人教A版（2019）必修第二册8.3简单几何体的表面积与体积（含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、单选题
1．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（ ）
A． B．3 C． D．
2．我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以1为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2)，从而求得该帐篷的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的顶点为点，高是底面半径的倍，点，是底面圆周上的两点，当是等边三角形时面积为，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）
A． B．
C． D．
5．六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（ ）
A． B． C． D．
6．在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（ ）．
A． B．2 C． D．
8．等体积的球和正方体,球的表面积与正方体的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
10．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ）
A． B． C． D．
11．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若圆台的上，下底面半径分别为2，4，高为2，则该圆台的侧面积为______．
14．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，为中点，平面截四棱锥的上下两部分的体积之比为___________.
15．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________.
16．如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则该圆台的体积为_________；侧面积为_________．
17．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.
三、解答题
18．有一堆规格相同的铁制（铁的密度为）六角螺帽共重，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是，内孔直径为，高为，
（1）求一个六角螺帽的体积；（精确到）
（2）问这堆六角螺帽大约有多少个？
（参考数据：）
19．如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，点，，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，，重合，得到三棱锥，则当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围.
20．正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1.
求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；
（2）棱锥的表面积与体积.
21．如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.
【详解】
设底面半径为，高为，母线为，如图所示：
则圆锥的体积，所以，即，
，则，
又，所以，故．
故选：C．
2．B
根据题意，求得对应正四棱柱的底面边长和高，根据帐篷的体积等于棱柱的体积减去棱锥的体积，根据体积公式求得结果.
【详解】
根据题意，底面正方形的边长为，高为1，
根据题意，可知该帐篷的体积为，
故选：B.
方法点睛：该题考查的是有关几何体体积的求解，解题方法如下：
（1）认真读题，理解题意；
（2）根据题意，求得相应几何体的棱长；
（3）利用体积公式求得结果.
3．D
根据是等边三角形时面积为求得母线，再由高是底面半径的倍，求得底面半径，然后由圆锥的侧面积公式求解.
【详解】
解：设圆锥的高为h，母线为l，底面半径为r，
则由题意得h=r， ，
所以，
又，则，
所以圆锥的侧面积为，
故选；D
4．A
由题意可知正四棱锥底面正方形边长为，高为，利用椎体体积公式即可求解.
【详解】
如图正四棱锥中，，，
所以正四棱锥的体积为，
故选：A
5．B
由已知证得平面，再根据棱锥的体积公式计算可求得答案.
【详解】
解：如图，连接，，，连接．因为，，所以，，所以平面．因为，所以．因为四边形是正方形，所以，则，故该正八面体的体积为．
故选：B.
6．B
根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．
【详解】
解：设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，
所以
所以
所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的体积为
故选：．
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
7．D
先求出底面圆周长，再计算圆锥侧面积即可.
【详解】
如图，由题意知为等腰直角三角形，则，底面圆周长为，
故圆锥的侧面积为.
故选：D.
8．A
根据体积相等得出正方体棱长和球的半径的大小关系，求出表面积即可得解.
【详解】
设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意得，
所以，.
所以，
，
所以.
故选：A
9．B
先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.
【详解】
如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，
，，
设上底面面积为，下底面面积为，
则体积为.
故选：B.
10．B
根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.
【详解】
解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，
圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，
可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，
设大圆锥的高为，所以，解得：，
则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，
所以该壶的容积.
故选：B.
11．A
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.
【详解】
由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为
.
故选：A.
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
12．A
由题意先求出，再由三棱锥的体积为，得到高，再利用正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，
求出外接球的半径，球的最大截面圆为过球心的圆.当垂直于过的截面时，截面圆半径最小，求出此时半径即可求出相应的面积.
即可求出过点的平面截球所得截面面积的取值范围.
【详解】
设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得
在正中，可得.从而直角在中解得.
进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角，
正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心.
记外接球半径为，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆，
所以过的平面截球所得截面的面积最大为；
又为中点，由正方体结构特征可得
由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时，
截面圆半径最小为所以.
因此，过的平面截球所得截面的面积范围为.
故选：A.
13．
作出圆台的轴截面，利用勾股定理求出圆台的母线，再根据圆台侧面积公式计算可得；
【详解】
解：依题意，，，所以，所以圆台的母线，故圆台的侧面积
故答案为：
14．
延长交于点，连交于，可得为的重心，再根据线段的比例关系得几何体体积见的关系.
【详解】
延长交于点，连交于，
由可知，则中，为重心，
，
而，，
故，
所以上下两部分的体积比为，
故答案为：.
15．
作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.
【详解】
作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：
∴.
设底面圆的半径为r,则有,解得,
所以这个圆锥的高为，
则这个圆锥的体积为.
故答案为：.
立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.
16．
将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，则圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥体积，圆台侧面积为大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积.
【详解】
将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，大小圆锥的顶点为，如图所示，在经过的轴截面上，从点做垂线于，显然且.
∵，
∴，，
又∵
∴为的边的中位线，
∵，得
则，解得
∴
则圆台的体积为圆为底，高为的圆锥体积减去以圆为底，高为的圆锥体积，即
圆台的侧面积.
故答案为：；.
17．
求出鳖臑的外接球的半径，可求出，然后求出正方形的外接圆半径，利用公式可求出阳马的外接球半径，然后利用球体的表面积公式可得出答案.
【详解】
四边形是正方形，，即，且，，
所以，的外接圆半径为，
设鳖臑的外接球的半径，则，解得.
平面，，可得，.
正方形的外接圆直径为，，
平面，所以，阳马的外接球半径，
因此，阳马的外接球的表面积为.
故答案为：.
本题考查球体表面积和体积的计算，同时也涉及了多面体外接球问题，解题时要分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
18．（1）；（2）261个.
（1）利用六棱柱的体积减去圆柱的体积即得解；
（2）计算即得解.
【详解】
（1）由题得
（2）这堆螺帽的个数为：（个）
答：每个螺帽的体积为，共有261个螺帽.
本题主要考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．
根据题意，设三棱锥的底面边长为，则，连接，交与点，则，从而可知，则，根据三角形的面积分别求出三棱锥的底面积和侧面积，从而得出三棱锥的表面积，根据的取值范围，即可求出当的边长变化时，三棱锥的表面积的取值范围.
【详解】
解：由题可知，等边三角形的中心为，圆的半径为6，
设三棱锥的底面边长为，即等边三角形的边长为，
如图，连接，交与点，由题意可知，，
则，，
可知，即，则，
，则，
三棱锥的底面积为：，
由题可知，全等，则面积相等，
三棱锥的侧面积为：
，
所以三棱锥的表面积为：，
，，即，
所以当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围是.
20．（1）侧棱长为，侧面的高为；（2）表面积，体积为.
（1）设为正四棱锥的高，则，作，连结，分别在和，即可求得棱锥的侧棱长和侧面的高；
（2）由（1）利用棱锥的侧面积公式和体积公式，即可求解.
【详解】
（1）如图所示，设为正四棱锥的高，则，
作，则为中点，
连结，则，
因为，可得，
在中，，
在中，，
所以棱锥的侧棱长为，侧面的高为.
（2）棱锥的表面积为=，
几何体的体积为.
21．（1）；（2）证明见解析．
(1)求出圆柱下底面圆周的周长，结合圆柱的侧面积公式即可求解；（2）根据平面ABC，可得,结合可得平面,利用线面垂直的性质定理即可得证.
【详解】
（1）由题意可得，又，所以,
所以圆柱的侧面积为.
(2)由题意可知，平面ABC，又平面ABC，所以,因为，,所以平面,又平面,所以.
本题主要考查圆柱的侧面积公式、线面垂直的判定定理与性质定理，属于基础题.
答案第1页，共2页
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