人B必三8.1.2向量数量积的运算律（含解析）

人教B版（2019）必修三8.1.2向量数量积的运算律
（共20题）
一、选择题（共13题）
已知平面上 ，， 三点不共线， 是不同于 ，， 的任意一点，且 ，则 是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
已知 为单位向量，，当向量 ， 的夹角等于 时，向量 在向量 上的投影向量为
A． B． C． D．
已知点 为三角形 的外心（各边中垂线的交点），，则
A． B． C． D．
设 ， 是平面上的两个单位向量，．若 ，则 的最小值是
A． B． C． D．
如图所示，三个边长为 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 上有 个不同的点 ，，，，记 ，则 的值为
A． B． C． D．
已知平面向量 ，，若 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，则
A． B． C． D．
已知平面向量 ， 满足 ，， 与 的夹角为 ，且 ，则实数 的值为
A． B． C． D．
在如图的平面图形中，已知 ，，，，，则 的值为
A． B． C． D．
已知 ， 是非零向量，且满足 ，，则 的形状为
A．等腰（非等边）三角形 B．直角（非等腰）三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
是边长为 的等边三角形，已知向量 ， 满足 ，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
已知 及其平面内一点 满足 ，，则点 是 的
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
已知不共线的平面向量 ，， 两两的夹角相等，且 ，，，实数 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
已知点 为线段 上一点， 为直线 外一点， 是 的角平分线， 为 上一点，满足 ，，，则 的值为
A． B． C． D．
二、填空题（共4题）
已知 ，，实数 满足 ，则 ．
平行四边形 中，，，， 是 的中点， 是 的中点，则向量 ．
已知 ，，，则 ，若 与 垂直，则 ．
如图，在四边形 中，，，向量 ， 的夹角为 ．若 ， 分别是边 的三等分点和中点，， 分别是边 的三等分点和中点，则 ， ．
三、解答题（共3题）
已知 ，，当 为何值时：
(1) 与 垂直？
(2) 与 平行？平行时它们是同向还是反向？
已知平面向量 ，．
(1) 当 为何值时， 与 垂直；
(2) 若 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
求函数 的最大值．
答案
一、选择题（共13题）
1. 【答案】A
2. 【答案】A
【解析】因为向量 在向量 上的投影数量为 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选：A．
3. 【答案】A
【解析】设 的中点为 ，则 ．
4. 【答案】C
【解析】因为 ，
又因为 ， 是平面上的两个单位向量，，
所以 ．
因为 ，所以当 时， 取得最小值 ．
5. 【答案】A
【解析】根据题意易得 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
所以 ．
6. 【答案】D
【解析】如图所示，作平行四边形 ，
使得 ，，且 ，，
由图可知 ，
在 中，．
7. 【答案】D
【解析】依题意得 ，，
即 ，，．
8. 【答案】C
【解析】解法Ⅰ，由题意，，，
所以 ，
所以 ，且 ，
又 ，
所以 ；
所以 ，
所以 ，
所以 ．
解法Ⅱ：不妨设四边形 是平行四边形，
由 ，，，，，
知 ，
所以
9. 【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
即 .
因为 ，
所以 ，
即 ．
所以 ，
即 ．
所以 ，
所以 ，
所以 为等边三角形．
10. 【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，故A错；
因为 ，
即 ，
所以 ，故B，C都错；
因为 ，
所以 ，故选D．
11. 【答案】C
【解析】由 及其平面内一点 满足 ，可得 ，
所以点 在 的平分线上，
由 ，可得 ，
所以点 在 的平分线上，则点 是 的内心．
12. 【答案】C
【解析】因为平面向量 ，， 两两的夹角相等，
所以它们的夹角是 ；
因为 ，，，
所以 ，，；
，
因为 ，
所以当 取最大值时，即 ， 时，
，
所以 的最大值为 ．
故选：C．
13. 【答案】B
【解析】因为 ，所以 在 的角平分线上，又 在 的角平分线上，所以 为 的内心．因为 ，所以 ． 表示 在 方向上的投影，过 作 垂直 于 ，则由圆的切线性质和已知可得 ，，所以 ，故 的值为 .
二、填空题（共4题）
14. 【答案】 或
【解析】由题意可得 ，
所以 ，
解得 或 ．
15. 【答案】
【解析】如图，因为 是平行四边形， 是 的中点， 是 的中点，
所以 ，，且 ，，，
所以向量
16. 【答案】 ；
【解析】因为 ，，，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
因为 与 垂直，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ．
17. 【答案】 ；
三、解答题（共3题）
18. 【答案】
(1) ．
(2) ，反向．
【解析】
(1) 提示：，．由 与 垂直得到 ．
(2) 提示：若 与 平行，则 得 ，此时， 与 反向．
19. 【答案】
(1)
(2)
20. 【答案】设 ，，则 ，，
由 得：，
当且仅当 且方向相同时，不等式取“”号，即：，
解之得：．
所以当 时，．

人B必三8.1.2向量数量积的运算律（含解析）