2023年山东省泰安中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省泰安中考数学二模试卷
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）实数的平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．2 D．±2
2．（4分）化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，在数轴上有点O，A，B，C对应的数分别是0，a，b，c，OB＝1，BC＝2（　　）
A．|a|＝|c| B．ab＞0 C．a+c＝1 D．b﹣a＝1
4．（4分）在一条葡萄藤上结有五串晶莹的葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）．则这组数据的众数（　　）
A．37，37 B．37，35 C．37，33.8 D．37，32
5．（4分）剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°（　　）
A．10° B．20° C．25° D．30°
7．（4分）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）如果关于x的不等式组仅有四个整数解：﹣1，0，1，2，那么适合这个不等式组的整数m、n组成的有序实数对（m，n）（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．9个
9．（4分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．（4分）如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝4（　　）
A．8 B．8 C．8 D．10
11．（4分）如图△AOB中，A（0，3），B（4，0），在y轴正半轴上有一点P，当∠BPO＝，点P的纵坐标为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．12
12．（4分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4（a≠0）的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，图象L与y轴交于点C，则下面结论：
①a＝﹣1；
②关于x的方程a（x﹣1）2+4＝0的解是x1＝3，x2＝﹣1；
③当x＝0时，y＝3；
④当x＝﹣2时，y＜0；
⑤△PCO周长的最小值是；
正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
13．（4分）分解因式：4ma2﹣mb2＝　 　．
14．（4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：　 　米．
15．（4分）某家具生产厂生产桌椅，已知每块板材可做桌子1张或椅子3把，现计划用100块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），用y块板材做椅子，使得恰好配套（一张桌子两把椅子）　 　．
16．（4分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为 　 　．
17．（4分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数的图象交于A，点P在以C（﹣2，0）为圆心，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为　 　．

18．（4分）如图，已知直线l的解析式是，过点A（0，1），过点B作直线l的垂线交y轴A1于点；过点A1作y轴的垂线交直线于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2…，按此作法继续下去，则点B2023的纵坐标为 　 　．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分）
19．（8分）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a．
20．（10分）第24届冬奥会将于2022年2月在北京举行，为推广冰雪运动，发挥冰雪项目的育人功能，现就“学生冰雪活动兴趣爱好”问题，随机调查了该校三年级2班的学生
（1）这次统计共抽查了 　 　名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）如果该校初三年级共有480名学生，估计全校初三年级学生中喜欢基础滑冰项目有多少人？
（3）在被调查的学生中，喜欢旱地滑雪的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校旱地滑雪队
21．（11分）如图1， OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A（2，1）（x＞0）的图象经过点B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y＝（x＞0）的图象于点D，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，
①求直线BD的解析式；
②求线段ED的长度．
22．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径．
23．（12分）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，富含维生素C．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．
（1）求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？
（2）若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE＝1：，求∠AED的度数；
（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连接DM，当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝
25．（13分）抛物线y＝ax2+bx+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，求点D的坐标；
（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，若存在，请直接写出点P的坐标．若不存在
2023年山东省泰安中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）实数的平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．2 D．±2
【分析】直接利用算术平方根化简，进而利用平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：∵＝4，
∴的平方根是：±2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平方根，正确把握定义是解题关键．
2．（4分）化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先将分母因式分解，再同分，最后进行分式的加减．
【解答】解：+
＝+
＝
＝
＝．
故选：A．
【点评】此题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．
3．（4分）如图，在数轴上有点O，A，B，C对应的数分别是0，a，b，c，OB＝1，BC＝2（　　）
A．|a|＝|c| B．ab＞0 C．a+c＝1 D．b﹣a＝1
【分析】根据AO＝2，OB＝1，BC＝2，可得a＝﹣2，b＝1，c＝3，进行判断即可解答．
【解答】解：∵AO＝2，OB＝1，
∴a＝﹣6，b＝1，
∴|a|≠|c|，ab＜0，b﹣a＝7﹣（﹣2）＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据数轴确定a，b，c的值．
4．（4分）在一条葡萄藤上结有五串晶莹的葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）．则这组数据的众数（　　）
A．37，37 B．37，35 C．37，33.8 D．37，32
【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为28，32，37，
所以这组数据的众数为37，中位数为35，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（4分）剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
6．（4分）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°（　　）
A．10° B．20° C．25° D．30°
【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2＝∠AEC，代入求出即可．
【解答】解：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠1＝35°，
∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝25°，
∵GH∥EF，
∴∠8＝∠AEC＝25°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
7．（4分）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】对a进行讨论，分a＞0和a＜0两种情况，再根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【解答】解：a＞0时，﹣a＜0、二、四象限在一，D选项符合．
a＜5时，﹣a＞0、三、四象限（a≠0）在二，无选项符合；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由a的取值确定函数所在的象限．
8．（4分）如果关于x的不等式组仅有四个整数解：﹣1，0，1，2，那么适合这个不等式组的整数m、n组成的有序实数对（m，n）（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．9个
【分析】先求出不等式组的解，得出关于m、n的不等式组，求出整数m、n的值，即可得出答案．
【解答】解：∵解不等式2x﹣m≥0得：x≥，
解不等式n﹣3x≥0得：x≤，
∴不等式组的解集是≤x≤，
∵关于x的不等式组的整数解仅有﹣8，0，1，5，
∴﹣2＜≤﹣4＜3，
解得：﹣2＜m≤﹣2，6≤n＜5，
即m的值是﹣3，﹣2，8，8，
即适合这个不等式组的整数m，n组成的有序数对（m，是（﹣3，（﹣5，（﹣3，（﹣2，（﹣5，（﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出m、n的值．
9．（4分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】由圆周角定理得到∠AOC＝2∠ADC＝60°，然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得∠BOC的度数．
【解答】解：如图，∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，
∴＝．
∴∠AOC＝∠BOC＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
10．（4分）如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝4（　　）
A．8 B．8 C．8 D．10
【分析】由题意得：BF＝BC，EF∥AB，由平行线的性质得出∠ABQ＝∠BQF，由折叠的性质得：∠BQP＝∠C＝90°，BQ＝BC，得出∠AQB＝90°，BF＝BQ，证出∠BQF＝30°，得出∠ABQ＝30°，在Rt△ABQ中，由直角三角形的性质得出AB＝2AQ，BQ＝AQ＝4，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
由题意得：BF＝BC，
∴∠ABQ＝∠BQF，
由折叠的性质得：∠BQP＝∠C＝90°，BQ＝BC，
∴∠AQB＝90°，BF＝，
∴∠BQF＝30°，
∴∠ABQ＝30°，
在Rt△ABQ中，AB＝2AQAQ＝4，
∴AQ＝5，AB＝8；
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证出∠ABQ＝30°是解题的关键．
11．（4分）如图△AOB中，A（0，3），B（4，0），在y轴正半轴上有一点P，当∠BPO＝，点P的纵坐标为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】首先根据点A，B的坐标得OA＝3，OB＝4，再由勾股定理求得AB＝5，然后根据及三角形的外角定理可证PA＝AB＝5，进而得OP＝8，据此可得点P的纵坐标．
【解答】解：∵点A（0，3），7），
∴OA＝3，OB＝4，
由勾股定理得：，
又，
∴∠BAO＝2∠BPO，
∵点P在y轴正半轴上，如图，
∴∠BAO＝∠BPO+∠ABP，
∴7∠BPO＝∠BPO+∠ABP，
∴∠BPO＝∠ABP，
∴PA＝AB＝5，
∴OP＝OA+PA＝3﹣7＝8，
∴点P的纵坐标为8．
故选：A．
【点评】此题主要考查了点的坐标，勾股定理，三角形的外角定理，等腰三角形的判定和性质等，解答此题的关键是理解点的坐标与线段之间的关系．
12．（4分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4（a≠0）的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，图象L与y轴交于点C，则下面结论：
①a＝﹣1；
②关于x的方程a（x﹣1）2+4＝0的解是x1＝3，x2＝﹣1；
③当x＝0时，y＝3；
④当x＝﹣2时，y＜0；
⑤△PCO周长的最小值是；
正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】把（3，0），代入y＝a（x﹣1）2+4可以判断①；利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），于是根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；再把（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4中求出a得到抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，则可计算出x＝0和x＝﹣2所对应的函数值，从而可对③④进行判断；作原点关于直线x＝1的对称点D，如图，则D（2，0），连接CD交直线x＝1于P点，利用两点之间线段最短得到此时PC+PO的值最小，△PCO周长有最小值，然后利用勾股定理计算出CD，从而可对⑤进行判断．
【解答】解：把（3，0）7+4，
解得a＝﹣1，
故①正确；
∵抛物线y＝a（x﹣5）2+4的对称轴为直线x＝8，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣6，0），
∴关于x的方程a（x﹣1）3+4＝0的解是x2＝3，x2＝﹣4，
故②正确；
把（3，0）代入y＝a（x﹣8）2+4得4＝a（3﹣1）6+4，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+4，
当x＝7时，y＝﹣（0﹣1）6+4＝3，
故③正确；
当x＝﹣8时，y＝﹣（﹣2﹣1）3+4＝﹣5＜5，
故④正确；
作原点关于直线x＝1的对称点D，如图，0），
连接CD交直线x＝8于P点，
∵PO＝PD，
∴PC+PO＝PC+PD＝CD，
∴此时PC+PO的值最小，
∴此时△PCO周长有最小值，
∵CD＝＝＝，
∴△PCO周长的最小值为+3，
故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
13．（4分）分解因式：4ma2﹣mb2＝　m（2a+b）（2a﹣b）　．
【分析】直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4ma2﹣mb6＝m（4a2﹣b5）
＝m（2a+b）（2a﹣b）．
故答案为：m（7a+b）（2a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
14．（4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：　6+29　米．
【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH＝DE＝15米，EG＝DH，设BH＝x米，则CH＝x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH＝6米，CH＝6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG＝EG＝6+20（米），即可得出大楼AB的高度．
【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G
则GH＝DE＝15米，EG＝DH，
∵梯坎坡度i＝1：，
∴BH：CH＝7：，
设BH＝x米，则CH＝，
在Rt△BCH中，BC＝12米，
由勾股定理得：x3+（x）2＝125，
解得：x＝6，∴BH＝6米米，
∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝7，
∵∠α＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝6+20（米），
∴AB＝AG+BG＝6+20+4＝（6．
故答案为：4+29．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．
15．（4分）某家具生产厂生产桌椅，已知每块板材可做桌子1张或椅子3把，现计划用100块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），用y块板材做椅子，使得恰好配套（一张桌子两把椅子）　　．
【分析】设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，根据“用100块这种板材生产一批桌椅”，即可列出一个二元一次方程，根据“每块板材可做桌子1张或椅子3把，使得恰好配套，一张桌子两把椅子”，列出另一个二元一次方程，即可得到答案．
【解答】解：设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，
∵用100块这种板材生产一批桌椅，
∴x+y＝100 ①，
生产了x张桌子，3y把椅子，
∵使得恰好配套，一张桌子两把椅子，
∴2x＝8y②，
①和②联立得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
16．（4分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为 　+π　．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．
【解答】解：作OE⊥AB于点F，
∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，且OC⊥OA，
∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝OA tan30°＝×＝6，AB＝2AF＝2×6×，OF＝，
∴BD＝2，
∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，
故答案为：+π．
【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（4分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数的图象交于A，点P在以C（﹣2，0）为圆心，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为　　．

【分析】作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
【解答】解：如图，连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ＝BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为2×＝3，
如图，当BP过圆心C时，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝4，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，5t），BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD8+BD2，
∴25＝（t+2）2+（﹣5t）2，
解得t＝0（舍）或t＝﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y＝（k＞6）的图象上，
∴k＝﹣×（﹣．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
18．（4分）如图，已知直线l的解析式是，过点A（0，1），过点B作直线l的垂线交y轴A1于点；过点A1作y轴的垂线交直线于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2…，按此作法继续下去，则点B2023的纵坐标为 　（）2023　．
【分析】根据所给的直线解析式可得l与x轴的夹角为60°，进而根据所给条件依次得到A1、A2、……的点的坐标，通过相应的规律即可求解．
【解答】解：∵直线l的解析式是，
∴l与x轴的夹角为60°，
∵AB∥x轴，
∴∠AOB＝60°
∵OA＝1，
∴OB＝，
∵A2B⊥l，
∴，
∴，
同理可得，
……
∴A2023的纵坐标为，
∵点B2023和点A2023在一条直线上，
∴点B2023的纵坐标为 ．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是求出A1、A2、……的点的坐标．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分）
19．（8分）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a、b的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝÷﹣
＝×﹣
＝﹣
＝﹣，
∵，
∴，
∴原式＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20．（10分）第24届冬奥会将于2022年2月在北京举行，为推广冰雪运动，发挥冰雪项目的育人功能，现就“学生冰雪活动兴趣爱好”问题，随机调查了该校三年级2班的学生
（1）这次统计共抽查了 　50　名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）如果该校初三年级共有480名学生，估计全校初三年级学生中喜欢基础滑冰项目有多少人？
（3）在被调查的学生中，喜欢旱地滑雪的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校旱地滑雪队
【分析】（1）先利用旱地冰球的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢旱地滑雪项目的人数；
（2）用480乘以样本中喜欢基础滑冰项目的百分比可估计全校学生中喜欢基础滑冰项目的人数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）在这次调查中，总人数为20÷40%＝50（人），
∴喜欢旱地滑雪项目的同学有人50﹣20﹣10﹣15＝5（人），补全图形如下：
故答案为：50；
（2）估计全校初三年级学生中喜欢基础滑冰项目有480×＝192（人）；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是3名女同学和1名男同学的结果数为12，
∴所抽取的2名同学恰好是4名女同学和1名男同学的概率为＝．
【点评】本题考查了统计图、列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21．（11分）如图1， OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A（2，1）（x＞0）的图象经过点B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y＝（x＞0）的图象于点D，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，
①求直线BD的解析式；
②求线段ED的长度．
【分析】（1）先求出AP，OP，再利用平行四边形的性质求出AB＝3，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）①联立方程组求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式；
②先求出点E的坐标，进而求出DH，HE，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AP⊥x轴于点P，
则AP＝1，OP＝3．
又∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝OC＝3，
∴B（2，2）．
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过的B，
∴4＝．
∴k＝8．
∴反比例函数的关系式为y＝．        
（2）①点A（3，1），
∴直线OA的解析式为y＝x（Ⅰ）．
∵点D在反比例y＝（Ⅱ）函数图象上，
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，或
∵点D在第一象限，
∴D（3，2）．
由B（2，7），2），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+6．
②如图5，把y＝0代入y＝﹣x+6，解得x＝5．
∴E（6，0），
过点D作DH⊥x轴于H，
∵D（6，2），
∴DH＝2，
HE＝4﹣4＝2，
由勾股定理可得：ED＝＝2．
【点评】此题是反比例函数，主要考查了平行四边形的性质，待定系数法，勾股定理，解方程组，求出点D的坐标是解本题的关键．
22．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据等边对等角得出∠ODA＝∠OAD，进而得出∠OAD＝∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF＝AE＝8cm，根据垂径定理得出DF＝CD＝6cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA．
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA．
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF＝AE＝8cm．
又∵OF⊥CD，
∴DF＝CD＝6cm．
在Rt△ODF中，OD＝，
即⊙O的半径为10cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
23．（12分）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，富含维生素C．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．
（1）求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？
（2）若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每千克“脐橙”为x元，则每千克“血橙”为（x+8）元，根据题意列方程求解即可；
（2）设可再购买a千克“血橙”，则购买（40﹣a）千克“脐橙”，根据题意求出a的取值范围；设总利润为w元，并求出w与a的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：设每千克“脐橙”为x元，则每千克“血橙”是（x+8）元，
根据题意，得，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
x+4＝10+8＝18，
答：每千克“血橙”为18元，每千克“脐橙”为10元；
（2）设可再购买a千克“血橙”，则购买（40﹣a）千克“脐橙”，
根据题意，得18a+10（40﹣a）≤600，
解得a≤25；
每千克“血橙”的利润为：24﹣18＝6（元），
每千克“脐橙”的利润为：14﹣10＝3（元），
设总利润为w元，根据题意，
因为k＝2＞0，
所以w最a的增大而增大，
所以当a＝25时，w有最大值，w最大＝2×25+160＝210，
此时，40﹣a＝15，
答：该水果商城购买25千克“血橙”，15千克“脐橙”，最大利润是210元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．
24．（12分）已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE＝1：，求∠AED的度数；
（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连接DM，当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝
【分析】（1）由正方形和等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；
（2）设DE＝k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED；
（3）证△MAO∽△DCO得＝＝＝，在Rt△DAM中，根据勾股定理得到DM＝2，求得DO＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）CE＝AF，
在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中，FD＝DE，∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴CE＝AF；
（2）设DE＝k，
∵DE：AE：CE＝1：：3，
∴AE＝k，CE＝AF＝2k，
∴EF＝k，
∵AE2+EF2＝6k6+2k2＝8k2，AF2＝6k2，
即AE2+EF6＝AF2，
∴△AEF为直角三角形，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AED＝∠AEF+DEF＝90°+45°＝135°；
（3）∵M是AB的中点，
∴MA＝AB＝，
∵AB∥CD，
∴△MAO∽△DCO，
∴＝＝＝，
在Rt△DAM中，AD＝4，
∴DM＝8，
∴DO＝，
∵OF＝，
∴DF＝，
∵∠DFN＝∠DCO＝45°，∠FDN＝∠CDO，
∴△DFN∽△DCO，
∴＝，即＝，
∴DN＝．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理及其勾股定理的逆定理，判断△AEF为直角三角形是解本题的关键，也是难点．
25．（13分）抛物线y＝ax2+bx+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，求点D的坐标；
（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，若存在，请直接写出点P的坐标．若不存在
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点A作AF⊥AB，交x轴于点H，交过点E且平行于x轴的直线于点F，设D（m，﹣m2+6m﹣5），利用待定系数法求得直线AC的解析式，用含m的代数式表示出DE，AE，再利用已知条件得到关于m的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用点的坐标和等腰直角三角形的判定定理得到：△FAB为等腰直角三角形，则△PBQ为等腰直角三角形，利用分类讨论的方法分5种情形讨论解答：利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质求得线段PD的长度，则结论可求．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（2，8），3），﹣5）三点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣7；
（2）∵A（2，3），8），
∴AB∥x轴，
过点A作AF⊥AB，交x轴于点H，如图，
设D（m，﹣m2+6m﹣4），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
∴．
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+7，
∴E（m，﹣6m+7），
∴DE＝（﹣m2+8m﹣5）﹣（﹣2m+4）＝﹣m2+8m﹣12．
∵A（2，3），﹣2m+3），
∴EF＝m﹣2，AF＝3﹣（﹣8m+7）＝2m﹣6＝2（m﹣2），
∴AE＝＝（m﹣6），
∵，
∴，
∴m＝5（不合题意，舍去）或m＝．
∴．
∴D（，）；
（3）存在这样的点P、Q，使得以B、P，点P的坐标为（2，）或（2，）．理由：
∵y＝﹣x2+6x﹣2＝﹣（x﹣3）2+4，
∴F（3，4），
过点F作FH⊥AB于点H，则AH＝BH＝3，AB＝2，
∴AB＝BH＝FH＝AB，
∴△FAB为等腰直角三角形．
∵以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，
∴△PBQ为等腰直角三角形．
①当∠QPB＝90°，PQ＝PB时，
设直线l交x轴于点D，
∵∠QPD+∠APB＝90°，∠APB+∠ABP＝90°，
∴∠QPD＝∠ABD．
在△QPD和△PBA中，
，
∴△QPD≌△PBA（AAS），
∴PD＝AB＝2，
∴P（2，﹣5）；
②当∠BQP＝90°，PQ＝QB时，
过点Q作QM⊥AB，交BA的延长线于点M，交MQ的延长线于点N，
则四边形AMQD为矩形，四边形AMNP为矩形，
∴MQ＝AD＝3，AM＝NP．
∵∠QPN+∠PQN＝90°，∠PQN+∠MQB＝90°，
∴∠QPN＝∠MQB．
在△QPN和△BQM中，
，
∴△QPN≌△BQM（AAS），
∴NP＝MQ＝3，QN＝BM．
∴AM＝NP＝2，
∴BM＝AM+AB＝5，
∴NQ＝BM＝5，
∴P（4，﹣5）；
③当∠QPB＝90°，PQ＝PB时，
∵∠QPD+∠APB＝90°，∠APB+∠ABP＝90°，
∴∠QPD＝∠ABD．
在△QPD和△PBA中，
，
∴△QPD≌△PBA（AAS），
∴PD＝AB＝2，
∴P（6，2）；
④当∠PQB＝90°，PQ＝QB时，
过点B作BM⊥OQ于点M，
∵∠BQD+∠PQD＝90°，∠BQD+∠QBM＝90°，
∴∠PQD＝∠QBM．
在△QPD和△QBM中，
，
∴△QPD≌△QBM（AAS），
∴QD＝BM＝3，PD＝QM，
∴OQ＝OD+QD＝4，
∵OM＝4，
∴QM＝OQ﹣OM＝1，
∴PD＝QM＝7，
∴P（2，﹣1）；
⑤当∠PQB＝90°，PQ＝QB时，
过点Q作QM⊥AB，交AB的延长线于点M，AB＝4，
∴MQ≠AB，
∴此种情形不存在．
综上，存在这样的点P、Q、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，﹣2）或（2，4）或（2．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．

2023年山东省泰安中考数学二模试卷（含解析）