2022-2023辽宁省辽阳市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省辽阳市高一（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2. 若是第二象限角，则是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3. 已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4. 已知为平面外一点，则下列判断错误的是( )
A. 过点只能作一个平面与平行 B. 过点可以作无数条直线与平行
C. 过点只能作一个平面与垂直 D. 过点只能作一条直线与垂直
5. 已知函数在上的最小值为，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 已知，则( )
A. B. C. D.
7. 如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，，为侧棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
8. 罗定文塔，位于广东省云浮市罗定市城区宝塔平面上呈八角形，各层塔檐微微翘起，状如绽开的花瓣顶层的莲花座铁柱、塔刹九霄盘、宝珠等铸件总重逾七吨，为广东古塔之最如图，为了测量罗定文塔的高度，选取了与该塔底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得罗定文塔顶端的仰角为，则罗定文塔的高度参考数据：取，，，( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知复数满足，则( )
A. B. 是纯虚数
C. D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
10. 已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 为奇函数
C. 在区间上单调递增 D. 的最小值为
11. 已知的内角，，的对边分别为，，，已知，，锐角满足，则( )
A. 的面积为 B.
C. D.
12. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则( )
A. 该圆锥的底面半径为 B. 该圆锥的高为
C. 该圆锥的表面积为 D. 能制作的零件体积的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若，且，则 ______ ．
14. 设复数，在复平面内对应的点为，，若，，则的最大值为______ ．
15. 已知外接圆的半径为，且，则 ______ ，边的中点为，的面积为，则 ______ ．
16. 在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得，，三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量为单位向量，且．
求的值；
向量在上的投影的数量为，且向量在上的投影的数量为，求的值．
18. 本小题分
已知．
求的值；
若，求．
19. 本小题分
如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．
证明：平面．
证明：平面平面B.
20. 本小题分
函数的部分图象如图所示已知，，，．
求和的解析式；
将的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
21. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，_____．
在；这两个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答．
求角；
若为锐角三角形，求的取值范围．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
22. 本小题分
如图，在正三棱台中，，．
证明：．
过的平面交，分别于，，若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则复数的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由与的终边关于轴对称，可知若是第二象限角，则是第三象限角，
所以是第二象限角．
故选：．
先判断角终边的位置，然后再判断出角终边的位置．
本题主要考查象限角，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
由，可得，
即，解得．
故选：．
先求出，根据即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，过平面外一点只能作一个平面与平行，故A正确；
对于，平面外一点可以作无数条直线与平行，故B正确；
对于，平面外一点可以作无数个平面与垂直，故C错误；
对于，平面外一点只能作一条直线与垂直，故D正确．
故选：．
利用空间中线与面的平行关系与垂直关系进行判断即可．
本题主要考查了平面的基本性质及推论，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
函数在上的最小值为，
，
则，解得．
故选：．
先求出，再结合函数在上的最小值为，列出等式，即可求解．
本题主要考查三角函数的最值，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
则，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数线，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：连接，，设，则是，的中点，连接，
由于是的中点，所以，
则为异面直线与所成的角，
，
由于平面，所以平面，
而平面，所以，
则．
故选：．
根据线线平行即可得为异面直线与所成的角，由三角形的边角关系即可求解．
本题考查了异面直线所成的角的计算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，所以，
又
，
因为，，所以，
在中由正弦定理，
即，又，
所以
故选：．
首先求出，再由两角和的正弦公式求出，在中由正弦定理表示出，再由锐角三角函数得到，从而计算可得．
本题主要考查了和差角公式，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设，则，
由，
可得，
所以解得，，因此，A正确；
，为纯虚数，B正确；
，C错误；
，其在复平面内对应的点为，在第四象限，D正确．
故选：．
根据复数的概念以及几何意义、除法运算求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】 解：，则的最小正周期；
又，所以为奇函数；
令，，解得，
所以的单调递增区间为，令
，得的其中一个单调递增区间为；
的最小值为．
故选：．
利用二倍角公式得，对应的性质判断各个选项即可．
本题考查三角函数性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：在中，因为，，且，
由三角形的面积公式，可得，所以A错误；
由为锐角，且，可得，所以B正确；
由余弦定理得，可得，所以C正确；
由余弦定理得，所以不正确．
故选：．
由三角形的面积公式，可判定A错误；由三角函数的基本关系式，可判定B正确，由余弦定理，可判定C正确，D错误．
本题考查了三角形的面积公式，三角函数的基本关系式以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意得该圆锥的母线长为，
设圆锥的底面半径为，高为，
由，得，A错误；
则，B正确；
所以该圆锥的表面积为，C正确；
如图，圆锥内切球的半径等于轴截面内切圆的半径，
设的内切圆为圆，其半径为，
由，
得，得，
故能制作的零件体积的最大值为，D正确．
故选：．
根据侧面展开图和圆锥的关系可求得圆锥底面圆的半径以及圆锥的高，进而可求圆锥的表面积，再根据圆锥内切球的半径与轴截面内切圆的半径相等即可求出能制作的零件体积的最大值．
本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了球的体积公式，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
利用同角三角函数的关系式求得的值，再由两角差的正切公式，得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角差的正切公式，同角三角函数的关系式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，则点组成的集合是圆心在原点，半径的圆及其内部．
的坐标为．
所以的最大值为．
故答案为：．
根据复数的几何意义分析可得：点组成的集合是圆心在原点，半径的圆及其内部，结合圆的性质运算求解．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设中角，，所对的边分别为，，，
由正弦定理可知，
因为，则；
，，
由余弦定理有：，即，
，
边的中点为，
，
．
故答案为：；．
第一空由正弦定理可得；
第二空由三角形面积公式可得，由余弦定理可得，利用平面向量数量积转换可得．
本题考查利用正、余弦定理和三角形的面积公式、向量的数量积解三角形，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，在正方体中，，，三条棱与平面所成角均相等，
又由，，三条棱与水平面所成角均相等，
则平面与水平面平行，
而水平面恰好经过的中点，则水平面截正方体所得截面为如图过棱的中点的正六边形，
由于，则该正六边形的边长为，其面积．
故答案为：．
根据题意，先根据三条棱与水平面所成角均相等，得出水平面与平面平行，再根据特点得出截面为正六边形，然后可得答案．
本题考查正方体的结构特称，涉及平面与正方体的关系，属于中档题．
17.【答案】解：，
即，
则；
由题可知，则，
，则，
，
，
．
【解析】由平面向量的数量积的性质可得，再由夹角的计算公式直接计算即可；
由投影向量的概念可得和，再由数量积的运算律计算即可．
本题考查平面向量的夹角与数量积、投影向量等，属于基础题．
18.【答案】解：由，可得，
则，
所以，
则
；
因为，所以，
又，则，
所以，
．
【解析】先根据两角差的余弦公式及辅助角公式将已知化简，再将根据诱导公式结合二倍角的余弦公式即可得解；
先根据平方关系求出，再根据结合两角差的余弦公式即可得解．
本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：取的中点，连接、，因为，分别为，的中点，
所以且，
又三棱柱是正三棱柱，所以，，
所以且，
所以为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
证明：在正三棱柱中为的中点，
所以，又平面，平面，所以，
，，平面，所以平面，
又，所以平面，又平面，
所以平面平面B.
【解析】取的中点，连接、，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证；
首先证明平面，即可得到平面，从而得证．
本题考查线面平行的证法及面面垂直的证法，属于中档题．
20.【答案】解：设的最小正周期为，因为，
所以，则，，
所以，，又，
所以，解得，
将点的坐标代入，可得，
解得，因为，所以，
所以；
将的图象向右平移个单位长度后，
可得的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到的图象，由，
可得，所以，
所以在上的值域为．
【解析】根据点，的坐标可得，根据，可得，再代入点可得解析式；根据变换规律可得，利用整体法思想求函数值域即可．
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
21.【答案】解：若选择条件，因为，
由正弦定理，得，
所以，
因为，
所以，
所以，
则；
若选择条件，因为，
所以由正弦定理可得，
即，
所以，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以．
由余弦定理，可得，
则可得，
所以，
则，
由正弦定理，得，
因为，
所以，可得，
所以，
即的取值范围为．
【解析】选择条件：由正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可求出的值，从而可求角；
选择条件：由正弦定理可得，根据两角差的正弦公式，结合角的范围即可求解；
由余弦定理可得，根据正弦定理求出的取值范围即可．
本题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，诱导公式以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22.【答案】证明：设，，的延长线交于点，
为正三棱台，
为正三棱锥，
即，
设的中点为，连接，，
设，易知为的中点，
，，
又，平面，
平面，．
解：连接，设，
平面，平面平面，平面，
，同理可得，，
平面，平面，
易知，四边形为平行四边形，
则，，，
由，，得，
过点作，交于点，
在中，，
则，
利用等面积法得，
平面，点到平面的距离，
直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】利用线面垂直的性质证明平面，即可得到结论．
利用线面角的定义，先找出线面角，利用直角三角形的边角关系进行求解即可．
本题主要考查线面垂直的性质以及线面角的计算，利用线面垂直的性质定理以及线面角的定义进行求解是解决本题的关键，是中档题．
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2022-2023辽宁省辽阳市高一（下）期末数学试卷（含解析）