2023年吉林省长春市二道区中考数学二模试卷（含解析）

2023年吉林省长春市二道区中考数学二模试卷
一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，将数据253000用科学记数法表示为（　　）
A．25.3×104 B．2.53×104 C．2.53×105 D．0.253×106
3．（3分）如图，将一个圆柱体垂直切去右边一部分，左边部分的左视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．2a2+a3＝3a5 B．a2 a3＝a6 C．（2a2）3＝6a6 D．a3÷a﹣2＝a5
5．（3分）如图，CD是圆O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCD的度数是（　　）
A．44° B．56° C．38° D．52°
6．（3分）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为30cm，上部显示屏EF的长度为30cm，侧面支架EC的长度为100cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，则该机器人的最高点F距地面AB的高度约为（　　）cm．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）

A．143 B．77 C．62 D．158
7．（3分）要得知作业纸上两相交直线AB、CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　）
方案Ⅰ：①作一直线GH，交AB、CD于点E，F；
②利用尺规作∠HEN＝∠CFG；
③测量∠AEM的大小即可．
方案Ⅱ：①作一直线GH，交AB、CD于点E，F；
②测量∠AEH和∠CFG的大小；
③计算180°﹣∠AEH﹣∠CFG即可．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
8．（3分）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）均在函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x2＜x1
二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）因式分解：ax2﹣4ax+4a＝　 　．
10．（3分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是 　 　．
11．（3分）《算法统宗》是我国古代的重要的数学著作，几名学生要凑钱购买1本书．若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元．问学生人数和该书单价各是多少？设学生有x人，书的单价为y元，则可列方程组为 　 　．
12．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A在扇形EOF的半径OE上，点B．C在OF上，点D在EF上，若∠EOF＝45°，则扇形EOF的面积为 　 　．
13．（3分）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为　 　．
14．（3分）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4.5m（即 NC＝4.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF＝　 　m．
三.解答题
15．先化简，再求值：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b），其中a＝2，．
16．如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3，和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是 　 　．

17．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．
18．为了锻炼身体，榕榕每周日骑自行车去图书馆，图书馆距榕榕家15千米，在相同的路线上，乘车的速度是骑自行车速度的4倍，所以榕榕要比乘车时提前出发45分钟，才能和乘车到达图书馆的时间相同，求榕榕骑自行车的速度．
19．如图在6×6网格里有格点△ABC，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题：
（1）在图①中作△ABC的高AD；
（2）在图②中AC上取一点E，连接DE，使DE∥AB，并直接写出DE的值．
（3）在图③中线段DE上取一点F，使tan∠DBF＝．

20．为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：10.0、10.0、10.1、10.9、11.4、11.5、11.6、11.8；
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
甲城市 10.8 m
乙城市 11.0 11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1，在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2，比较p1，p2的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
21．如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程，y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）填空：a的值为　 　，m的值为　 　，AB两地的距离为　 　km．
（2）求m小时后，乙车离C站的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式．
（3）请直接写出乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过300km时行驶时间x的取值范围．
22．【问题背景】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠CAB，点D为AB的中点，DE⊥CD交直线AC于点F，连结AE，AE⊥AB．求证：AE＝EF．
【分析解决】∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠DAC＝∠DCA．…
在此基础上，结合题目中的多个垂直条件，可得到一些互余关系．…
请你延续以上思路，完成本题结论的证明．
【变式探究】如图②，将【问题背景】中的∠B＞∠CAB改为∠B＜∠CAB，其余条件不变．判断AE＝EF是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请简述理由．
【结论应用】在图①中，若∠B＝68°，则∠ADE＝　 　°．
在图②中，若∠B＝34°，则∠ADE＝　 　°．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿折线AC﹣CD向终点D运动，点P在AC上以每秒5个单位长度的速度匀速运动，在CD上以每秒个单位长度的速度匀速运动，当点P不与点A、D重合时，作PQ∥AB，PQ与射线AD交于点Q，以PQ为一边向左侧作正方形PQMN．设点P的运动时间为t（s）．
（1）直接写出AD＝　 　．
（2）求sin∠BAC的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形时，直接写出t的取值范围．
（4）连结BM，直接写出BM⊥AB时t的值．
24．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线经过点A，点B，并与x轴有另一交点C．
（1）依题，点A的坐标是 　 　，点B的坐标是 　 　．
（2）求抛物线的解析式．
（3）在直线AB下方的抛物线上有一点D，求四边形ADBC面积的最大值．
（4）在x轴上有一个动点P（m，0），将线段OA绕点P逆时针旋转90°得到线段MN．直接写出线段MN与抛物线只有一个公共点时m的取值范围．
2023年吉林省长春市二道区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：的相反数是，
故选：C．
【点评】本题考查的是相反数，熟练掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2．（3分）风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，将数据253000用科学记数法表示为（　　）
A．25.3×104 B．2.53×104 C．2.53×105 D．0.253×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：253000＝2.53×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，将一个圆柱体垂直切去右边一部分，左边部分的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：左边部分的左视图是：
．
故选：C．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
4．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．2a2+a3＝3a5 B．a2 a3＝a6 C．（2a2）3＝6a6 D．a3÷a﹣2＝a5
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘法则，积的乘方法则，负整数指数幂及同底数幂相除法则计算判断即可．
【解答】解：A、2a2与a3不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
B、a2 a3＝a5≠a6本选项不符合题意；
C、（2a2）3＝8a6≠6a6本选项不符合题意；
D、a3÷a﹣2＝a3﹣（﹣2）＝a5本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除，积的乘方，负整数指数幂，正确掌握以上知识是解题的关键．
5．（3分）如图，CD是圆O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCD的度数是（　　）
A．44° B．56° C．38° D．52°
【分析】利用三角形外角性质及圆周角定理易求得∠CBD，∠CDB的度数，然后利用三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：∵∠A＝22°，∠ACE＝16°，
∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝22°+16°＝38°，
∴∠BDC＝∠BEC＝38°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣38°＝52°，
故选：D．
【点评】本题考查圆与三角形性质的综合应用，结合已知条件求得∠BDC的度数是解题的关键．
6．（3分）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为30cm，上部显示屏EF的长度为30cm，侧面支架EC的长度为100cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，则该机器人的最高点F距地面AB的高度约为（　　）cm．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）

A．143 B．77 C．62 D．158
【分析】通过作垂线或平行线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，过点E作EN∥CD，过点F作FN⊥EN于点N，
在Rt△EMC中，CE＝100cm，∠ECD＝80°，
∴EM＝sin80°×CE
≈0.98×100
＝98（cm），
在Rt△EFN中，∠FEN＝130°﹣90°﹣10°＝30°，EF＝30cm，
∴FN＝EF＝15（cm），
机器人的最高点F距地面AB的高度为FN+EM+BC＝15+98+30＝143（cm），
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
7．（3分）要得知作业纸上两相交直线AB、CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　）
方案Ⅰ：①作一直线GH，交AB、CD于点E，F；
②利用尺规作∠HEN＝∠CFG；
③测量∠AEM的大小即可．
方案Ⅱ：①作一直线GH，交AB、CD于点E，F；
②测量∠AEH和∠CFG的大小；
③计算180°﹣∠AEH﹣∠CFG即可．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【分析】根据内错角相等，两直线平行，可判断方案Ⅰ可行；根据三角形内角和定理，可判断方案Ⅱ可行，即可得到答案．
【解答】解：方案Ⅰ：∵∠HEN＝∠CFG，∴MN∥CD，∴直线AB、CD所夹锐角的大小等于直线AB、MN所夹锐角的大小，∴测量∠AEM的大小即可得到直线AB、CD所夹锐角的大小，
∴方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：直线AB、CD所夹锐角与∠AEH和∠CFG可组成三角形，
即直线AB、CD所夹锐角＝180°﹣∠AEH﹣∠CFG，
∴方案Ⅱ可行，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
8．（3分）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）均在函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x2＜x1
【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标，即可得到答案．
【解答】解：∵k2+10＞0，
∴x＞0时，y＞0，y随着x的增大而减小；x＜0时，y＜0，y随着x的增大而增减小，
∵﹣3＜﹣2，
∴x2＜x1＜0，
∵1＞0，
∴x3＞0，
即x2＜x1＜x3，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数增减性是解题的关键．
二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）因式分解：ax2﹣4ax+4a＝　a（x﹣2）2　．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10．（3分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是 　k＜2且k≠0　．
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，可得出关于k的一元一次不等式组，解之可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×k×＞0且k≠0，
解得：k＜2且k≠0，
故答案为：k＜2且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
11．（3分）《算法统宗》是我国古代的重要的数学著作，几名学生要凑钱购买1本书．若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元．问学生人数和该书单价各是多少？设学生有x人，书的单价为y元，则可列方程组为 　　．
【分析】根据“若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵每人出9元，多了5元，
∴9x﹣y＝5；
∵每人出8元，少了2元，
∴y﹣8x＝2．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A在扇形EOF的半径OE上，点B．C在OF上，点D在EF上，若∠EOF＝45°，则扇形EOF的面积为 　π　．
【分析】连接OD，根据正方形的性质得出AB＝CD＝BC＝1，∠ABC＝∠BCD＝90°，求出OB＝AB＝1，求出OC，根据勾股定理求出OD，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝1，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵∠EOF＝45°，
∴∠BAO＝∠EOF＝45°，
∴OB＝AB＝1，
∴OC＝OB+BC＝1+1＝2，
由勾股定理得：OD＝＝＝，
∴扇形EOF的面积为＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了正方形的性质和扇形的面积计算，能求出半径OD的长度是解此题的关键．
13．（3分）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为　﹣1　．
【分析】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．
【解答】解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：
∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD＝×2＝1，
∵点E与点E'关于DC对称，
∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，
∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，
在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，
∴线段PE+PM的最小值为：PE+PM＝PE'+PM＝ME'＝OE'﹣OM＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
14．（3分）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4.5m（即 NC＝4.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF＝　10　m．
【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．
【解答】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为（0，6），A点坐标为（﹣10，0），B点坐标为（10，0），
设中间大抛物线的函数式为y＝﹣ax2+bx+c，
代入三点的坐标得到，
解得．
∴函数式为y＝﹣x2+6．
∵NC＝4.5米，
∴令y＝4.5米，
代入解析式得x1＝5，x2＝﹣5，
∴可得EF＝5﹣（﹣5）＝10（米）．
故答案为：10．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
三.解答题
15．先化简，再求值：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b），其中a＝2，．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b）
＝a2+2ab+b2+a2﹣b2﹣2a2+2ab
＝4ab，
当a＝2，b＝﹣时，
原式＝4×2×（﹣）＝﹣4．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式、平方差公式的应用．
16．如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3，和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是 　　．

【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让灯泡L2发光的2种，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L2发光的结果数为2，
∴能让灯泡L2发光的概率为：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知OA＝OC，根据已知可得AE＝BE，所以OE∥BC，EF⊥BC于点F，OG⊥BC于点G，则EF∥OG，先证明四边形是平行四边形，再证∠EFG是直角即可；
（2）根据菱形的性质可知AC⊥BD，根据已知可求出OC，然后利用等面积法求出OG即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝ED．
∴OE∥BC，
∴OE∥FG，
∵EF⊥BC于点F，OG⊥BC于点G，
∴EF∥OG，
∴四边形EFGO是平行四边形
∵EF⊥BC，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC，OC＝AC，OB＝BD，
∵AB＝10，BD＝16，
∴OB＝8，BC＝10，
在Rt△BOC中，OC＝＝6，
∴，
即，
∴OG＝4.8．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
18．为了锻炼身体，榕榕每周日骑自行车去图书馆，图书馆距榕榕家15千米，在相同的路线上，乘车的速度是骑自行车速度的4倍，所以榕榕要比乘车时提前出发45分钟，才能和乘车到达图书馆的时间相同，求榕榕骑自行车的速度．
【分析】设榕榕骑自行车的速度为x千米/小时，则榕榕乘车的速度为4x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设榕榕骑自行车的速度为x千米/小时，则榕榕乘车的速度为4x千米/小时，
根据题意得：﹣＝，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．
答：榕榕骑自行车的速度为15千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．如图在6×6网格里有格点△ABC，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题：
（1）在图①中作△ABC的高AD；
（2）在图②中AC上取一点E，连接DE，使DE∥AB，并直接写出DE的值．
（3）在图③中线段DE上取一点F，使tan∠DBF＝．

【分析】（1）取格点W，连接AW交BC于点D，∠DAC＝45°即可解决问题；
（2）取格点R，Q，连接QR交AC于点E，使得AE：EC＝1：3，连接DE，即可解决问题；
（3）取格点T，连接BT交DE于F，点F即为所求作．
【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求．
（2）如图所示，线段DE即为所求．
（3）如图所示，点F即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：10.0、10.0、10.1、10.9、11.4、11.5、11.6、11.8；
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
甲城市 10.8 m
乙城市 11.0 11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1，在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2，比较p1，p2的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
【分析】（1）根据中位数的意义，求出甲城市抽样25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，得出处在第13位的数据即可；
（2）根据p1，p2所表示的意义，结合两个城市抽取的邮政企业4月份的营业额的具体数据，得出答案；
（3）根据乙城市邮政企业4月份营业额的平均数以及企业的数量进行计算即可．
【解答】解：（1）将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在第13位的一个数是10.1，
∴中位数是10.1，
即m＝10.1；
（2）由题意得p1＝5+3+4＝12（家），
由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0，中位数是11.5，
因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，
也就是p2的值至少为13，
∴p1＜p2；
（3）11.0×200＝2200（百万元），
答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元．
【点评】本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提．
21．如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程，y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）填空：a的值为　120　，m的值为　1.5　，AB两地的距离为　480　km．
（2）求m小时后，乙车离C站的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式．
（3）请直接写出乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过300km时行驶时间x的取值范围．
【分析】（1）先求出甲的速度，利用路程＝速度×时间，可求a的值，m的值，AB的距离；
（2）利用待定系数法可求解析式；
（3）分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）∵甲的速度＝＝60（km/h），
∴BC的距离a＝60×2＝120（km），
∴AB＝360+120＝480（km），
∴乙车速度＝＝80（km/h），
∴m＝＝1.5（h），
故答案为：120，1.5，480；
（2）设1.5小时后，乙车离C站的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式y＝kx+b，
，
解得：，
∴函数关系式为y＝80x﹣120；
（3）当0≤x≤1.5时，360﹣60x+120﹣80x≤300，
∴x≥，
∴当≤x≤，两车与车站C的路程之和不超过300km，
当1.5＜x≤6时，360﹣60x+80x﹣120≤300，
∴x≤3，
∴当1.5＜x≤3时，两车与车站C的路程之和不超过300km，
综上所述：当≤x≤3，两车与车站C的路程之和不超过300km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解图象，求出甲，乙速度是本题的关键．
22．【问题背景】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠CAB，点D为AB的中点，DE⊥CD交直线AC于点F，连结AE，AE⊥AB．求证：AE＝EF．
【分析解决】∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠DAC＝∠DCA．…
在此基础上，结合题目中的多个垂直条件，可得到一些互余关系．…
请你延续以上思路，完成本题结论的证明．
【变式探究】如图②，将【问题背景】中的∠B＞∠CAB改为∠B＜∠CAB，其余条件不变．判断AE＝EF是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请简述理由．
【结论应用】在图①中，若∠B＝68°，则∠ADE＝　46　°．
在图②中，若∠B＝34°，则∠ADE＝　22　°．
【分析】【分析解决】利用等角对等边证明即可；
【变式探究】仍然成立．证明∠EAF＝∠F，可得结论；
【结论应用】利用三角形内角和定理求出∠BAC，再求出∠AFE，利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】【分析解决】证明：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB＝90°，
∴∠EAF+∠DAC＝90°
∵DE⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∴∠DFC+∠DCA＝90°，
∴∠EFA+∠DCA＝90°，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴AE＝EF；
【变式探究】解：仍然成立．
∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB＝90°，
∴∠EAF+∠DAC＝90°
∵DE⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∴∠F+∠DCA＝90°，
∴∠EAF＝∠F，
∴AE＝EF；
【结论应用】解：如图①中，∵∠ACB＝90°，∠B＝68°，
∴∠CAB＝22°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAB＝90°，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝90°﹣22°＝68°，
∵∠AFE＝∠ADE+∠BAC，
∴∠ADE＝68°﹣22°＝46°．
如图②中，∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，
∴∠CAB＝56°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAB＝90°，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠F＝90°﹣56°＝34°，
∵∠CAB＝∠ADE+∠F，
∴∠ADE＝56°﹣34°＝22°．
故答案为：46，22．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿折线AC﹣CD向终点D运动，点P在AC上以每秒5个单位长度的速度匀速运动，在CD上以每秒个单位长度的速度匀速运动，当点P不与点A、D重合时，作PQ∥AB，PQ与射线AD交于点Q，以PQ为一边向左侧作正方形PQMN．设点P的运动时间为t（s）．
（1）直接写出AD＝　　．
（2）求sin∠BAC的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形时，直接写出t的取值范围．
（4）连结BM，直接写出BM⊥AB时t的值．
【分析】（1）等腰三角形中三线合一，用勾股定理可求AD．
（2）构造含有∠BAC的直角三角形，按定义求解．
（3）观察运动过程中图形的变化，求出图形发生变化时的时间分界点，确定t的取值范围．
（4）因MQ⊥AB，若BM⊥AB，则B在直线MQ上，这是个特殊位置，画图求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝×＝．
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD＝＝＝．
故答案为：．
（2）如图1，作CE⊥AB于点E．
分别以AB、BC为底表示△ABC的面积两式相等，可得：；
∴sin∠BAC＝＝．
（3）正方形PQMN与△ABC重叠部分图形随着t的变化而变化．
①如图2，当Q点与D点重合时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形，由四边形变为五边形．
∵PQ∥AB，
∴，
∴此时：t＝＝＝1．
②如图3：当MQ经过B点时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形，由五边形变为四边形．
∵sin∠BAC＝，
∴cos∠BAC＝＝；
∵PQ∥AB，PN⊥PQ，
∴PN⊥AB．
∴此时，APcos∠BAC+PQ＝AB，即，
解得：t＝．
如图4：当P与C重合时，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形，由四边形变为三角形．
此时，t＝＝2．
综上：t的取值范围为：0＜t≤1，．
（4）由（3）可知t＝时，MQ经过点B时BM⊥AB；
另外当P在DC上时，也会出现BM⊥AB，如图5．
∵PQ∥AB，MQ⊥PQ；
∴MQ⊥AB，
∴△ABD∽△BQD∽△QPD．
∴AB：BQ：PQ＝AD：BD：QD＝BD：QD：PD，即：10：BQ：PQ＝4：：QD＝：QD：PD；
得：PD＝．
∴CP＝BC﹣PD﹣BD＝＝；
∴t＝2+＝．
故BM⊥AB时t的值为：．
【点评】本题第一、二问考查勾股定理及直角三角形相关知识；第三问的关键是找到图形变化的时间邻界点，再用相似、三角函数等知识求解．
24．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线经过点A，点B，并与x轴有另一交点C．
（1）依题，点A的坐标是 　（0，﹣2）　，点B的坐标是 　（4，0）　．
（2）求抛物线的解析式．
（3）在直线AB下方的抛物线上有一点D，求四边形ADBC面积的最大值．
（4）在x轴上有一个动点P（m，0），将线段OA绕点P逆时针旋转90°得到线段MN．直接写出线段MN与抛物线只有一个公共点时m的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标特点，用代入法求点的坐标．（2）用待定系数法，列方程组，求抛物线的解析式．（3）把不规则四边形切割成几个三角形，利用三角形面积之和，求四边形面积．（4）根据旋转的特点，找出旋转前后点的坐标，得到点M，N恰好在抛物线上时m的值，从而得到m的取值范围．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣2与y轴交于点A，与x轴交于点B，
当x＝0时，y＝0﹣2＝﹣2．
当y＝0时，0＝×x﹣2，x＝4，
∴点A的坐标是（0，﹣2），点B的坐标是（4，0）．
故答案为：（0，﹣2），（4，0）．
（2）抛物线经过点A，点B，
依题得 ，
解得 ．
∴．
（3），
作DE⊥x轴于点E，交直线AB于点F，
设点D横坐标为d，
∴yF＝，yD＝
DF＝yF﹣yD，
则 ，
抛物线上，y＝0，x1＝﹣2，x2＝4，BC＝6，
∴S△ABC＝6．
∴S△ABD＝S△ADF+S△BDF＝＝．
∴S四边形ADBC＝S△ABC+S△ADB＝．
∴当d＝2时，四边形ADBC面积最大值为8．
四边形ADBC面积最大值为8．
（4）如图：
，
∵点P（m，0），将线段OA绕点P逆时针旋转90°得到线段MN，
M（m，﹣m），N（m+2，﹣m），
当点N在抛物线上时，，
解得m＝﹣3．
当点M在抛物线上时，﹣m＝，
解得m＝﹣4或2．
∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段MN与抛物线只有一个公共点．
【点评】此题（1）（2）是基础题型，（3）不规则图形的面积利用割补法是难点．（4）图形的旋转结合坐标特征，比较新颖，培养学生综合代数几何的综合运用能力．

2023年吉林省长春市二道区中考数学二模试卷（含解析）