2022-2023山东省淄博市部分学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市部分学校高一（下）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 将转化为弧度为( )
A. B. C. D.
2. 如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则( )
A. B. C. D.
3. 化简的值为( )
A. B. C. D.
4. 已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
5. 设，，，则有( )
A. B. C. D.
6. 已知扇形面积为，半径是，则扇形的周长是( )
A. B. C. D.
7. 已知角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，则在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 向量与的夹角为 D. 向量在上的投影向量为
10. 函数，下列选项正确的是( )
A. 该函数的值域为
B. 当时，该函数取得最大值
C. 该函数是以为最小正周期的周期函数
D. 当且仅当时，
11. 如图，在矩形中，，为边的中点，若为折线段上的动点，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
12. 已知为偶函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，，的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是( )
A.
B. 函数在上单调递减
C. 是函数图象的一个对称中心
D. 若方程在上有两个不等实根，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量，若与互相垂直，则 ______ ．
14. 定义运算若，，，则______．
15. 函数的部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的序号为______ ．
的最小正周期为；
的图象关于直线对称；
若且，则；
的图象向左平移个单位得到的图象，若图象的一个对称中心是，则的最小值为．
16. 已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于、两点，且，，，则的最小值是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量，，其中，，求：
Ⅰ和的值；
Ⅱ与夹角的余弦值．
18. 本小题分
已知函数的图象过点．
Ⅰ求；
Ⅱ求函数的单调增区间；
Ⅲ，总成立．求实数的取值范围．
19. 本小题分
已知平面向量，若．
求向量的夹角；
若且，求．
20. 本小题分
已知函数．
求的最小正周期及单调递减区间；
当时，求的最大值和最小值，以及相应的值；
若，求的值．
21. 本小题分
如图，是半径为的圆的直径，点为圆周上一点，且，点为圆周上一动点．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的最大值．
22. 本小题分
已知函数的部分图像如图所示，若，，分别为最高点与最低点．
求函数的解析式；
若函数在上有且仅有三个不同的零点，，，，求实数的取值范围，并求出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据角度与弧度的相互转化公式即可求解．
本题主要考查了角度与弧度的相互转化，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，
．
故选：．
由平面向量的线性运算直接计算即可．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
由题意，利用导公式，两角和的正弦公式，计算求得所给式子的值．
本题主要考查诱导公式，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为与共线，则存在，使得，即，
因为向量、不共线，则，
整理可得，即，
解得或．
故选：．
根据平面向量共线的基本定理可得关于实数的等式，解之即可．
本题主要考查了共线向量基本定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意得：，，，
，，，
故选：．
先利用辅助角公式和二倍角公式化简，，，再进行比较．
本题考查了辅助角公式，二倍角公式，以及正弦函数，正切函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
则，则扇形的周长是．
故选：．
利用扇形的面积公式，即可求得结论．
本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
，若，则，可得，
中，，故A不符合条件；
中，，可得，故B不符合条件；
中，，故C不符合条件；
中，若，可得，故D符合条件．
故选：．
由已知求得，再由三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式逐一分析四个选项得答案．
本题考查利用三角函数的诱导公式化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
因为，当时，，
因为函数在区间上有且仅有个零点和条对称轴，
则，解得．
故选：．
利用辅助角公式化简函数解析式为，由可求得的取值范围，结合已知条件可得出关于实数的不等式，解之即可．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量数量积的运算，向量的夹角，投影向量等知识，属于基础题．
根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断；根据向量数量积的坐标表示即可判断；根据即可判断；根据投影向量的定义即可判断．
【解答】
解：，
则，故A错误；
，故B正确；
，
又，
所以向量与的夹角为，故C错误；
向量在上的投影向量为，故D正确．
故答案选：．

10.【答案】
【解析】解：根据函数，如图所示：
根据函数的图象，
对于：函数的值域为，故A错误；
对于：当时，该函数取得最大值，故 B正确；
对于：函数的最小正周期为，故C错误；
对于：当且仅当时，，故D正确．
故选：．
首先利用分段函数的关系式画出函数的图象，进一步利用函数的性质判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：分段函数，函数的图象和性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量数量积的应用，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用坐标法求出数量积，再根据二次函数的性质求出的取值范围，即可得解．
【解答】
解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：
则，，，，
当在上时，设，，
则，
所以，
因为，所以，即，
当在上时，设，，
则，
所以，
因为，所以，
即．
故选AD．

12.【答案】
【解析】解：因为的图象与直线的两个交点为两个最高点，且的最小值为，
所以的最小正周期，所以．
因为为偶函数，且，所以，故．
因为，所以A错误；
当时，，
所以在上单调递减，故B正确；
因为，所以C错误；
对选项D，当时，，，
即，，如图所示：
函数在上单调递增，在上单调递减，，
结合图象可知，要使方程在上有两个不等实根，
满足，则，所以D正确．
故选：．
首先根据已知条件得到，对选项A，根据三角函数平移变换即可判断A错误，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，根据即可判断C错误，对选项D，画出的图象即可得到答案．
本题考查的知识要点：函数图象的平移变换和伸缩变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
，解得．
故答案为：．
根据得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出的值．
本题考查了向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得：，
，，
，
，，
，
则．
故答案为：
根据题中的新定义化简已知等式，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出的值，将变形为，利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出的度数．
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：对于，
因为，
所以由正弦型函数的周期公式可知：，
即，
即，
由，
因为，
令，
所以，
即．
因为的最小正周期为，
所以正确；
对于，因为，
即当时，函数没有取得最值，
所以的图象不关于直线对称，
因此不对；
对于，因为，
所以，关于该函数的一条对称轴对称，
令，
因为，
所以令，
即对称轴为：，
则，
所以正确；
因为的图象向左平移个单位得到的图象，
所以，
因为图象的一个对称中心是，
所以，
因为，
所以当时，的最小值为，
因此正确．
故答案为：．
根据函数的零点，结合正弦型函数的对称性、图象变换性质逐一判断即可．
本题考查了根据函数的零点求出函数的解析式是关键，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：延长交于点，
则点为的中点，且，
故，
又因为，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值是．
故答案为：．
延长交于点，则点为的中点，且，将用表示，再根据，，三点共线，可得，的等量关系，再利用等量代换结合基本不等式即可得解．
本题主要考查了向量的线性运算及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：向量，
．
．
．
．
【解析】利用向量的线性运算、数量积的定义与性质即可得出；
利用向量的夹角公式即可得出．
本题考查了向量的线性运算、数量积的定义与性质、向量的夹角公式，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ因为，
所以，．
因为，所以分
Ⅱ由Ⅰ得：
由，．
得：，．
所以函数的单调增区间为分
Ⅲ 由，总成立，
得 的最小值．
因为，所以．
所以当时，取得最小值．
所以的取值范围是分
【解析】Ⅰ利用函数值，转化求解即可．
Ⅱ利用正弦函数的单调性，求解函数的单调增区间即可．
Ⅲ 求解函数的最小值，然后推出的取值范围．
本题函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19.【答案】解：，
，，
，，
，，
向量的夹角为；
且，
，，
，
，
．
【解析】利用向量的夹角公式求解即可．
利用向量垂直与数量积的关系求出，再利用向量的求模公式求解即可．
本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的夹角公式和求模公式，属于中档题．
20.【答案】解：
，
所以的最小正周期．
由，，得，，
所以的单调递减区间为，．
，，，
则当，即时，函数取得最大值，最大值为，
当，即时，函数取得最小值，最小值为．
若，则，即，
，，则，
则，
则．
【解析】利用诱导公式和三角函数的辅助角公式进行化简，利用周期公式和单调性进行求解即可．
求出角的范围，利用函数最值与角范围的关系进行求解即可．
利用两角和差的正弦公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角函数的诱导公式和辅助角公式进行化简，利用三角函数的单调性和最值性质进行求解是解决本题的关键，是中档题．
21.【答案】解：解法：Ⅰ因为是单位圆的直径，
所以，．
又因为，
所以，．
所以；
Ⅱ 因为，
因为，
要使最大，则需最大，
而 为 在上的投影，
当点与点重合时，最大，
此时 ，
所以的最大值为．
解法：Ⅰ以圆心为原点，直径为轴建立平面直角坐标系，
则．
所以．
所以，
Ⅱ设，其中，
则．．
因为，
所以当时，的最大值为．
【解析】解法一：Ⅰ根据向量数量积定义求解，Ⅱ根据向量的投影变化求解．
解法二：Ⅰ建系，转化成向量数量积的坐标运算，Ⅱ建系，用坐标法，建立函数模型，运用函数思想求解．
本题考查平面向量数量积运算，向量的投影，坐标法，函数思想，属基础题．
22.【答案】解：由题意可知：
，
设函数的周期为，
则，，，
由图像可知：，，，，
，，
由题意得：，
解得：，
，解得：，
．
由题意，函数在上有且仅有三个不同的零点，，，，
即曲线与在上有且仅有三个不同的交点．
设，当时，，
则，，
由图像可知，，，
，
即，
则，
．
【解析】化简函数，设函数的周期为，则，，再根据已知条件列式求解即可；
将函数在上有且仅有三个不同的零点，转化为曲线与在上有且仅有三个不同的交点，求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，是难题．
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