2023年山东省淄博市临淄区九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023年山东省淄博市临淄区九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 温州博物馆 B. 西藏博物馆
C. 广东博物馆 D. 湖北博物馆
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，数轴上点表示的数可能是( )
A. B. C. D.
5. 我区某学校学生会为了贯彻“减负增效”精神，了解八年级学生每天的自主学习情况，随机抽查了八年级一班名学生每天自主学习的时间情况，得到的数据如表所示下列说法正确的是( )
自主学习时间
人数人
A. 本次调查学生自主学习时间的方差是 B. 本次调查学生自主学习时间的平均数是
C. 本次调查学生自主学习时间的中位数是 D. 本次调查学生自主学习时间的众数是
6. 如图，五边形是正五边形，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D. 以上都不对
7. 在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是( )
A. 反比例函数 B. 正比例函数 C. 二次函数 D. 以上答案都不对
8. 如图，在中，，，，将沿所在直线翻折得到，点为的平分线与边的交点，则线段长度为( )
A. B. C. D.
9. 要得知作业纸上两相交直线、所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案如图和图：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是( )
方案Ⅰ：作一直线，交、于点，；
利用尺规作；
测量的大小即可．
方案Ⅱ：作一直线，交、于点，；
测量和的大小；
计算即可．
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行
10. 如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 因式分解： ______ ．
12. 已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
13. 如图，用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是______．
14. 用课本中介绍的计算器计算，按键顺序如图，则计算结果为______ ．
15. 将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是______ 平方厘米．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
；
解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
17. 本小题分
如图，、、、在一条直线上，，，．
求证：≌；
连接、，求证四边形为平行四边形．
18. 本小题分
区内某学校为了开展好课后延时服务，举办了：机器人；：航模；：科幻绘画；：信息学；：科技小制作等五个兴趣小组每人限报一项，将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
本次参加课后延时服务的学生人数是______ 名；
把条形统计图补充完整；扇形统计图中的的度数是______ 度；
在组最优秀的名同学名男生名女生和组最优秀的名同学名男生名女生中，各选名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是名男生名女生的概率．
19. 本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
求反比例函数的表达式；
求的面积；
根据图象直接写出不等式的解集．
20. 本小题分
广西“钦蜜九号”黄金百香果以“味甜浓香”深受广大顾客的喜爱，某超市用元购进一批黄金百香果，很快就销售一空；超市又用元购进了第二批黄金百香果，此时大量水果上市，所购买的重量是第一批的倍，但是每千克黄金百香果比第一批便宜了元．
该超市购进第一批和第二批黄金百香果每千克的单价分别是多少元？
如果这两批黄金百香果都以相同的标价出售，要使两批黄金百香果全部售完后的利润率不低于不计其他因素，则超市应该将黄金百香果至少标价每千克多少元出售？
21. 本小题分
在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达岛完成任务已知军舰位于市的南偏东方向上的处，且在岛的北偏东方向上，市在岛的北偏东方向上，且距离岛，此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达岛？参考数据：，，，
22. 本小题分
如图，为的直径，弦于点，且为的中点，交于点，若，，动点是上一点，过点作的切线，交的延长线于点．
求的长；
连接，，求证：；
当动点在的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
23. 本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，连结．
求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点的坐标；
在抛物线的对称轴上取一点，点为抛物线上一动点，使得以点、、、为顶点、为边的四边形为平行四边形，求点的坐标；
在的条件下，将点向下平移个单位得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】
【解析】解：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法运算法则判断，根据合并同类项的运算法则判断，根据完全平方公式判断，根据积的乘方运算法则判断．
本题考查整式的混合运算，掌握积的乘方运算法则，完全平方公式是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
且距离更近，距离更近，
点表示的数可能是，
故选：．
先估算出各选项中无理数的大小，再根据数轴做出判断即可．
本题考查了无理数的估算，常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：本次调查学生自主学习时间的平均数是：，故B不符合题意；
本次调查学生自主学习时间的方差是：，故A符合题意；
本次调查学生自主学习时间的中位数是；故C不符合题意；
本次调查学生自主学习时间的众数是；故D不符合题意；
故选：．
根据中位数、平均数、方差、众数的求法直接求解即可．
本题主要考查数据的收集与整理，熟练掌握中位数、平均数、方差、众数的求法是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：延长交于，
，
，
正五边形的每个外角相等，
，
，
，
．
故选：．
延长交于，由平行线的性质，得到，求出正五边形的外角的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
本题考查平行线的性质，多边形，三角形的外角，关键是作辅助线应用三角形外角的性质．
7.【答案】
【解析】解：由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，设为常数，
由电流与是反比例关系，设电流为常数，
，
为常数，
与的函数关系是正比例函数，
故选：．
由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与是反比例关系，可得为常数，即可得到答案．
本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．
8.【答案】
【解析】解：连接，交于点，
将沿所在直线翻折得到，
，，
，
，
是等边三角形，
也是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，，
，
设，则，
，
，
，
平分，
，
，
．
故选：．
连接，交于点，证明四边形是菱形，，，证出，由直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：方案Ⅰ：，，直线、所夹锐角的大小等于直线、所夹锐角的大小，测量的大小即可得到直线、所夹锐角的大小，
方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：直线、所夹锐角与和可组成三角形，
即直线、所夹锐角，
方案Ⅱ可行，
故选：．
根据内错角相等，两直线平行，可判断方案Ⅰ可行；根据三角形内角和定理，可判断方案Ⅱ可行，即可得到答案．
本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，，，
，，，
，
，，，
当在上时，，
，，
，
当在上时，，
，
，
故选：．
分别求出在和在上时的面积为关于的解析式即可判断．
本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：方程的两根分别为，，
，，，
．
故答案为：．
利用一元二次方程解的定义得到，；然后由根与系数的关系求得；最后代入所求的代数式求值即可．
本题考查了根与系数的关系，掌握将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是关键．
13.【答案】
【解析】解：圆心角为，半径为的扇形的弧长，
圆锥的底面圆的周长为，
圆锥的底面圆的半径为，
这个纸帽的高．
故答案为．
先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
14.【答案】
【解析】解：根据如图所示的按键顺序，输出结果为
，
故答案为：．
根据如图所示的按键顺序，列出算式为，再计算即可求解．
本题主考查计算器的使用，解题的关键是掌握计算器中分数的按键和平方的按键，并根据其功列式计算即可．
15.【答案】或
【解析】解：分别延长，交于，连接，设的面积是，
，
，
，
，
的面积，的面积，
四边形的面积，
的面积，
，，
∽，
，
，
分别延长，交于，设的面积是，
由知四边形的面积，
，，
∽，
，
，
，
原来的直角三角形纸片的面积是或．
故答案为：或．
分两种情况讨论，由勾股定理求出长，由三角形面积公式求出四边形的面积，由相似三角形的性质，即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，关键是应用相似三角形的性质，分两种情况讨论．
16.【答案】解：
；
，
解得，；
解得，；
不等式组的解集是；
解集在数轴上表示如下：
．
【解析】将特殊锐角的三角函数值代入、计算负整数指数幂、零指数幂、化简二次根式，再依据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
首先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集确定规律找出不等式组的解集．
此题主要考查了平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，以及一元一次不等式组的解法，关键是熟练掌握个知识点的应用．
17.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
≌，
如图：
由知≌，
，，
，
四边形为平行四边形．
【解析】由可证≌；
结合，用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答．
本题考查全等三角形判定与性质和平行四边形判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和平行四边形判定定理．
18.【答案】
【解析】解：本次参加课后延时服务的学生人数是名．
故答案为：．
参加组的人数为名．
补全条形统计图如图所示．
扇形统计图中的的度数是．
故答案为：．
设组的名男生和名女生分别记为，，组的名男生和名女生分别记为，，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是名男生名女生的结果有：，，，共种，
所选两名同学中恰好是名男生名女生的概率为．
用参加组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加课后延时服务的学生人数．
用本次参加课后延时服务的学生人数分别减去参加，，，组的学生人数，可求出参加组的学生人数，补全条形统计图即可；用乘以参加组的学生所占的百分比，即可求出的度数．
画树状图得出所有等可能的结果数和所选两名同学中恰好是名男生名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
19.【答案】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
，，，
，，，
点，点，
反比例函数解析式为：；
，
当时，；当时，，
如图所示：，，
，，
；
由图象可得当或时，反比例函数图象在一次函数的上方．
即不等式的解集为：或．
【解析】用待定系数法求出函数解析式；
根据一次函数确定，，结合图象得出，代入求解即可；
由图象可得当或时，反比例函数图象在一次函数的上方，即可得出结果．
题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，包括确定函数解析式，求面积及确定不等式的解集，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题关键．
20.【答案】解：设购进第一批黄金百香果单价为元，则第二批的单价为元，
由题意得，，
解得，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
元，
答：该超市购进第一批黄金百香果的单价是元，第二批黄金百香果的单价是元．
由可得，第一批购进千克，第二批购进千克，
设每千克黄金百香果标价元，
由题意得，，
解得，
答：超市应该将每千克黄金百香果至少标价元出售．
【解析】设购进第一批黄金百香果单价为元，则第二批的单价为元，由题意得，，计算求解满足要求的，进而可得结果；
由可得，第一批购进千克，第二批购进千克，设每千克黄金百香果标价元，由题意得，，计算求解即可．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．
21.【答案】解：过点作于，
由题意得，，，，
设，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
解得，
即，
，
，
我方军舰大约需要到达岛．
【解析】过点作于，设，在中，可得，在中，可得，即可列方程，求出的值，即可求得的值，再根据时间路程速度即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22.【答案】解：为的中点，弦于，
，
，
，
，
证明：连接，，，交于点，
，
，
，，
，，
，
，
，
是的中位线，
，
为的直径，
，
；
解：的值不变．
理由：如图，连接，则，，
，，
∽，
同理∽，
则，
，
由知，
设，则，
故，
解得：，故F，
即，
．
当点与点重合时：，
当点与点重合时：，
当点不与点、重合时：连接、、、，
，
，
，
，
∽，
．
综上所述，的比值不变，比值为．
【解析】由垂径定理得出，证出，则可得出答案；
利用圆周角定理得出，，进而得出，再利用三角形中位线定理得出答案；
分别利用当点与点重合时：，当点与点重合时：，当点不与点、重合时，得出∽，分别得出答案．
本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：抛物线经过、，，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；
设直线是解析式为，
把，代入，得，
，
直线的解析式为，
过点作于点，
以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，
，，
，
，
≌，
，
设，则，
，
或，
当时，，
，
当时，，
综上所述，满足条件点点的坐标为或；
由题意，，和关于对称轴直线对称，连接交对称轴于点，连接，，过点作于点，交对称轴于点，连接则，，，
在中，，则在中，，
，
，
为最小值，
，
，
的最小值为．
【解析】利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可；
过点作于点，证明≌，推出，设，则，可得，推出或，即可解决问题；
由题意，，和关于对称轴直线对称，连接交对称轴于点，连接，，过点作于点，交对称轴于点，连接则，，，证明，由，推出为最小值．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想来思考问题，属于中考压轴题．
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2023年山东省淄博市临淄区九年级（下）期中数学试卷（含解析）