第二十章 解直角三角形 2022-2023上学期北京市（北京课改版）九年级数学期末试题选编（含解析）

第二十章 解直角三角形
一、单选题
1．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京通州·九年级统考期末）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）如图，在一块直角三角板中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
二、填空题
6．（2022秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，在中，，如果，，那么的长为 ．
7．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）如图，在等腰直角中，，点D是AC上一点，如果，，那么AB的长为 ．
8．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）在正方形网格中，的位置如图所示，则为 ．
9．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）如果，那么锐角 度．
10．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）如图1，在等边中，D是中点，点P为边上一动点，设，，如果y与x的函数关系的图象如图2所示，那么 ．
11．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的长为 ．
12．（2022秋·北京密云·九年级统考期末）如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD=8cm，∠CDE=60°，则点C到底座DE的距离为 cm（结果保留根号）．
13．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为 m．
14．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为 m．（参考数据：，，．）
三、解答题
15．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）如图，在中，，，，求的长．
16．（2022秋·北京密云·九年级统考期末）在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE=∠A．
(1)求证：△DCF∽△CEB；
(2)若BC=4，CE=，tan∠CDF=，求线段BE的长．
17．（2022秋·北京通州·九年级统考期末）如图，在中，，，．求，和．
18．（2022秋·北京平谷·九年级统考期末）计算：．
19．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）计算：．
20．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）计算：．
21．（2022秋·北京大兴·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，的半径为1．给出如下定义：为上一点，过点作直线，交轴于点，称点为点的“关联点”．
(1)如图，，，若点在上，且的长为，则_________，点的“关联点”点的坐标是__________；
(2)求点的“关联点”点的横坐标的最小值；
(3)若线段的长为，直接写出这时点的“关联点”点的横坐标的最大值和最小值．
22．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）在数学活动课上，老师带领学生去测量位于良乡的昊天塔的高度．如图，在C处用高1．2米的测角仪CE测得塔顶A的仰角为30°，向塔的方向前进40米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为60°，求昊天塔的高约为多少米？（结果精确到1米，，）
23．（2022秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，在中，，平分交边于点D，于点E，若，，求的长．
24．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）在中，，若．请你添加一个条件：___________，设计一道解直角三角形的题目（不用计算器计算），并画出图形，解这个直角三角形．
25．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）如图，中，，．
(1)求的长．
(2)是边上的高，请你补全图形，并求的长．
26．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）如图，是的直径，C，D是上的点且，过点D作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
27．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，，∠B=45°，∠C=60°．点E为线段AB的中点，点F是AC边上任一点，作点A关于线段EF的对称点P，连接AP，交EF于点M．连接EP，FP．当PF⊥AC时，求AP的长．
28．（2022秋·北京密云·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，，D为AC上一点，∠BDC = 45°，CD=6．求AD的长．
29．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P处测得定都阁顶端A的俯角α为，定都阁底端B的俯角β为，此时无人机到地面的垂直距离为米，求定都阁的高．（结果保留根号）
30．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．）
31．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点处用高 1.5 米的测角仪测得塔顶的仰角为，然后沿方向前行到达点处，在点处测得塔顶的仰角为．求永定楼的高．（结果保留根号）
32．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）如图，为了测量某条河的宽度，在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得∠α＝30°，∠β＝60°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．
【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∴cos∠B=，
故选C．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．D
【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
3．B
【分析】根据正切点定义逐一判断即可得答案．
【详解】A.，故该选项不符合题意，
B.，故该选项符合题意，
C.，故该选项不符合题意，
D.，故该选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正切是锐角的对边与邻边的比值；熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
4．B
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题词考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．B
【详解】试题分析：∵∠A为锐角，sinA=，∴∠A=30°．故选B．
考点：特殊角的三角函数值．
6．4
【分析】根据，再代入数据解答即可．
【详解】解：在中
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
7．
【分析】先根据正弦的定义和已知条件求得，再运用勾股定理求得，再根据等腰直角三角形的性质可得，最后运用勾股定理求得即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴，解得：
∴
∵等腰直角
∴
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，根据正弦定义求得是解答本题的关键．
8．
【分析】根据题意找到，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图
∵是直角三角形，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求正弦，勾股定理与网格，掌握正弦的定义是解题的关键．
9．45
【分析】根据三角函数的值，求角的度数.
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查三角函数，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
10．4
【分析】从图2的函数图象可知y的最小值为，结合等边三角形的图形可知，当点P运动到位置时，长为最小值，利用等边三角形的特殊角可求出的长．
【详解】解：由图2可得y的最小值为，
∵为等边三角形，分析图1可知，当P点运动到时，长为最小值，
∴此时，
∵，
∴，
解得，
∵D为的中点，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，正确理解P点运动到何处时长最小是关键，同时也考察了学生对函数图象的观察能力．
11．
【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．
12．
【分析】过点C作CM⊥DE，利用正弦函数即可求解．
【详解】如图，过点C作CM⊥DE，点C到底座DE的距离为CM
∵CD=8cm，∠CDE=60°，
∴CM=8sin60°=8×=4
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意构造直角三角形求解．
13．55
【分析】过点A作于点E，可得再求出，从而可求出结论．
【详解】解：过点A作于点E，如图，
可得，四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴
故答案为：55
【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数值，本题中求得的长是解题的关键．
14．18
【分析】由结合再解方程即可.
【详解】解：由题意得：
m，
故答案为：18
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握“由锐角的正弦求解直角三角形的边长”是解本题的关键.
15．的长为4
【分析】过作于，在Rt和Rt中，根据角度和三角函数值可将用表示出来，再根据，即可求得的长，最后利用三角函数即可求得的长．
【详解】解：如图所示：过作于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴的长为4．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握正切的定义．
16．(1)证明见解析
(2)BE=
【分析】（1）由平行四边形的性质有AB//CD，AD//BC，可得∠DFE=∠A，∠DFC=∠B，故△DCF∽△CEB．
（2）过点E作EH⊥CB交CB延长线于点H，由题意可设EH=x，CH=2x，由勾股定理即可得EH=3，CH=6，再由勾股定理即可求得BE=．
【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC
∴∠DCE=∠BEC，∠A+∠B=180°
∵∠DFE+∠DFC=180°
又∵∠DFE=∠A
∴∠DFC=∠B
∴△DCF∽△CEB
（2）∵△DCF∽△CEB
∴∠CDF=∠ECB
∴tan∠CDF= tan∠ECB=
过点E作EH⊥CB交CB延长线于点H
在Rt△CEH中
∴设EH=x，CH=2x
∴CE=
∵CE=
∴x=3，则有EH=3，CH=6
∵BC=4
∴BH=6-4=2
在Rt△EBH中有BE=
则BE=
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质解直角三角形以及勾股定理，第二问作辅助线将三角函数值转化到直角三角形中是解题的关键．
17．，，
【分析】根据题意先利用勾股定理得出，进而依据正弦、余弦和正切的定义进行计算即可.
【详解】解：在中，，，，
∴
∴，，.
【点睛】本题考查求三角函数值和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数值的求法是解题的关键.
18．
【分析】先将绝对值、负整数幂、二次根式化简，将锐角三角函数转化为实数，再进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，解题的关键是的熟练掌握特殊角度的锐角三角函数值，绝对值的定义，负整数幂的运算法则，以及二次根式的化简方法．
19．3
【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数、二次根式、绝对值分别化简后进行合并即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．
【分析】先化简各式，再进行加减运算．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质和运算．熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的性质和运算法则，零指数幂法则，是解题的关键．
21．(1)45；
(2)点Q横坐标最小值为
(3)点Q横坐标最大值为，最小值为
【分析】（1）设，根据的长为，求得，过点P作交于点C，根据特殊三角函数值进行求解即可；
（2）当直线与相切时，如图，此时点Q的横坐标最小，连接，则有，证明为等腰直角三角形，即可得到解答；
（3）过点P作轴，根据特殊的三角函数值计算出点P到x轴的垂直距离为，由此可分析得，符合情况的点P有4个位置，如图所示，，则点Q的位置也有4个，，而在处取最大值，在处取最小值，进而根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）设，
∵，
∴，即，
过点P作交于点C，如图，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
将点P代入中，得，
解得，
∴，
当时，得，
解得，
∴，
故答案为：45；；
（2）当直线与相切时，如图，此时点Q的横坐标最小，连接，则有，
∵的直线解析式为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点Q横坐标最小值为，
（3）过点P作轴，
∵的直线解析式为，
∴，
∴在中，，
∴，
即点P到x轴的垂直距离为，
符合情况的点P有4个位置，如图所示，，则点Q的位置也有4个，，
∴在处取最大值，在处取最小值，
由以上计算可知，
连接，在中，，
∴，
连接，在中，，
∵
∴，
∴点Q横坐标最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合题，勾股定理的应用，特殊的三角函数值和等腰直角三角的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
22．这个电视塔的高度AB约为35.8米．
【分析】设AG=x米，分别在Rt△AFG和Rt△AEG中，表示出FG和GE的长度，然后根据CD=40米，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AB．
【详解】解：如下图 ：
设米，
在RT△中，，，
∴，
在Rt△AEG中，，，
∴，
∴，
解得：．
∴米，
则（米）．
答：这个电视塔的高度AB约为35.8米．
【点睛】本题考查了三角函数的应用，做题的关键是掌握正切的概念并能熟练的计算．
23．6
【分析】先根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质可得，即可求出的长度，最后根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出的长度．
【详解】解：∵，，，
∴在中，，
在中，根据勾股定理可得：，
∵平分， ，，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，根据勾股定理可得：
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是掌握根据锐角三角函数解直角三角形的方法和步骤，角平分线上的点到两边的距离相等．
24．见解析
【分析】已知斜边，可添加，先根据勾股定理求出第三边，再灵活选择三角函数求出两锐角．
【详解】解：如图，添加条件为：（答案不唯一）
在中，
由勾股定理得，，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的解法和特殊角的三角函数值是解题的关键．
25．(1)
(2)
【分析】（1）过点作于点，根据三线合一得出，在中，勾股定理求得，进而即可求解；
（2）过点，作交的延长线于点，根据，以及正弦的定义，结合（1）的结论，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
∵
∴，
∵
∴,
∴
在中，,
∴
（2）解：如图，过点，作交的延长线于点
∵
∴
∵
∴
∵,
∴
【点睛】本题考查了三线合一的性质，解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图：连接.根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而得到可得，再由平行的性质可得，最后由切线的性质即可证明结论；
（2）连接，根据直径所对圆周角是直角，利用三角函数可以求出，再利用得到解题即可．
【详解】（1）证明：如图，连接.
∵，
∴，
∵，
∴.
∴，
∴
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴
∴，
∵，
∴，
【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解答本题的关键．
27．
【分析】如图1中，过点A作于D．根据三角函数的定义得到AD=4，如图2中，根据垂直的定义得到∠PFA=90°，根据折叠的性质得到，AF=PF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图1中，过点A作于D．
在中，．
，
∵，
∴，
∵沿将折叠得到．
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了解锐角三角函数，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，由高线AD求出AC，证明是解题的关键．
28．AD= 2
【分析】先判定△BDC是等腰直角三角形，求得BC，解直角三角形ABC，求得AB，AC的长，计算即可．
【详解】在△BDC中，∠C = 90° ，
∵∠BDC = 45°，
∴△BDC是等腰直角三角形 ，
∴CD=BC=6 ，
在Rt△ABC中，，
∴ ，
∴ AB=10，
∴ AC=8，
∴ AD=AC-CD=8-6=2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练进行解直角三角形是解题的关键．
29．米
【分析】过点A作于点D，则，，得到四边形是矩形，则，，设，则，
得到，在中，，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于点D，则，，
由题意得，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，则，
∵, ，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．
30．中央电视塔的高度为米．
【分析】在中，中得出，根据，进而求得的长，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴
在中，，
∴，
∴
∵
∴,
由图可知四边形是矩形，则
∴（米），
答：中央电视塔的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
31．永定楼的高为米．
【分析】根据题意，得，．设为，利用三角函数求出BC、AC，得到，求出x即可．
【详解】根据题意，得，．
设为．
在中，，
．
同法可求．
．
解得．
．
答：永定楼的高为米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意确定直角三角形是解题的关键．
32．50米
【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，先证明AC=BC，再在Rt△ACD中利用正弦函数求值即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC,垂足为D.
∵∠β=∠α＋∠BAC，
∴∠BAC =∠β－∠α=60°－30°=30°，
∴∠α=∠BAC，
∴AC=BC=100（米）．
在Rt△ACD中，
AD=AC sin∠β=100×=50（米）．
答：河的宽度为50米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．

第二十章 解直角三角形 2022-2023上学期北京市（北京课改版）九年级数学期末试题选编（含解析）