2023年四川省眉山市东坡区中考数学诊断试卷（含解析）

2023年四川省眉山市东坡区中考数学诊断试卷
一、选择题。本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。
1．（4分）若规定零上为正，气温为零上记作“”，那么“”表示气温为　　
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
2．（4分）下面的几何体中，主视图为三角形的是　　
A． B．
C． D．
3．（4分）据2023年3月30日人民日报消息，今年1至2月中央企业累计投资超过3500亿元．将3500亿元用科学记数法表示为　　
A．元 B．元 C．元 D．元
4．（4分）下列运算中，正确的是　　
A． B．
C． D．
5．（4分）《义务教育课程标准年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，4，3，5，5，6，3，则这组数据的众数和中位数分别是　　
A．3，4 B．4，3 C．3，3 D．4，4
6．（4分）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则度数为　　
A． B． C． D．
7．（4分）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，，请你推算的个位数字是　　
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为　　
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，点是直径为4的半圆的中点，连接，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接，则阴影部分的面积为　　
A． B． C． D．
11．（4分）已知实数，满足，则的最大值为　　
A．24 B． C． D．
12．（4分）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别为，且点在矩形内部，的延长线交与点，交边于点，，，当点为三等分点时，的长为　　
A． B． C． D．4或
二、填空题。本大题共6个小题，每小题4分,共24分，请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上。
13．（4分）分解因式：　　．
14．（4分）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为 　　．
15．（4分）如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为 　　．
16．（4分）若关于的的方程有正数解，则的取值范围为　　．
17．（4分）如图，在中，，为边上一点，且点到的距离等于点到的距离．将绕点旋转得到△，连接，．若，则的值为　　．
18．（4分）已知抛物线，当时，：当时，．下列判断：①；②若时，则；③已知点，，，在抛物线上，当 时，；④若方程的两实数根为，，则．其中正确的为 　　．
三、解答题。本大题共8个小题，共78分。请把解答过程写在答题卡相应的位置上。
19．（8分）计算：．
20．（8分）解不等式组：，并求它的整数解的和．
21．（10分）东坡区某校发起“劳动最光荣，托起中国梦”主题活动．全校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如图不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 　　名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1600名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．
22．（10分）东坡泡菜文化广场占地38亩，以泡菜产业为主题展示了眉山泡菜的历史与文化．泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛“，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点处用测角仪测得其坛顶端的仰角为，再由点走8米到点处，测得其坛顶端的仰角为．已知、、三点在一条直线上，测角仪的高度米．求天下第一道菹坛的高．（参考数据：，，，结果保留整数）
23．（10分）如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为．
（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2）在轴上找一点，使的周长最小，求出此时的周长最小值和点的坐标．
24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：
（2）如图2，连接，若是的切线，．请判断四边形的形状，并说明理由．
26．（12分）已知抛物线过，两点，与轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）点为抛物线在直线下方图形上的一动点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
2023年四川省眉山市东坡区中考数学诊断试卷
（参考答案）
一、选择题。本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。
1．（4分）若规定零上为正，气温为零上记作“”，那么“”表示气温为　　
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
【解答】解：若规定零上为正，气温为零上记作“”，那么“”表示气温为零下．
故选：．
2．（4分）下面的几何体中，主视图为三角形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、的主视图是矩形，故不符合题意；
、主视图是三角形，故符合题意；
、主视图是矩形，故不符合题意；
、主视图是圆，故不符合题意；
故选：．
3．（4分）据2023年3月30日人民日报消息，今年1至2月中央企业累计投资超过3500亿元．将3500亿元用科学记数法表示为　　
A．元 B．元 C．元 D．元
【解答】解：3500亿．
故选：．
4．（4分）下列运算中，正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，
选项不符合题意；
，
选项符合题意；
，，
，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意．
故选：．
5．（4分）《义务教育课程标准年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，4，3，5，5，6，3，则这组数据的众数和中位数分别是　　
A．3，4 B．4，3 C．3，3 D．4，4
【解答】解：这7个数据中出现次数最多的数据是3，
这组数据的众数是3．
把这组数据按从小到大顺序排为：
3，3，3，4，5，5，6，
位于中间的数据为4，
这组数据的中位数为4，
故选：．
6．（4分）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则度数为　　
A． B． C． D．
【解答】解：五边形为正五边形，
，
，
，
故选：．
7．（4分）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，，请你推算的个位数字是　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，
，
的个位数字与相同，为8，
故选：．
8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
；
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
．
所列方程组为．
故选：．
9．（4分）如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：过点作于点．
，
，
平分，
，
，则，即为等腰三角形，
则垂直平分，
，，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：．
10．（4分）如图，点是直径为4的半圆的中点，连接，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接，则阴影部分的面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：连接，作于，
点是直径为4的半圆的中点，
，，
是等腰直角三角形，
分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，且，
垂直平分，
，
，，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
．
故选：．
11．（4分）已知实数，满足，则的最大值为　　
A．24 B． C． D．
【解答】解：方法1、，
，
，
（当时，取等号），
，
（当时，取等号），
，
，
，
，
即的最大值为，
故选：．
方法2、设，则，
，
，
原式，
故选：．
12．（4分）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别为，且点在矩形内部，的延长线交与点，交边于点，，，当点为三等分点时，的长为　　
A． B． C． D．4或
【解答】解：当时，，
将矩形纸片折叠，折痕为，
，，，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
过点作于点，则，
设，
则，
，
，
，
，
解得：，
；
当时，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
故的长为：或4．
故选：．
二、填空题。本大题共6个小题，每小题4分,共24分，请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上。
13．（4分）分解因式：　　．
【解答】解：原式，
故答案为：．
14．（4分）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为 　12　．
【解答】解：，
，
或，
所以，，
若三角形第三边长为2，而，不符合三角形三边的关系舍去；
若三角形第三边长为3，而，符合三角形三边的关系舍去；
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长为．
故答案为12．
15．（4分）如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为 　　．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
平分，四边形是正方形，
，，
，
，
故答案为：．
16．（4分）若关于的的方程有正数解，则的取值范围为　且　．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程有一个正数解，得到，且，
解得：且，
故答案为：且．
17．（4分）如图，在中，，为边上一点，且点到的距离等于点到的距离．将绕点旋转得到△，连接，．若，则的值为　　．
【解答】解：连接、，过点作于点，如图，
绕点旋转得到△，
，，，
即，
，
，
设，，
点到的距离等于点到的距离，
，
，
在中，，
，
即．
故答案为：．
18．（4分）已知抛物线，当时，：当时，．下列判断：①；②若时，则；③已知点，，，在抛物线上，当 时，；④若方程的两实数根为，，则．其中正确的为 　①②③　．
【解答】解：，
该抛物线开口向上．
当时，；当时，；
该抛物线与轴有两个不同的交点，
△，
．
故①正确．
当时，；当时，；
，整理得．
若时，则．
故②正确．
抛物线的对称轴为．
，、，均在抛物线对称轴左侧，其函数值随的增大而减小．
故③正确．
方程两实数根为，，
．
的范围无法确定，
④不正确．
故答案为：①②③．
三、解答题。本大题共8个小题，共78分。请把解答过程写在答题卡相应的位置上。
19．（8分）计算：．
【解答】解：原式
．
20．（8分）解不等式组：，并求它的整数解的和．
【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为，
故不等式组的整数解的和为．
21．（10分）东坡区某校发起“劳动最光荣，托起中国梦”主题活动．全校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如图不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 　200　名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1600名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．
【解答】解：（1）做饭40人，占百分比为，
调查的总人数为：（人，
故答案为：200；
扫地人数为：（人，
补全条形统计图如下：
（2）样本中洗衣服所占百分比为：，
该校共有1600名学生“洗衣服”的学生约有：（名，
答：本次活动中该校“洗衣服”的学生约有400名；
（3）画树状图如下：
一共有12中等可能结果，其中甲、乙两人同时被抽中的结果有2种，
（甲、乙两人同时被抽中）．
22．（10分）东坡泡菜文化广场占地38亩，以泡菜产业为主题展示了眉山泡菜的历史与文化．泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛“，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点处用测角仪测得其坛顶端的仰角为，再由点走8米到点处，测得其坛顶端的仰角为．已知、、三点在一条直线上，测角仪的高度米．求天下第一道菹坛的高．（参考数据：，，，结果保留整数）
【解答】解：过点作的垂线，垂足为点，
由题意，知，，
，
四边形，四边形和四边形都是矩形，
米，米，
在中，
，，
，
在中，
，（米，
，
，
即，
解得（米，
米，
米．
答：天下第一菹坛的高为15米．
23．（10分）如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为．
（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2）在轴上找一点，使的周长最小，求出此时的周长最小值和点的坐标．
【解答】解：（1）点是边的中点，，，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
把和代入得，
，
，
直线的解析式为．
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时，的周长最小．
点的坐标为，
的坐标为，，
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为，
令，得，
点的坐标为，，
，，，
，，
所以的周长最小值．
故答案为：．
24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设甲种商品每箱盈利元，则乙种商品每箱盈利元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或（舍去），
经检验，是原分式方程的解，符合实际，
（元，
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价元，则每天可多卖出箱，利润为元，
由题意得：，
，
当时，函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
25．（10分）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：
（2）如图2，连接，若是的切线，．请判断四边形的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：四边形是的内接四边形，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
；
（2）四边形是菱形，
理由：，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
由（1）可得：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
26．（12分）已知抛物线过，两点，与轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）点为抛物线在直线下方图形上的一动点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）根据题意，将，代入函数表达式，
则，
，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
则顶点；
（2）将点、代入：，
则一次函数，
过点作轴的平行线交于点，设点，
则点，
则，
故有最大值，此时．
故点，；
（3）存在，理由：如图，过点作与轴夹角为的直线，过点作，垂足为，交轴于点，
则，此时值最小，即求．
，
，
，，
，，
，
，
在中，，
，
最小值为．

2023年四川省眉山市东坡区中考数学诊断试卷（含解析）