2023年山东省济南市数学中考真题（含答案）

济南市2023年九年级学业水平考试
数学试题
本试卷共8页，满分150分.考试时间为120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.下列几何体中，主视图是三角形的为
A. B.
C. D.
2.2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨.将数字686530000用科学记数法表示为
A. B.
C. D.
3.如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.如果∠1=70°，那么∠2的度数是
A.20° B.25° C.30° D.45°
4.实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
5.下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
6.下列运算正确的是
A. B.
C. D.
7.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为
A. B.
C. D.
8.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接.以下结论不正确的是
A. B.
C. D.
10.定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是.
其中，正确结论的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.直接填写答案.
11.因式分解：_________.
12.围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则4盒中棋子的总个数是_________.
13.关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是_________（写出一个即可）.
14.如图，正五边形的边长为2，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）.
15.学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进.如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇.
16.如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点.若，，则的长等于__________.
三、解答题：本题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分6分）
计算：.
18.（本小题满分6分）
解不等式组：，并写出它的所有整数解.
19.（本小题满分6分）
已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，.
求证：.
20.（本小题满分8分）
图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度.如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角.
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由.
（结果精确到0.01m，参考数据：，，，）
21.（本小题满分8分）
2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲.某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理.数据分成5组：
A组：；B组：；C组：；D组：；E组：.
下面给出了部分信息：
a.B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20.
b.不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）统计图中E组对应扇形的圆心角为____________度；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是___________百万；
（4）各组“五一”假期的平均出游人数如下表：
组别 A B C D E
平均出游人数（百万） 5.5 16 32.5 42 50
求这30个地区“五一”假期的平均出游人数.
请将答案写在答题卡指定区域内
22.（本小题满分8分）
如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点.
（1）求的度数；
（2）若，求直径的长.
23.（本小题满分10分）
某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同.
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
24.（本小题满分10分）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为.
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为.由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标.
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m.
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空.
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块 请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由.
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数.发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点.
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值.
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”.
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于1m，请直接写出的取值范围.
25.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，.抛物线与轴交于点和点.
（1）如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；
（3）若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围.
26.（本小题满分12分）
在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形.
（1）如图1，连接，求的度数和的值；
（2）如图2，当点在射线上时，求线段的长；
（3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值.
济南市2023年九年级学业水平考试
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A D A D C B C C
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11. 12.12 13. 的一个实数 14. 15.0.35 16.
三、解答题：本题共10小题，共86分.
17.解：原式
18.解：解不等式①，得
解不等式②，得
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是
∴整数解为0，1，2.
19.证明：∵四边形是平行四边形
∴，.∴，.
∵点为对角线的中点
∴∴
∴∴∴
20.解：（1）如答案图，作，垂足为点
在中
∵，
∴∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为2.15m.
（2）如答案图，没有危险，理由如下：
过作，垂足为点
∵，∴
∵∴
在中，
∴.
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为2.15-0.3=1.85.
∵1.85>1.8∴没有危险.
21.解：（1）36
（2）
（3）15.5
（4）（百万）
答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万.
22.解：（1）∵与相切于点
∴.∴
∵∴
∵∴∴∴∴.
（2）如答案图，连接
∵是直径∴
∵点是的中点
∴∴
在中，，
∴
在中，
∴的直径的长为.
23.解：（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元.
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根.
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元.
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，
购买A型和B型编程机器人模型共花费元，由题意得
解得.
∵160>0
∴随的减小而减小.
当时，取得最小值11200
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，
最少花费是11200元.
24.解：（1）（4，2）；4；2.
（2）不能围出.
的图象，如答案图中所示
∵与函数图象没有交点
∴不能围出面积为的矩形
（3）如答案图中直线所示
将点（2，4）代入，解得
（4）
25.解：（1）∵抛物线过点，
得
解得
∴抛物线表达式为.
当时，
解得（舍去），
∴.
（2）设直线的表达式为
∵直线过点，
得
解得
∴直线的表达式为
如答案图1，设点，则点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点
将代入
解得，（舍去）
∴点坐标为（-4，-6）.
（3）将代入得
∴
∴顶点坐标为
如答案图2，①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点
∴
解得；
如答案图3，②当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点
解得
综上所述，的取值范围为或.
26.解：（1）∵矩形中，，
∴，，
∴∴
由矩形和矩形可得，
∴，即
∴
∴
（2）如答案图1，过点作于点
由矩形和矩形可得，
，
∴，
∴∴，
∴，
∴
∴
设，则
∴
∵，∴,
解得
∴.
（3）如答案图2，连接
∵矩形中，，
∴则，
∵∴，
∴
∴是等边三角形，
∴
将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到
∴，，
∴
∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为.

2023年山东省济南市数学中考真题（含答案）