(∠C-∠B).理由如下:
∵∠BAC=180°-∠B-∠C,∠1=∠2,
∴∠2=(180°-∠B-∠C),
∴∠ADC=180°-∠C-∠2=90°-∠C+∠B,
∴∠EDF=90°-∠C+∠B,
∵EF⊥BC,∴∠DEF=90°-=∠C-∠B=(∠C-∠B).
素养探究全练
18.解析　(1)在△AOD中,∠AOD=180°-∠A-∠D,
在△BOC中,∠BOC=180°-∠B-∠C,
∵∠AOD=∠BOC,
∴180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C,
∴∠A+∠D=∠B+∠C.
(2)交点有点M、O、N,
以M为交点有1个,△AMD与△CMP,
以O为交点有4个,△AOD与△COB,△AOM与△CON,△AOM与△COB,△AOD与△CON,
以N为交点有1个,△ANP与△CNB,
∴“8字形”共有6个.
(3)∵∠D=40°,∠B=36°,
∴∠OAD+40°=∠OCB+36°,∴∠OCB-∠OAD=4°,
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线,
∴∠DAM=∠OAD,∠PCM=∠OCB,
又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=∠D-(∠OCB-∠OAD)=40°-×4°=38°.
(4)根据(1)中的结论得,
∠OAD+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
∴∠OCB-∠OAD=∠D-∠B,∠PCM-∠DAM=∠D-∠P,
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线,
∴∠DAM=∠OAD,∠PCM=∠OCB,∴(∠D-∠B)=∠D-∠P,
整理得,2∠P=∠B+∠D.

人教版数学八年级上册11.2.1　三角形的内角素养提升练（含解析）