河北省平山县2024届高三年级（上）第一次摸底测试数学试题（Word含解析）

平山县2024届高三年级（上）第一次摸底测试数学试题
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共 40分。下列各题，每小题只有一个选项符合题意。）
1. 已知集合，，则（ ）
A. [1，2] B. [1，3] C. [0，2] D. [0，3]
2. 若复数z满足（i为虚数单位），为z的共轭复数，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3. 已知△ABC中，，，点O是△ABC的外心，则（ ）
A. － B. － C. D.
4. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右移个单位
5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100血液中酒精含量在20~80之间为酒后驾车，80及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）（参考数据：，）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6. 已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若，则（ ）
A. B. C. D. 2
8. 已知实数a，b满足，，则（ ）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列式子等于的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数的零点为，则（ ）
A. 值为5 B. 的值为4
C. D.
11. 若，，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 正方体的棱长为2，且（），过P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点，下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 四边形的面积的最大值为
C. 若四边形的面积为，则
D. 若，则四棱锥的体积为
三.填空题(共4题，总计 16分)
13. 展开式中的系数为______．
14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______．
15. 已知某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，写出与该角平分线相邻两边中，其中一边所在直线的斜率为___．
16. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________.
四.解答题(共6题，总计74分)
17. 已知数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列的前n项和为，证明：．
18. 如图，在中，，，分别是角，，所对的边且是三个连续的正整数，其中，．
（1）求；
（2）将线段绕点顺时针旋转到，且，求 面积．
19. 为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球（），乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．
（1）据统计，每人的植树棵数X服从正态分布N（15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；
（2）根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．
附参考数据：若，则，．
20. 在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求二面角P-AB-C的余弦值；
21. 已知抛物线的准线与圆相切.
（1）求；
（2）若定点，，M是抛物线上的一个动点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为 恒过一个定点.求出这个定点的坐标.
22. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设为两个不等的正数，且（），若不等式恒成立，求实数的取值范围．
平山县2024届高三年级（上）第一次摸底测试数学试题
参考答案及解析
一.单项选择题
1.【答案】：B
【解析】：由不等式，解得，即；
又由函数有意义，则满足，解得，即，
所以.
故选：B.
2.【答案】：C
【解析】：令且，则，
所以，故，
所以.
故选：C
3.【答案】：C
【解析】：，即△ABC为等腰直角三角形，即
点O是△ABC的外心，点O是的中点
故选：C
4.【答案】：D
【解析】：因为：．
所以：函数的图象向右平移个单位，
可得到函数的图象．
故选:D.
5.【答案】：C
【解析】：设该驾驶员至少需经过x个小时才能驾驶汽车，则，所以，则，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车.
故选：C
6.【答案】：C
【解析】：设圆锥的底半径为，母线为，高为，则
由圆锥的底面圆心到母线的距离为2，则，即
又，所以，解得
由，则
当，即时，最小值
则圆锥的侧面积为
故选：C
7.【答案】：A
【解析】：解：由抛物线C：，
得，
又因，所以，即，
所以，即，
所以.
故选：A.
8.【答案】：B
【解析】：构建函数，则为奇函数，且在上单调递增.
由，，
得，，所以.
故选：B.
二. 多选题
9.【答案】：CD
【解析】：，故A不正确；
，故B不正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：CD.
10.【答案】：AD
【解析】：∵，
∴，
∴．
令为增函数，
∴由，
得，
∴．
∴．
由，，
又由，，
有，
则.
故选：AD
11.【答案】：ACD
【解析】：由题设，，即，A正确；
，即，B错误，D正确；
由，则，C正确；
故选：ACD
12.【答案】：BD
【解析】：解：因为与不垂直，所以与平面不垂直，故选项A不正确；
如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，2，．
因为，所以，，．
因为平面，所以，
则，，，，，．
若平面，则，即，0，，，，，；
若平面，则，即，，，，2，，．
因为，所以四边形的面积，
当时，四边形的面积最大，且最大值为，
点到直线的距离为，即点到平面的距离为，
所以四棱锥的体积，故选项B正确，选项D正确．
若四边形的面积为，则或，解得或，故选项C不正确，
故选：BD．
二. 填空题
13.【答案】： .
【解析】：由于，
所以其展开式的通项为，其中，
为得到展开式中的系数，则，
当时，的系数为；
当时，的系数为；
当时，的系数为；
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
14.【答案】： 32.
【解析】：由，且，得
，
当且仅当，即时，取等号，此时，则的最小值为32．
故答案为：32.
15.【答案】： 或3．（注：写出一个或两个正确值均可得满分）
【解析】：解：某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，
设这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为，且，
则，
解得.
故答案为：或3．（注：写出一个或两个正确值均可得满分）
16.【答案】：
【解析】：由题意可知，的定义域为R，
因为，所以为奇函数.
因为，且在R上为减函数，
所以由复合函数的单调性可知在R上为增函数.
又，所以，
所以，解得.
故答案为：.
四.解答题
17【答案】：
（1）；（2）证明见解析；
【解析】：
解：（1）因为，，当时，当时，，所以，即，即，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，即．
（2）由（1）知，，令，则，
所以．
18【答案】：
（1）
（2）
【解析】：
【小问1详解】
由题意知，可以分别表示为，，
由正弦定理，得，得．
由余弦定理得，
所以，解得．
【小问2详解】
由（1）知，，，则．
因为，且，所以，
所以
则的面积．
19【答案】：
（1）819名；
（2）答案见解析.
【解析】：
【小问1详解】
由题知，，，所以
，所以1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的人数估计为人.
【小问2详解】
甲箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，50，100，
且，，，，
则，
所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为，.
乙箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，150，
且，
所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为．
所以，当时，，建议该职工选择方案二；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一.
20【答案】：
（1）证明见解析
（2）
【解析】：
【小问1详解】
证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD 平面ABCD，AD⊥DC，
∴AD⊥平面PCD，∵PC 平面PCD，
∴AD⊥PC；
【小问2详解】
在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，DH 平面PDC，
∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，
以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
∵DH⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的一个法向量为，又，，设平面PAB的一个法向量为，
由，取，则，
∴，由题意可知，二面角P﹣AB﹣C为锐角，
∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为；
21【答案】：
（1）；
（2）
【解析】：
【小问1详解】
依题意，直线与圆相切，，.
【小问2详解】
抛物线方程，设，，，
过的直线方程为
化简得：同理，，
又，分别过，.
∴，
消去，代入得
，直线恒过一个定点.
22【答案】：
（1）在上单调递增，在上单调递减
（2）
【解析】：
【小问1详解】
因为，
所以当在上单调递增，
当在上单调递减．
【小问2详解】
令，
则，
依题意得实数满足且不等式恒成立，
由及（1）知，
法1：不等式恒成立知，所以，∴，
又函数在单调递减，∴，
又，所以，即，
两边取对数得对恒成立，
设，
则，
①当时，对恒成立，
此时在上单调递增，故恒成立，符合题意，
②当时，，则，
此时在上单调递减，故，不符合题意．
综上所述，．
法2：由
令，则，
所以不等式
令，依题意恒成立．
①当时，递增，从而，
所以在上递增，故恒成立．
②当时，由得，所以在上递减，
所以在上递减，
故，不合题意．
③当时，由知，不合题意．综上所述，．

河北省平山县2024届高三年级（上）第一次摸底测试数学试题（Word含解析）