2022-2023广东省珠海市金砖四校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省珠海市金砖四校高二（下）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在等差数列中，若，则( )
A. B. C. D.
2. A、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3. 已知正项等比数列的前项和为，且，，则等比数列的公比为( )
A. B. C. D.
4. 函数的图象在点处的切线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
5. 展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6. 在一次春节聚会上，小王和小张等位同学准备互相送祝福他们每人各写了一张祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则( )
A. 小王和小张恰好互换了贺卡的概率为
B. 已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为
C. 恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为
D. 每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为
7. 定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 数列的前项和为，已知，则( )
A. 是递增数列 B. 是等差数列
C. 当时， D. 当或时，取得最大值
10. 在二项式的展开式中( )
A. 常数项是第项 B. 所有项的系数和为
C. 第项的二项式系数最大 D. 第项的系数最小
11. 观察图象，下列结论错误的有( )
A. 若图中为图象，则在处取极小值
B. 若图中为图象，则有两个极值点
C. 若图中为图象，则在上单调递增
D. 若图中为图象，则的解集为
12. 在年的期中考试中，数学出现了多项选择题多项选择题第题有四个选项A、、、，其中正确选项的个数有可能是个或个或个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同根据以上信息，下列说法正确的有( )
A. 某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于
B. 选项是正确选项的概率高于
C. 在选项为正确选项的条件下，正确选项有个的概率为
D. 在选项为错误选项的条件下，正确选项有个的概率
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知数列的前项和为，则 ．
14. 离散型随机变量的概率分布规律为，，，，，，，其中是常数，则 ______ ．
15. 已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ．
16. 在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______ 行中从左至右第个数与第个数的比为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知公差不为零的等差数列中，，又，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18. 本小题分
某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？
有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，，，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
19. 本小题分
已知函数，其图象在点处的切线方程为．
求，的值；
求函数的单调区间和极值；
求函数在区间上的最大值．
20. 本小题分
记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
证明：数列是等差数列；
求的通项公式．
21. 本小题分
珠海某中学总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品并且每箱含有，，盒非优质产品粉笔的概率为，和为了购买该品牌的粉笔，校总务老师设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买设“买下所查看的一箱粉笔”为事件，“箱中有件非优质产品”为事件．
求，，；
随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设为非优质产品的盒数，求的分布列．
22. 本小题分
已知函数．
若对任意恒成立，求实数的取值范围；
若函数有两个极值点为，，且，若恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是等差数列，
，
又，
，即，
．
故选：．
根据是等差数列可得，则，进一步根据即可求解．
本题考查等差数列的性质，考查学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，
将与看成一个整体，与、进行全排列，共有种排法，
综上共有种排法．
故选：．
利用捆绑法求解相邻问题，即可求解．
本题考查捆绑法的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：设公比为，
因为，，
则，，
又，
所以，
故选：．
直接利用等比数列的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
故函数的图象在点处的切线斜率，
又因为该切线与直线垂直，故有，
解得．
故选：．
由导数的定义可得函数的图象在点处的切线斜率，再由两直线垂直的充要条件可得的值．
本题考查导数的几何意义和直线垂直的充要条件，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意知，的展开式的通项公式为，
展开式中含项的系数为．
故选：．
写出二项式的通项，分别求出含的项与含的项的系数，再由多项式乘多项式求解．
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于，四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，
其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有种，
故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为，A错误；
对于，设小王抽到的是小张写的贺卡为事件，则，
小张抽到小王写的贺卡为事件，则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，
小张抽到小王写的贺卡的概率为，B正确；
对于，恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有种，
故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为不正确；
对于，每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有种，
故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为错误．
故选：．
根据基本计数原理分别计算出所有的可能组合数为种，而“小王和小张恰好互换了贺卡”的可能为种，即可得出其概率为，即A错误；根据条件概率计算公式可得小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为，即B正确；计算可得“恰有一个人抽到自己写的贺卡”的基本事件数为种，即可得出其概率为，即C错误；易知“每个人抽到的贺卡都不是自己写的”的基本事件数为种，所以其概率为，可得D错误．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性、单调性在研究不等式的应用，同时考查了导数在研究函数的单调性时的应用．
易知函数是奇函数，然后构造函数，该函数为奇函数，根据当时，有成立，可知函数在上单调递减，然后结论可化为，结合函数的奇偶性和单调性即可求解．
【解答】
解：因为定义域为的函数满足，
故函数为奇函数，且，
令函数，，显然该函数为奇函数，且．
又因为当时，有成立，
所以，，
故函数在递减，
所以在内单调递减，
且时，；时，．
因为，且时，，
故．
故．
故选：．

8.【答案】
【解析】解：，，
令，得，
设，则，
时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，当，，
由题意，有两个不同的解，
即与的图像有两个不同的交点，
，解得，
实数的取值范围是．
故选：．
求导，问题转化为有两个不同的根，利用导数研究函数的单调性，结合单调性和最值可得结果．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，不满足上式，
所以，
对于，由于，，所以不是递增数列，所以A错误，
对于，由于，，，所以，
所以不是等差数列，所以B错误，
对于，由，得，所以当时，，所以C正确，
对于，，因为，
所以当或时，取得最大值，所以D正确．
故选：．
利用求出可判断，对配方后，利用二次函数的性质可判断．
本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，
对于，令，得，故常数项是第项，故A错误；
对于，令，可得所有项的系数和是，故B正确；
对于，由可得，展开式共项，则第项的二项式系数最大，故C正确；
对于，因为二项式的展开式的通项公式为，
假设第项的系数的绝对值最大，则解得又，
所以或，
当时，；当时，，所以第项的系数最小，故D正确．
故选：．
利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项A：若图为图象，则在两边单调性一致，不是极值，故A错误；
选项B：若图为图象，，，函数单调递减；，，函数单调递增；，，函数单调递减；，，函数单调递增；故函数有，，三个极值点，选项B错误；
选项C：若图为图象，则时，单调性相反，即 ，，函数单调递增；，，函数单调递减；，，函数单调递增；当，单调性一致，，函数单调递增；故C正确；
选项D：若图为 图象，，图像正负相反，时图像正负一致，的解集为，故D错误；
故答案为：．
选项A：若图为 图象，在左右单调性一致，不是极值；选项B：若图为 图象，根据导数与的大小判断单调性，判断极值；
选项C：若图为图象，根据图像的正负判断的正负，判断单调性；选项D：若图为 图象，根据图像的正负判断的正负，解出的解集．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：若正确选项的个数为个，则有种组合，这种组合为正确答案的概率为，
若正确选项的个数为个，则有种组合，每种组合为正确答案的概率为，
若正确选项的个数为个，则有种组合，每种组合为正确答案的概率为，
对于，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；
对于，选项是正确选项的概率为，正确；
对于，选项为正确选项为事件，由选项知，，正确选项有个为事件，则，正确；
对于，选项为错误选项为事件，，正确选项有个为事件，则，错误．
故选：．
先分别计算出任意一组个选项、个选项、个选项为正确答案的概率，再依次判断个选项即可．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求数列的通项公式，考查分类讨论思想在解决问题中的应用，属于基础题．
依题意，分与讨论，即可求得答案．
【解答】
解：当时，，
当时，，
即时，不符合时的关系式，
．
故答案为：

14.【答案】
【解析】解：因为，，，，，，，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
根据所给的概率分布规律，写出个变量对应的概率，由分布列的性质和为求出实数，再求出满足条件的概率即可．
本题考查离散型随机变量的概率相关知识，属于基础题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的导数的基本概念和几何意义，考查计算能力，属于中档题．
求出函数的导数，利用导数的定义求解，然后利用导数的几何意义求解斜率即可．
【解答】
解：函数，可得，
，可得，
即，所以，
可得，解得，
所以，．
故答案为：．

16.【答案】
【解析】解：假设第中从左至右第个数与第个数的比为：，
第行从左到右第个数为，第个数为，
则，即，解得．
故答案为：．
假设第中从左至右第个数与第个数的比为：，根据题意可得出关于的等式，进而可解得正整数的值．
本题考查归纳推理相关知识，属于基础题．
17.【答案】解：公差不为零的等差数列中，，
又，，成等比数列，
可得，，
即，
解得，，
则；
，
可得前项和
．
【解析】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
设公差不为零的等差数列，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
，由数列的裂项相消求和即可得到所求和．
18.【答案】解：设随后一天的空气质量为优良的概率是，
由已知可得，，则．
故随后一天的空气质量为优良的概率是；
设这批产品共有件，
则一厂生产的次品为件，
二厂生产的次品为件，
三厂生产的次品为件．
故从这批产品中任取一件是次品的概率是．
【解析】由已知结合相互独立事件的概率公式求解；
设出产品的总件数，分别求出次品件数，再由随机事件的概率公式求解．
本题考查相互独立事件的概率及随机事件概率的求法，考查概率在实际问题中的应用，是基础题．
19.【答案】解：由题意，
又函数的图象在点处的切线方程为，
所以切线的斜率为，即 ，，解得
又点在直线上，，
同时点即点在上，，
即，解得
由有，，
由可知，或，
所以有、、的变化情况表如下：
极大值 极小值
由上表可知，的单调递增区间是和，单调递减区间是；
函数的极大值是，极小值是
由，函数在区间上的极大值是
又，，
函数在区间上的最大值为．
【解析】求导函数，利用导数的几何意义，结合函数解析式，即可求，的值；
求导数，利用导数的正负，即可求函数的单调区间和极值；
将函数的极大值与端点函数值，比较，即可求函数在区间上的最大值．
本题考查导数知识的应用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20.【答案】解：证明：当时，，
由，解得，
当时，，代入，
消去，可得，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
由题意，得，
由，可得，
由，可得，
当时，，显然不满足该式，
所以．
【解析】由题意当时，，代入已知等式可得的值，当时，将，代入，可得，进一步得到数列是等差数列；
由，可得，代入已知等式可得，当时，，进一步得到数列的通项公式．
本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．
21.【答案】解：根据题意，
，
，
可能的取值为，，，
所以，，
，
所以随机变量的分布列为：

【解析】根据古典概型的概率计算公式即可由组合数计算求解；
根据全概率公式求解概率，即可求解．
本题考查随机变量的分布列，涉及古典概型的计算，属于基础题．
22.【答案】解：由题意得恒成立，
设，则，
设函数，则，
所以函数 单调递增，，
即 ，函数单调递增，，
故；
因为，
方程有两个不相等的实根，，且，，
又，
所以
，
令，则，
即为递减函数，，
所以．
【解析】利用参变分离，然后构造函数利用导数求函数的最值即得；
根据条件表示出，然后构造函数利用导数求函数的最值即得．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题的求解，化归转化思想，属中档题．
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2022-2023广东省珠海市金砖四校高二（下）期中数学试卷（含解析）