15.2.2 分式的加减同步练习（含答案）

15.2.2 分式的加减（练习）
一、单选题
1．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
2．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．化简得（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．下列分式运算或化简错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．计算结果为（　　）
A．0 B． C． D．
8．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．设a，b，c，d都是正数，且S＝，那么S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．对分式（）进行如下操作：将与1相加，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与相加，结果记为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与2相加，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与相加，结果记为，称为第四次操作；将第四次操作的结果与3相加，结果记为，称为第五次操作；将第五次操作的结果与相加，结果记为，称为第六次操作，…，以此类推，下列三个说法：①第七次操作的结果；②；③第二十次操作的结果．其中正确的说法有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．计算： ．
12．化简： .
13．化简： ．
14．计算的结果是 ．
15．计算： ；
16． ； ； ．
17．化简分式： ．
18．有一组数据：，，，，．记，则 ．
三、解答题
19．计算 ：
(1)
(2)
(3)
20．求代数式的值，其中x=1．
21．先化简，再求值
(1)，其中；
(2)，其中a满足．
22．某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：
先化简（1），再将x＝5代入求值．
解：原式1……第1步
第2步
第3步
第4步
第5步
第6步
当x＝5时，原式第7步
(1)以上步骤中，第 　 　步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 　 　；
(2)请你把正确的解答过程写出来；
(3)请你提出一条解答这类题目的建议．
23．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．
(1)猜想并写出：＝　 　．
(2)直接写出下列各式的计算结果：＝　 　；
(3)探究并计算：．
24．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①　　　　②　　　　③　　　　　④
(2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
25．先阅读下列解法，再解答后面的问题．
已知，求常数A、B的值．
解法一：将等号右边通分，再去分母， 得：， 即：， 由多项式相等的意义可知， ∴，解得 解法二：在已知等式中取，有 ，整理得； 取，有，整理得． 解，得：．
(1)已知，用上面的解法一或解法二求常数A、B的值；
(2)①计算：；
②直接写出使①中式子的值为正整数的所有整数x的值之和．
26．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式
解：将“”看成一个整体，令
原式
例2：已知，求的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解；
(2)计算：______
(3)①已知，求的值；
②若，直接写出的值．
参考答案：
1．D
【详解】
．
故选：．
2．A
【分析】利用分式的加减法的运算法则进行运算，分母相同，分子相加减，最后化简即可．
【详解】解：原式
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的同分母加减运算，掌握运算法则并会因式分解进行约分是解题关键．
3．A
【分析】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
【详解】解：-x+1
=-（x-1）
=-
=
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练通分是解题的关键．
4．C
【分析】括号内先通分，化为同分母分式后，根据分式的运算法则计算可得．
【详解】原式
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则．
5．C
【分析】根据分式的性质，分式的约分，分式的加减以及除法运算进行化简，逐项分析即可
【详解】A．原式，正确，不符合题意；
B．原式，正确，不符合题意；
C．原式，错误，符合题意；
D．原式，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的计算，掌握分式的性质以及分式的约分，分式的加减是解题的关键．
6．C
【分析】根据异分母分式加减，分别计算出M、N的值，就不难判断它们的大小．
【详解】解：，，
；
同理，，
．
故选：C．
【点睛】此题的实质还是化简分式，题目灵活了很多，也用到了整体代入的思想．
7．C
【分析】根据分式的混合运算法则计算．
【详解】解：原式=
=
=，
故选C ．
【点睛】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的除法法则是解题关键．
8．C
【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键．
9．A
【分析】根据，进而对原式变形可以证明，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵a，b，c，d都是正数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了同分母分式的加法，不等式的性质，正确得到，是解题的关键．
10．D
【分析】根据题意找规律，再进行分式的运算求解．
【详解】解：①根据题意得：第七次操作的结果为，故①正确；
②根据题意得：，
∴，故②正确；
根据题意得：，
，
，
，
……
由此发现，，故③正确，
∴正确的说法有3个．
故选：D
【点睛】本题考查了分式的加减法运算，根据题意找出数字的变化规律式解题的关键．
11．
【分析】根据同分母分式相减，分母不变，分子相加可直接得出答案．
【详解】解：原式=.
故答案为：.
【点睛】本题考查同分母分式相加减，掌握同分母分式的减法法则是解题的关键．
12．
【分析】题干要求化简，对式子运用分式通分约分的技巧进行化简，从而求出答案.
【详解】解：
.
【点睛】本题考查分式的混合计算，结合分式通分约分的方法对各选项进行运算即可，难度较小.
13．
【分析】把异分母化成同分母，根据同分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法运算，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题的关键．
14．
【分析】根据分式混合运算法则计算即可；
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
15．．
【分析】先根据分式的除法，乘方，乘法法则计算，再根据分式的减法法则进行计算.
【详解】，
解：原式=，
=，
=，
=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的乘方，乘法，除法、减法运算法则，解决本题的关键是要熟练掌握分式的运算法则.
16． 1 1
【分析】根据分式的加减乘除运算法则计算即可．
【详解】解：，
；
；
故答案为：；1；1．
【点睛】本题考查了分式的加法，分式的除法，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键．
17．
【分析】先计算括号内的加法，再将除法化为乘法，再计算乘法即可．
【详解】解：
=
=
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的混合运算．掌握运算顺序和每一步的运算法则是解题关键．
18．
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据分式的减法运算进行计算即可求解；
（2）根据分式的乘除法进行计算即可求解；
（3）根据分式的加减乘除法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的性质是解题的关键．
20．，0
【分析】运用分式的混合运算法则先行化简，再代入求解即可．
【详解】解：原式=
=
=
=
=，
当时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．(1)，
(2)，
【分析】（1）先算括号，再算除法，能因式分解的先进行因式分解，进行化简计算，再代值求解即可；
（2）利用整体通分法，先算括号，再算除法进行化简，利用整体思想求值．
【详解】（1）解：原式
；
当时，
原式；
（2）解：原式
，
∵，
∴，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值．根据分式的运算法则正确的进行化简，是解题的关键．
22．(1)一、没按照正确的运算顺序计算
(2) ，当x＝5时，原式
(3)要正确应用运算律
【分析】（1）根据分式混合运算法则分析解答；
（2）根据分式混合运算法则计算即可；
（3）根据错误的原因提出建议即可．
【详解】（1）解：第一步出现了错误，没按照正确的运算顺序计算，
故答案为：一、没按照正确的运算顺序计算；
（2）原式[1]
（）

，
当x＝5时，原式；
（3）解题反思（不唯一）：要正确应用运算律．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，正确掌握分式混合运算法则及运算顺序是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知的等式，从数字找规律，即可解答；
（2）利用得出的规律变形，进行计算即可解答；
（3）按照（2）的思路，将原式转化成，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
，
故答案为：；
（2）由题意得：
，
故答案为：；
（3）由题意得：
＝．
【点睛】本题主要考查的是探索数与式的规律，还考查了有理数的运算能力和学生的归纳总结能力，解题关键是会从材料中找到数据之间的关系，并利用数据之间的规律总结出一般结论，然后利用结论直接解题．
24．(1)②③
(2)，过程见解析
(3)，当，该式的值是整数，
【分析】（1）由“和谐分式”的定义对①②③④变形即可得；
（2）根据“和谐分式”的定义进行变形即可求解；
（3）将原式变形为，根据题意求得的值，根据分式有意义的条件取舍即可求解．
【详解】（1）解：①，不是“和谐分式”，　　　　
②，是“和谐分式”，　　　
③，是“和谐分式”，
④，不是“和谐分式”，
故答案为：②③；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵为整数，
∴，
∴当时，是整数，
又∵．
∴时，原式的值是整数．
【点睛】本题主要考查分式的化简及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及对和谐分式的定义的理解．
25．(1)
(2)①；②34
【分析】（1）解法一：先等式两边同乘以去分母，去括号化简可得一个关于A、B的二元一次方程组，解方程组即可得；解法二：分别取和可得一个关于A、B的二元一次方程组，解方程组即可得；
（2）①先将括号内的每一项拆分成两项的差的形式，再计算分式的加减法与乘法运算即可得出结果；
②根据整数性质求出符合条件的整数的值即可．
【详解】（1）解法一：，
等式两边同乘以去分母，得，
即，
则，
解得；
解法二：，
取，得，即，
取，得，即，
联立，解得；
（2）解：①
②要使为正整数，则整数的所有可能取值为：1，2，3，4，6，12，
即整数的所有可能取值为：2，3，4，5，7，13，
经检验，当取2，3，4，5，7，13时，分式的分母均不为零，
故当取2，3，4，5，7，13，时，这个式子的值为正整数，
则．
【点睛】本题考查了分式的加减法与乘法运算、二元一次方程组的应用，读懂阅读材料中的两种解法是解题关键．
26．(1)；
(2)；
(3)①1，②5．
【分析】（1）将看成一个整体，令，代入计算即可；
（2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可；
（3）①将代入求解即可；②将，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，计算即可．
【详解】（1）解：将看成一个整体，令，
则原式．
（2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，
则原式
．
（3）解：①∵，
∴
．
②∵，
∴
．
【点睛】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题．

15.2.2 分式的加减同步练习（含答案）