福建省三明市名校2022-2023高二下学期第一次月考数学试题（含答案）

三明名校 2022-2023 学年下学期高二第 1 次月考
数学学科试卷
（总分 150 分，时间：120 分钟）
一 单选题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 曲线 f (x) x ln x在 x 1处的切线的方程为
A. 2x y 2 0 B. x y 1 0
C. x y 1 0 D.3x y 1 0
2. 有3名新冠肺炎疫情防控的志愿者，每人从 2个不同的社区中选择1个进行服务，则不同
的选择方法共有
A.12种 B.9种 C. 8种 D.6种
3.函数 f x x ln 2x 1 的单调递增区间是
1 1 1
A. ,0 B. ,
2 2 2
C
1 1
. ,

D. , 2 2
4．函数 f (x) e|x| 2 x2 的大致图像为
A． B．
D．
C.
5.把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的高为
1
A.1 B. C. 2 D.
2
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6.《长津湖》和《我和我的父辈》都是 2021 年国庆档的热门电影．某放映厅在国庆节的白
天可以放映6场，晚上可以放映 4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连
续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部
电影不同的安排方式共有
A.30种 B. 54种 C. 60种 D.64种
1
7 2. 若函数 f x x x alnx有两个不同的极值点，则实数 a的取值范围为
2
0, 1 0, 1 1 1A. B. C. ,

D. ,

4 2 4 4
8. 对任意 x 0, x，不等式 a 1 x ln ax e 恒成立，则实数 a的取值范围为
A. 0,1 B. 0,e C 2. 0,2e D. 0,e
二 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.如图是函数 y f (x)的导函数 f (x)的图象，则下面判断正确的是
A. f (x)在 ( 3,1)上是增函数 B. f (x)在 (1,3)上是减函数
C. f (x)在 (1, 2)上是增函数 D.当 x 4时， f (x)取得极小值 （第 9题图）
10.在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的 2000 多名女孩
圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人.受她的影响，有甲，乙，丙，
丁四名志愿者主动到 A,B,C 三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿
者，下列结论正确的是
A. 共有18种安排方法
B. 若甲、乙被安排在同一所学校，则有6种安排方法
C. 若 A 学校需要两名志愿者，则有 24种安排方法
D. 若甲被安排在 A 学校，则有12安排方法
11.已知函数 f x ln x x 2，则下列说法正确的是

A. f x 2在 x 处取得最大值 B. f x 1 2在 , 上单调递增2 2 2

C. f x D f x ex x 2有两个不同的零点 . 2 恒成立
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12. 已知1 a b e（e为自然对数的底数），则
b a ab ab abA. a b B. ba e e C. aa e e D. ab e e
三 填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.
13. 小明跟父母 爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5 人坐一排．则小明
的父母都与他相邻的排法总数为 **** ．
14. 由数字 1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字且比 1300大的正整数 **** ．
15. 设函数 f (x) ln x 2mx（m为实数），若 f (x)在[1, )上单调递减，则实数m的取值
范围 **** ．
16.已知奇函数 f x 的定义域为R ，导函数为 f x ，若对任意 x 0, ，都有
3 f x xf x 0 3恒成立， f 2 2，则不等式 x 1 f x 1 16 的解集是 **** ．
四 解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（10分）
求值：（要有详细的运算过程）
A2 1
（1）计算： 5
A10
3 ;A3 A
1
4
2x x 2 *
（2）已知C17 C17 x N ，求 x .
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18.（12分）
已知函数 f x x3 ax2 bx 2a在 x 1处取得极小值1.
（1） 求实数 a,b的值；
（2） 求函数 y f x 在区间 2,2 上的值域.
19.（12分）
（1）某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个
进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在
后．那么不同的演出顺序共有多少种；
（2）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配
到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有多少种不同的分
配方法．
.
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20.（12分）
已知函数 f x (x 1)e x ax 2．
（1）讨论 f x 单调性；
x
（2）若函数 g x f x xe x在 1,2 上不单调，求 a的取值范围．
21.（12分）
2022 年 2 月 4 日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了
冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩
难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的
成本为 5 元，并且每件纪念品需向税务部门上交 a 5元 (5 a 8)的税收，预计当每件产品
的售价定为 x元 (13 x 17)时，一年的销售量为 (18 x)2万件.
(1)求该商店一年的利润 L (万元)与每件纪念品的售价 x的函数关系式；
(2)求出 L的最大值Q(a) .
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22.（12分）
x
已知函数 f x x 1 e 1.
f x 1 x2（1）证明： 0；
2
（2）若 x 0时， f x mx ln x 1 恒成立，求实数m的取值范围.
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数学学科参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C D A C B A B CD BD ABD AD
二、填空题
1
13. 12 种 14. 22 个 15. , 16. 1,3 2
三 解答题
2
17. 解：（1） A5 A
1
10 5 4 10 10
3 1 1 ………………5 分A3 A4 3 2 1 4 10
（2）已知C2x Cx 2 ，则 2x x 2或 2x (x 2) 1717 17 ………………7分
解得： x 2或 x 5，经检验均符合.………………9分
故 x 2或 x 5 .…………………10 分
18.解：（1）因为 f x x3 ax2 bx 2a，所以 f x 3x2 2ax b， ………………1 分
f (1) 1,根据题意， ………………3 分
f (1) 0,
1 a b 2a 1,即 ………………5分
3 2a b 0,
解得 a＝3，b＝－9，经检验满足题意.………………6 分
（2）由（1）知， f x x3 3x2 9x 6, f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 ，
令 f x 0，解得 x 3或 x 1， ………………7 分
当 x 2, 2 时， f x 及 f x 的变化情况如下表：
x 2 2,1 1 1,2 2
f x 0
f x 28 单调递减 1 单调递增 8
………………9 分
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因此当 x 1时， f x 取得最小值 f 1 1，
当 x 2时， f x 取得最大值 f 2 28，………………11 分
故 f x 的值域为 1,28 .………………12 分
19. 解：（1）先从相声、音乐、魔术、朗诵 4 个节目中选 3 个，有C 3 4种，………2 分
4
再把 5 个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，
5
有 A5 60，总共有 4 60 240种. ………………5 分
A22
（2）根据题意，先把 5 名医生分成 3 组再分配，
一是分成 3,1,1 然后分配，共有C35 A
3
3 10 6 60 种分配方法，………………8 分
C2C2二是分成 2,2,1 然后分配，共有 5 3
2 A
3 30
3 6 90种分配方法，………………11 分A2 2
所以共有60 90 150种分配方法. ………………12 分
20.解：（1）函数 f (x)的定义域为 R ,
f ' x ex (x 1)ex 2ax x ex 2a ，……………1 分
x
（i）当 a 0时， e 2a 0，所以 x 0时， f ' x 0，此时 f x 单调递减；
x 0时， f ' x 0，此时 f x 单调递增；……………2 分
1
（ii）当 0 a 时， ln 2a 0时，
2
令 f ' x 0，得 x ln 2a或 x 0，令 f ' x 0，得 ln 2a x 0，
所以 f x 的单调递增区间为 ( , ln 2a), (0, )，
f x 的单调递减区间为 (ln 2a,0)……………3 分
1
（iii）当 a 时， f ' x 0恒成立， f x 在 R上单调递增.……………4 分
2
1
（iv）当 a 时， ln 2a 0，令 f ' x 0，得 x ln 2a 或 x 0 ，令 f ' x 0 ，得
2
0 x ln 2a，
所以 f x 的单调递增区间为 ( ,0), (ln 2a, )， f x 的单调递减区间为 (0, ln 2a) 5 分
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综上所述：当 a 0时， f x 在 ( ,0)上单调递减，在 (0, )上单调递增；
0 1当 a 时， f x 在 ln 2a,0 上单调递减，在 , ln 2a 和（0，+∞）上单调递增；
2
a 1 1当 时， f x 在 R 上单调递增；当 a 时， f x 在 0, ln 2a 上单调递减，在
2 2
,0 和 (ln 2a, )上单调递增. ……………6分
（2）函数 g x f x xex x x ex ax2 ，若函数 g x 在 1,2 上不单调，则
g ' x 0在 1,2 上有解.……………7 分
x
又 g ' x 1 ex 2ax 0 1 e，可得： 2a ……………8 分
x
x x
h x 1 e
x e x 1 e
h ' x 1 x e
x 1
令 ，则有 2 2 ，……………9 分x x x
因为 x 1,2 ，则有 h ' x 0恒成立，所以 h x 在 1,2 上单调递减，……………10 分
1 e2 1 e2
所以 h x ,1 e ，即 2a 1 e，……………11 分
2 2
1 e2 2a 1 e 1 e 1 e解得： ，则 a的取值范围为 ( , ) .……………12 分
4 2 4 2
21.解：（1）由题意，预计当每件产品的售价为 x元 (13 x 17)，而每件产品的成本为 5 元，
且每件产品需向税务部门上交 (a 5)元 (5 a 8)，
所以商店一年的利润 L (万元)与售价 x的函数关系式为： L (x 10 a)(18 x)2 , x [13,17]．
……………3 分
（2）∵ L (x 10 a)(18 x)2 , x [13,17]，
∴ L (38 2a 3x)(18 x)， ……………4 分
令 L 0，解得： x 38 2a 或 x 18，而5 a 8，则16 38 2a 18，……………5 分
3 3
①当16 38 2a 17，即5 a 6.5时，……………6 分
3
当 x 13, 38 2a 时，
L 0， L单调递增，
3
当 x 38 2a ,17

时，
L 0， L单调递减，……………7 分
3
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∴当 x 38 2a L
4
时， 取最大值 (8 a)3；……………8分
3 27
②当17 38 2a 18，即6.5 a 8时，……………9分
3
当 x 13,17 时， L 0， L单调递增，……………10 分
∴当 x 17时， L取最大值7 a，……………11 分
4
综上，Q a 8 a
3
,5 a 6.5
27 ……………12 分
7 a, 6.5 a 8
22.解：（1）证明：令 g x 1 1 f x x2 x 1 ex x2 1， x R ， g 0 0，………1 分
2 2
g x x ex 1 ，由 g x 0可得 x 0，由 g x 0可得 x 0 .……………2 分
所以，函数 g x 的减区间为 ,0 ，增区间为 0, ，……………3 分
所以， g x g 0 0，故原不等式得证.……………4 分
（2）解：当 x 0时，由 f x mx ln x 1 可得 x 1 ex mx ln x 1 1 0，…………5 分
令 h x x 1 ex mx ln x 1 1，其中 x 0，
h x xex x m ln x 1
，且 h 0 0，……………6 分
x 1
m x 2 x 2 x 1 3e x 令 p x h x ，其中 x 0，则 p x x 1 e x 2 2 m ， x 1 x 1 x 2
x 1 3 ex x 1 2 x2 5x 7 ex
令 t x m ，其中 x 0，则 t x 0，
x 2 x 2 2
所以，函数 t x 在 0, 上为增函数，则 t x tmin 0
1
m .……………7 分
2
①当 1 m 0时，即当m 1 时，对任意的 x 0， p x 0且 p x 不恒为零，
2 2
故函数 p x 在 0, 上为增函数，则 h x h 0 0且 h x 不恒为零，
故函数 h x 在 0, 上为增函数，则 h x h 0 0，合乎题意；……………8 分
②当 1 m 0时，即当m 1时，2 t 0
1
m 0，
2 2
m 1
3 em m 1 3 3
t m m m m 2m
2 m 1
0，
m 2 m 2 m 2
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所以，存在 x0 0,m ，使得 t x0 0，
当0 x x0时， t x 0，则 p x 0，此时函数 p x 单调递减，
则当0 x x0时， p x p 0 0，即 h x 0，故函数 h x 在 0, x0 上单调递减，
所以， h x0 h 0 0，不合乎题意.……………11 分
综上所述，m 1 . ……………12 分
2
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