山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（提升题）①（含解析)

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（提升题）①
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 莱芜区二模）计算：．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
2．（2023 莱芜区二模）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1），其中．
三．分式方程的应用（共2小题）
3．（2023 莱芜区二模）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了1200元，购买乙种树苗花了900元，甲种树苗的单价是乙种树苗的1.5倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少10棵．
（1）求甲、乙两种树苗单价分别是多少元？
（2）为扩大园区绿化面积，该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共100棵，若总金额不超过1314元，问最少购进多少棵乙种树苗？
4．（2023 槐荫区二模）为有效防控甲型流感，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知一包口罩的价格比一包酒精湿巾多2元，用100元可以购买的口罩的数量和用60元可以购买的酒精湿巾的数量相同．
（1）求每包口罩和每包酒精湿巾的单价．
（2）妈妈给了小明60元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），请问小明有哪几种购买方案？
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
5．（2023 槐荫区二模）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点．过点C作CE⊥x轴于点E，已知OE＝1，
（1）求双曲线的表达式；
（2）求不等式的解集；
（3）设点F是y轴上异于原点的一点，满足S△ACF＝S△AOC，求点F的坐标．
五．反比例函数综合题（共1小题）
6．（2023 莱芜区二模）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点M在y轴上，且△BMC的面积为4，求点M的坐标；
（3）将线段AB在平面内平移，当AB一个端点的对应点P在x轴上，另一个端点的对应点Q是平面内一点，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
六．二次函数综合题（共3小题）
7．（2023 莱芜区二模）抛物线的顶点坐标为D（1，4），与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，求AM+OM的最小值，并求出此时M点的坐标；
（3）如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接CD，PD与BC相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023 槐荫区二模）如图1，已知以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于C点，对称轴为x＝﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，∠BCO和∠ACD有怎样的数量关系，请说明理由；
（3）如图2，已知点M（﹣4，0），若P为抛物线位于x轴下方部分上一点，以PO为边在PO的上方作等边三角形POQ，连接MQ，N为线段MQ中点，直接写出MN的最小值．
9．（2023 济阳区二模）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，D是线段BC上一点，BD＝3DC，作射线OD交抛物线于点E，H是抛物线上一点，连接OH，若OE平分∠COH，求H点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EF垂直于x轴于点F，在直线EF上存在点M，使得∠DMB＝45°，请直接写出点M的坐标．
七．平行四边形的性质（共2小题）
10．（2023 莱芜区二模）如图，在 ABCD中，点M、N分别是对角线BD上的两点，且BM＝DN，连接AN，CM．求证：∠ANM＝∠CMN．
11．（2023 济阳区二模）如图，E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AF＝CE，求证：DF∥BE．
八．切线的性质（共3小题）
12．（2023 莱芜区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，PD是⊙O的切线，D为切点，交CA的延长线于点P．连接AD，BD．
（1）求证：PD∥AB；
（2）若⊙O的半径为1，，求BC的长．
13．（2023 槐荫区二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；
（2）若tan∠ADC＝，BC＝12，求AE的长．
14．（2023 历下区二模）如图，在△ABC中，以BC为直径作⊙O交AC于点D，且点D为AC中点，过点D作⊙O的切线DE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若AB＝8，，求CE的长．
九．几何变换综合题（共1小题）
15．（2023 莱芜区二模）如图，在同一平面内的△ABC和△ADE，连接CE、BD，点P、Q分别是线段CE、BD的中点，△ADE绕点A自由旋转时，B、P、D三点会在同一条直线上．
（1）如图1，当△ABC和△ADE都是等边三角形时，判断线段PA、PB、PC的数量关系，并给出证明；
（2）如图2，当△ABC和△ADE都是等腰直角三角形时，请直接写出线段PA、PB、PC的数量关系 　 　；
（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，时，求点A到直线PB的距离．
一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
16．（2023 济阳区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB的长为半径的圆交BC于点D，交AB于点E，AD为⊙O的切线．
（1）求证：∠B＝∠CAD；
（2）若CD＝4，BD＝12，求⊙O的半径的长．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
17．（2023 槐荫区二模）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC与AB的张角为α，为保证安全，α的调整范围是30°≤a≤60°，BC为固定张角α大小的绳索．
（1）求绳索BC长的最大值．
（2）若α＝40°时，求桑梯顶端D到地面BC的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，最后结果精确到0.01米）
一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
18．（2023 莱芜区二模）某景区在建筑物BE附近新建了一座200m高的建筑物AD，小明在此建筑物底端的点D处测得建筑物BE的顶端B的仰角是30°，当他到达建筑物AD的顶端A时，测得B点的俯角是45°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）请你帮小明计算建筑物BE的高（结果精确到1m）．（参考数据：≈1.732）
19．（2023 历下区二模）如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1：2（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）的山坡CF，点E、点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14°．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
（1）求点D到地面的垂直高度DE的长；
（2）求楼AB的高度．
一十三．频数（率）分布直方图（共1小题）
20．（2023 莱芜区二模）根据国家教育部和体育总局颁发的《学生体质健康标准》精神，为提高学生的自我保健能力和体质健康水平，近日，某校开展了学生体能测试活动中的一项：女生一分钟跳绳比赛，并随机抽取了60名女生一分钟跳绳次数进行调查统计，根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图：
等级 次数 频数
不合格 100≤x＜120 a
合格 120≤x＜140
良好 140≤x＜160
优秀 160≤x＜180 b
请结合上述信息完成下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是 　 　；
（4）若该校有3000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．
山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（提升题）①
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 莱芜区二模）计算：．
【答案】5．
【解答】解：
＝3+1﹣+1+2×
＝3+1﹣+1+
＝5．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
2．（2023 莱芜区二模）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1），其中．
【答案】3x﹣6，﹣5．
【解答】解：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1）
＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣2x2+2x+3x﹣3
＝3x﹣6，
当x＝时，
原式＝3×﹣6
＝﹣5．
三．分式方程的应用（共2小题）
3．（2023 莱芜区二模）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了1200元，购买乙种树苗花了900元，甲种树苗的单价是乙种树苗的1.5倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少10棵．
（1）求甲、乙两种树苗单价分别是多少元？
（2）为扩大园区绿化面积，该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共100棵，若总金额不超过1314元，问最少购进多少棵乙种树苗？
【答案】（1）甲种树苗单价是15元，乙种树苗单价是10元；
（2）最少购进38棵乙种树苗．
【解答】解：（1）设乙种树苗单价是x元，则甲种树苗单价是1.5x元，
依题意得：＝﹣10，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×10＝15，
答：甲种树苗单价是15元，乙种树苗单价是10元；
（2）设购进乙种树苗m棵，则购进甲种树苗（100﹣m）棵，
依题意得：10m+15（100﹣m）≤1314，
解得：m≥37.2，
又∵m为整数，
∴m的最，小值为38，
答：最少购进38棵乙种树苗．
4．（2023 槐荫区二模）为有效防控甲型流感，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知一包口罩的价格比一包酒精湿巾多2元，用100元可以购买的口罩的数量和用60元可以购买的酒精湿巾的数量相同．
（1）求每包口罩和每包酒精湿巾的单价．
（2）妈妈给了小明60元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），请问小明有哪几种购买方案？
【答案】（1）每包口罩的单价为5元，每包酒精湿巾的单价为3元；
（2）小明有3种购买方案：
①购买口罩9包，酒精湿巾5包；②购买口罩6包，酒精湿巾10包；③购买口罩3包，酒精湿巾15包．
【解答】解：（1）（1）设每包酒精湿中的单价为x元，
依题意得：＝，
即100x＝60（x+2），
100x＝60x+120
x＝3，
经检验，x＝3是原分式方程的解，
则x+2＝5，
答：每包口罩的单价为5元，每包酒精湿巾的单价为3元．
（2）设小明购买口罩m包，酒精湿巾n包，
由题意得：5m+3n＝60，
∴m＝12﹣n，
∵m、n为正整数，
∴或或，
∴小明有3种购买方案：
①购买口罩9包，酒精湿巾5包；②购买口罩6包，酒精湿巾10包；③购买口罩3包，酒精湿巾15包．
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
5．（2023 槐荫区二模）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点．过点C作CE⊥x轴于点E，已知OE＝1，
（1）求双曲线的表达式；
（2）求不等式的解集；
（3）设点F是y轴上异于原点的一点，满足S△ACF＝S△AOC，求点F的坐标．
【答案】（1）双曲线的表达式；
（2）﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）F（0，2）．
【解答】解：（1）由题意可知点C的坐标为1，
将x＝1代入y＝x+1得：y＝1+1＝2，
∴C（1，2），
∵点C（1，2）在双曲线 上，
∴k＝1×2＝2，
∴双曲线的表达式；
（2）由 ，解得，，
∴D（﹣2，﹣1），
观察图象可得不等式的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）把y＝0代入y＝x+1得：x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴OA＝1，
，
设F（0，a），则BF＝|1﹣a|，
∴S△ACF＝S△ABF+S△CBF＝+＝＝1，
∴|1﹣a|＝1，
∴a＝0（舍）或a＝2，
∴F（0，2）．
五．反比例函数综合题（共1小题）
6．（2023 莱芜区二模）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点M在y轴上，且△BMC的面积为4，求点M的坐标；
（3）将线段AB在平面内平移，当AB一个端点的对应点P在x轴上，另一个端点的对应点Q是平面内一点，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝；（2）点M的坐标为：（0，7）或（0，﹣1）；（3）存在，点P的坐标为：（1，0）或（﹣1，0）．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，即点A（1，2），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2，
即房比例函数表达式为：y＝；
（2）联立一次函数和反比例函数表达式得：＝﹣x+3，
解得：x＝1或2，
即点B（2，1）；
设点M的坐标为：（0，y），
则△BMC的面积＝4＝CM xB＝|3﹣y|×2，
解得：y＝7或﹣1，
即点M的坐标为：（0，7）或（0，﹣1）；
（3）存在，理由：
设点P（x，0），点Q（s，t），
当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP＝BQ得：
，解得：，
即点P（1，0）；
当AQ是对角线时，由中点坐标公式和AQ＝BP得：
，解得：，
即点P的坐标为：（﹣1，0）；
综上，点P的坐标为：（1，0）或（﹣1，0）．
六．二次函数综合题（共3小题）
7．（2023 莱芜区二模）抛物线的顶点坐标为D（1，4），与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，求AM+OM的最小值，并求出此时M点的坐标；
（3）如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接CD，PD与BC相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）M（，）；
（3）存在点P，使∠PQC＝∠ACD，P（4，﹣5）．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为D（1，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点A（﹣1，0）代入，得：4a+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
故该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，作点O关于直线BC的对称点K，连接AK交BC于点M，连接BK，
由对称性可知，OM＝KM，
∴AM+OM＝AM+KM≥AK，
当O、M、K三点共线时，AM+OM有最小值，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠KBM＝45°，
∴BK⊥BO，
∴K（3，3），
设直线AK的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AK的解析式为y＝x+，
设直线BC的解析式为y＝mx+3，
∴3m+3＝0，
∴m＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
联立方程组，
解得：，
∴M（，）；
（3）存在点P，使∠PQC＝∠ACD．理由如下：
如图2，过点D作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点E，则DE＝CE＝1，
即∠DCE＝45°，则∠OCD＝90°+45°＝135°，
则∠ACD＝135°+∠ACO；
过点Q作QT⊥x轴于点T，则∠CQT＝135°，
则∠PQC＝∠CQT+∠TQP＝135°+∠TQP＝∠ACD＝135°+∠ACO，
∴∠TQP＝∠ACO，
过点P作PN∥y轴交过点D与x轴的平行线于点N，
∵PN⊥x轴，QT⊥x轴，
∴PN∥QT，
∴∠NPD＝∠TQP＝∠ACO，
在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝＝tan∠NPD，
设点P（t，﹣t2+2t+3），
则tan∠NPD＝＝＝，
解得：t＝1（舍去）或t＝4，
经检验，t＝4是方程的根，
∴P（4，﹣5）．
8．（2023 槐荫区二模）如图1，已知以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于C点，对称轴为x＝﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，∠BCO和∠ACD有怎样的数量关系，请说明理由；
（3）如图2，已知点M（﹣4，0），若P为抛物线位于x轴下方部分上一点，以PO为边在PO的上方作等边三角形POQ，连接MQ，N为线段MQ中点，直接写出MN的最小值．
【答案】（1）y＝x2+4x+3；
（2）∠ACD＝∠BCO；理由见解析；
（3）．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝﹣2，经过A（﹣3，0），
，
解得a＝1，b＝4，
∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3；
（2）∠ACD＝∠BCO．
理由：∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为D（﹣2，﹣1），
∵抛物线对称轴为x＝﹣2，经过A（﹣3，0），
则B（﹣1，0），
又x＝0时，y＝3，
则C（0，3），
∴OB＝1，OC＝3，
Rt△OBC中，tan∠BCO＝，
又∵A（﹣3，0），D（﹣2，﹣1），C（0，3），
∴AD＝＝，
同理，，
在△ACD，AD2+AC2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
在Rt△CAD中，，
∴∠ACD＝∠BCO；
（3）作等边三角形OMH，则H（﹣2，﹣2），
∵△POQ为等边三角形，△OMH为等边三角形，
∴∠HOM＝∠POQ＝60°，OQ＝OP，
∴∠MOQ＝∠HOP，
∴△MQO≌△HPO（SAS），
∴MQ＝HP，
∴当HP⊥x轴时，即P，D重合时，HP最短，
∵D（﹣2，﹣1），
此时HD＝HP＝﹣1﹣（﹣2）＝2﹣1，
∴MQ的最小值为2﹣1，
∵N为MQ的中点，
∴MN的最小值为．
9．（2023 济阳区二模）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，D是线段BC上一点，BD＝3DC，作射线OD交抛物线于点E，H是抛物线上一点，连接OH，若OE平分∠COH，求H点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EF垂直于x轴于点F，在直线EF上存在点M，使得∠DMB＝45°，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解析式为：y＝﹣x2+3x+4．
（2）H（3，4）．
（3）M1（2，3+）；M2（2，﹣）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）代入解析式得：
；解得：．
∴解析式为：y＝﹣x2+3x+4．
（2）当x＝0时，y＝4得C（0，4）．
设D（m，n），由BD＝3DC可得：
；解得：，即D（1，3）．
∴直线OD解析式为：y＝3x．
记OH与BC交点G（t，﹣t+4），作GH∥OD交y轴与H．
∴∠COD＝∠OHG，∠DOG＝∠OGH；
∵OE平分∠COH，即∠COD＝∠DOG；
∴∠OHG＝∠OGH；
∴OH＝OG．
∵GH∥OD，
∴．
∴．
∴＝，解得：t1＝0（舍），t2＝．
∴G（，）．
∴OH的解析式为：．
H为抛物线与OH的交点：
；解得： （舍），；
即：H（3，4）．
（3）E是抛物线与射线OD的交点：
；解得：（舍）；；即：E（2，6）．
设M（2，m），以BD为对角线做正方形BPDQ，则P（4，3），Q（1，0）如图2．
当M在⊙P上时，∠DMB＝∠DPB＝45°；
即：MP＝＝3；解得：m1＝3﹣（舍）；m2＝3+；
当M在⊙Q上时，∠DMB＝∠DQB＝45°；
即：MQ＝＝3；解得：m3＝（舍）；m4＝﹣；
∴M1（2，3+）；M2（2，﹣）．
七．平行四边形的性质（共2小题）
10．（2023 莱芜区二模）如图，在 ABCD中，点M、N分别是对角线BD上的两点，且BM＝DN，连接AN，CM．求证：∠ANM＝∠CMN．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵BM＝DN，
∴BN＝DM，
在△ABN与△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（SAS），
∴∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN．
11．（2023 济阳区二模）如图，E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AF＝CE，求证：DF∥BE．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ SAS），
∴∠AFD＝∠CEB，
∴∠DFC＝∠BEA，
∴DF∥BE．
八．切线的性质（共3小题）
12．（2023 莱芜区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，PD是⊙O的切线，D为切点，交CA的延长线于点P．连接AD，BD．
（1）求证：PD∥AB；
（2）若⊙O的半径为1，，求BC的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）BC的长是．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝90°，
∵PD是⊙O的切线，D为切点，
∴PD⊥OD，
∴∠ODP＝90°，
∴∠ODP＝∠BOD，
∴PD∥AB．
（2）解：作AF⊥PD于点F，则∠AFD＝∠AFP＝90°，
∴∠ODF＝90°，∠AOD＝2∠ACD＝90°，
∴四边形OAFD是矩形，
∵OA＝OD＝1，
∴四边形OAFD是正方形，
∴AF＝OA＝1，
∵AB＝2OA＝2，AP＝，∠BAC＝∠P，
∴＝sin∠BAC＝sin∠P＝＝＝，
∴BC＝AB＝×2＝，
∴BC的长是．
13．（2023 槐荫区二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；
（2）若tan∠ADC＝，BC＝12，求AE的长．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴∠DAB＝∠AOC，
∵∠AOC＝2∠ABC，
∴∠DAB＝2∠ABC；
（2）解：连接AC，如图，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴tan∠ABC＝tan∠ADC＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵tan∠ABC＝＝，
∴AC＝BC＝×12＝9，
∴AB＝＝＝15，
∵OC∥AE，
∴∠CAE＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠CAE＝∠OAC，
∵∠ACB＝∠AEC，
∴△ACE∽△ABC，
∴AC：AB＝AE：AC，即9：15＝AE：9，
解得AE＝，
即AE的长为．
14．（2023 历下区二模）如图，在△ABC中，以BC为直径作⊙O交AC于点D，且点D为AC中点，过点D作⊙O的切线DE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若AB＝8，，求CE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵BC为⊙O的直径，
∴BD⊥AC，
∵点D为AC中点，
∴AD＝CD，
∴AB＝BC；
（2）解：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵AB＝BC＝8，
∴OD＝4，
∵AD＝CD，BO＝OC，
∴OD∥AB，
∴∠DOE＝∠ABC，
∵，
∴cos∠DOE＝＝＝，
∴OE＝10，
∴CE＝OE﹣OC＝6．
九．几何变换综合题（共1小题）
15．（2023 莱芜区二模）如图，在同一平面内的△ABC和△ADE，连接CE、BD，点P、Q分别是线段CE、BD的中点，△ADE绕点A自由旋转时，B、P、D三点会在同一条直线上．
（1）如图1，当△ABC和△ADE都是等边三角形时，判断线段PA、PB、PC的数量关系，并给出证明；
（2）如图2，当△ABC和△ADE都是等腰直角三角形时，请直接写出线段PA、PB、PC的数量关系 　PB＝CP+AP　；
（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，时，求点A到直线PB的距离．
【答案】（1）PA+PC＝PB，理由见解析过程；
（2）PB＝CP+AP，理由见解析过程；
（3）点A到直线PB的距离2．
【解答】解：（1）PA+PC＝PB，理由如下：
如图1，连接AQ，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点P、Q分别是线段CE、BD的中点，
∴BQ＝DQ，CP＝PE，
∴BQ＝CP，
∴△ACP≌△ABQ（SAS），
∴AQ＝AP，∠BAQ＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴PQ＝AP，
∴PB＝BQ+PQ＝AP+CP；
（2）PB＝CP+AP，理由如下：
如图2，连接AQ，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠BAD＝∠ACE，
∵点P、Q分别是线段CE、BD的中点，
∴BQ＝DQ，CP＝PE，
∴BQ＝CP，
∴△ACP≌△ABQ（SAS），
∴AQ＝AP，∠BAQ＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAQ＝90°，
∴△PAQ都是等腰直角三角形，
∴PQ＝AP，
∴PB＝CP+AP，
故答案为：PB＝CP+AP；
（3）如图3，过点A作AH⊥BP于H，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，
∴点A，点B，点E三点共线，EA＝AD，AC＝AB，
∴＝，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
又∵∠BDA＝∠CDP，
∴∠BAC＝∠BPC＝90°，
又∵CP＝PE，
∴BC＝BE，CD＝DE，
∵∠DCP＝∠DEP，
∵∠ADE＝90°﹣∠AED＝60°，
∴∠DCP＝∠DEP＝30°，
∴∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，
∵CP＝PE，∠CAE＝90°，
∴AP＝CP＝PE＝4，
∵∠BCA＝∠ECA＝30°，
∴AB＝AE＝4，∠PBE＝∠ACE＝30°，
∴AH＝AH＝2，
∴点A到直线PB的距离2．
一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
16．（2023 济阳区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB的长为半径的圆交BC于点D，交AB于点E，AD为⊙O的切线．
（1）求证：∠B＝∠CAD；
（2）若CD＝4，BD＝12，求⊙O的半径的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AD为⊙O的切线，
∴OD⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADC+∠ODB＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠B＝∠CAD．
（2）解：∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴，
∴CA2＝CD CB＝4×（4+12）＝64，
∴CA＝8．
过点O作OF⊥CB于点F，则DF＝FB＝BD＝6，
∵∠B＝∠CAD，∠OFB＝∠C＝90°，
∴△OFB∽△DCA，
∴，
∴OF＝BF＝3，
∴OB＝＝3．
∴⊙O的半径的长为3．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
17．（2023 槐荫区二模）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC与AB的张角为α，为保证安全，α的调整范围是30°≤a≤60°，BC为固定张角α大小的绳索．
（1）求绳索BC长的最大值．
（2）若α＝40°时，求桑梯顶端D到地面BC的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，最后结果精确到0.01米）
【答案】（1）绳索BC长的最大值为1.5米；
（2）桑梯顶端D到地面BC的距离约为2.54米．
【解答】解：（1）由题意得：
当∠BAC＝α＝60°时，绳索BC的长最大，
∵AB＝AC＝1.5米，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝1.5米，
∴绳索BC长的最大值为1.5米；
（2）过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∴∠DEC＝90°，
∵AB＝AC＝1.5米，∠BAC＝α＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝70°，
∵AD＝1.2米，
∴DC＝AD+AC＝2.7（米），
在Rt△DEC中，DE＝DC sin70°≈2.7×0.94≈2.54（米），
∴桑梯顶端D到地面BC的距离约为2.54米．
一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
18．（2023 莱芜区二模）某景区在建筑物BE附近新建了一座200m高的建筑物AD，小明在此建筑物底端的点D处测得建筑物BE的顶端B的仰角是30°，当他到达建筑物AD的顶端A时，测得B点的俯角是45°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）请你帮小明计算建筑物BE的高（结果精确到1m）．（参考数据：≈1.732）
【答案】（1）75°；
（2）建筑物BE的高约为73m．
【解答】解：（1）过点B作BH⊥AD于H，
∵AF⊥AD，DE⊥AD，
∴AF∥DE∥BH，
∴∠ABH＝∠BAF＝45°，∠DBH＝∠BDE＝30°，
∴∠ABD＝∠ABH+∠DBH＝75°；
（2）∵BE⊥DE，DE⊥AD，BH⊥AD，
∴四边形BEDH是矩形，
∴BH＝DE，BE＝DH，
在Rt△ABH中，∠BAH＝∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝DE，
在Rt△ABH中，∠BDE＝30°，tan∠BDE＝，
∴BE＝DH＝DE tan30°＝AH，
∴AH+DH＝AH+AH＝AD＝200，
∴AH＝≈≈127（m）．
∴BE＝AD﹣AH＝73m，
答：建筑物BE的高约为73m．
19．（2023 历下区二模）如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1：2（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）的山坡CF，点E、点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14°．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
（1）求点D到地面的垂直高度DE的长；
（2）求楼AB的高度．
【答案】（1）点D到地面的垂直高度DE的长约为9.0米；
（2）楼AB的高度约为17.9米．
【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC，CD＝20米，
∵山坡CF的坡度i＝1：2，
∴＝，
∴设DE＝x米，则CE＝2x米，
在Rt△DEC中，CD＝＝＝x（米），
∴x＝20，
解得：x＝4，
∴DE＝4≈9.0（米），CE＝2x＝8≈17.9（米），
∴点D到地面的垂直高度DE的长约为9.0米；
（2）过点D作DG⊥AB，垂足为G，
由题意得：DE＝BG＝4米，DG＝EB，
设BC＝x米，
∵EC＝8米，
∴DG＝EB＝EC+CB＝（x+8）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC tan45°＝x（米），
在Rt△ADG中，∠ADG＝14°，
∴AG＝DG tan14°≈0.25（x+8）米，
∴AB＝AG+BG＝0.25（x+8）+4＝（0.25x+6）米，
∴0.25x+6＝x，
解得：x＝8，
∴AB＝8≈17.9（米），
∴楼AB的高度约为17.9米．
一十三．频数（率）分布直方图（共1小题）
20．（2023 莱芜区二模）根据国家教育部和体育总局颁发的《学生体质健康标准》精神，为提高学生的自我保健能力和体质健康水平，近日，某校开展了学生体能测试活动中的一项：女生一分钟跳绳比赛，并随机抽取了60名女生一分钟跳绳次数进行调查统计，根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图：
等级 次数 频数
不合格 100≤x＜120 a
合格 120≤x＜140
良好 140≤x＜160
优秀 160≤x＜180 b
请结合上述信息完成下列问题：
（1）a＝　3　，b＝　18　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是 　162°　；
（4）若该校有3000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．
【答案】（1）3，18；
（2）见解析；
（3）162°；
（4）2850人．
【解答】解：（1）根据频数分布直方图可知优秀的人数b＝18，
合格人数为60×20%＝12（人），良好的人数为27人，
∴a＝60﹣12﹣27﹣18＝3；
故答案为：3，18；
（2）根据（1）的数据补全频数分布直方图如下：
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是360°×＝162°；
故答案为：162°；
（4）3000×＝2850（人），
答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为2850人．
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山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（提升题）①（含解析)