福建省三明市名校2022-2023高一下学期第一次月考数学试题（含答案）

三明名校 2022-2023学年下学期第一次月考
高一数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共 60分）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项符合题目要求。
1．如图所示，在三棱台 A B C ABC中，沿平面
A BC截去三棱锥 A ABC，则剩余的部分是
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．组合体
2．已知复数 z 1 i 1 i 是纯虚数，则实数 =
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．已知向量 a ， b满足 |a + b|=|a b |，则 a b在a 方向上的投影向量为
A． a B． b
C． 2a D． 2b
4．用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的
△A B C ，其中O B B C 2 A B A C 2，
则△ABC的面积为
A．1 B．2
C．2 2 D． 4 2
uur
5．在平行四边形 ABCD中，点 E，F分别在边 CD，BC上，DE=EC，CF=2BF，设 AE a ，
uur
AF b，则 AC =
3 1 1 3
A． a＋ b B． a＋ b
4 2 2 4
3 4 4 3
C． a＋ b D． a＋ b
5 5 5 5
6．已知a ， b为单位向量，且 | 3a 5b | 7，则 a 与 a b 的夹角为
π 2π
A． B．
3 3
π 5π
C． D．
6 6
试卷第 1页，共 5页
π
7．在△ABC中 ，角 A， B，C 所对的边分别是 a，b， c， A ，
3
3
b c a，则△ABC是
3
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．如下图 1是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥．图 2是根据图 1作的简易侧视图（为
便于计算，侧视图与实物有区别）．在侧视图中，斜拉杆 PA，PB，PC，PD的一端 P
在垂直于水平面的塔柱上，另一端 A，B，C，D与塔柱上的点 O都在桥面同一侧的

水平直线上．已知 AB 8m， BO 16m，PO 12m，PB PC 0．根据物理学知
1
识得 PA PB 1 PC PD 2PO，则CD 2 2
图 1 图 2
A．20m B．22m
C．28m D．31m
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有
多个选项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。
9．下列命题中，正确的是
A．若 a b 0，则 a 0 或 b 0
B．若 a ，b共线，则 a b |a ||b |
C．若 a b a c 且 a 0 ，则 b c
D．对于任意向量 a ，b，有 | a b | | a || b |
10．如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体
后，互相重合的点是
A．A与 B B．D与 E
C．B与 D D．C与 F
11．设 z1， z2 ， z3为复数，且 z1 0．下列命题中正确的是
A | z | | z | z 2 z 2．若 1 2 ，则 1 2 B．若 z1z2 0，则 z1 0或 z2 0
C．若 z1z2 z1z3，则 z2 z3 D．若 z2 z3 ，则 | z1z2 | | z1z3 |
试卷第 2页，共 5页
12．在△ABC中 ，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且3bcosC 3ccosB a2，
则下列说法正确的是
A． a 3
π
B．若 A ，且△ABC有两解，则 b的取值范围为 3,3 2 4
C．若C 2A，且△ABC为锐角三角形，则 c的取值范围为 3 2,3 3
D．若 A 2C，且 sin B 2sinC，O为△ABC 3 3 3的内心，则 S△AOB = 4
第Ⅱ卷（非选择题 共 90分）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．已知向量a (2,3)，b (t, 1)，若 a∥b ，则 t ．
14．设 2 z z 3 z z 4 6i ，则 z ．
15．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若
两个圆弧D E、 AC所在圆的半径分别是3和9，且
ABC 120 ，则该圆台的高为______；
侧面积为______．
16．我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，
需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射
入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图， AB是窗户的高度，BC是遮阳篷
的安装高度，CD是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为 ，
夏至正午时太阳光线与地面的夹角为 ，窗户高度 AB h．为保证冬至正午太阳
光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装长度
CD _______．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。
17．（10分）
π
在① B ，②b 2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
4
试卷第 3页，共 5页
π
在△ABC中，已知 A ， a 6 ， ，解这个三角形．
3
18．（12分）
已知向量 a 3，1 ， a b 4．
（1）求 | b |的最小值；
（2）若 (4a b) b，求向量 b的坐标．
19．（12分）
在△ABC中 ，角 A， B，C 所对的边分别是 a，b， c，且
(b c)(sin B sinC) (b a) sin A．
（1）求 C；
2
（2）若 a＝1，b＝2，D在线段 AB上，且满足 AD AB，求线段 CD的长．
5
20．（12分）
在复平面内，O为坐标原点，复数 z 21 m i是关于 x的方程 x 2 3x n 0的一
个根．
（1）求实数m， n的值；
z
2 z 1 3i z z 2（ ）若复数 2 ， 1， 2 ， z 所对应的点分别为 A，B，C ，记△AOB1
S1
的面积为 S1，△BOC的面积为 S2，求 S ．2
试卷第 4页，共 5页
21．（12分）
如图，四边形 ABCD是圆柱底面的内接四边形， PA是圆柱的母线， PA 3，
AD 2AB 2，∠BAD 120 ，C 是 B D上的一个动点．
（1）求圆柱的表面积 S圆柱 ；
（2）求四棱锥 P ABCD的体积VP ABCD 的最大值．
22．（12分）
3(sin A sin B) 3c 2b
已知△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ．
sinC a b
（1）求 sin A；
4
（2）若△ABC的面积为 2，求内角 A的角平分线 AD长的最大值．
3
试卷第 5页，共 5页三明名校2022-2023 学年下学期第一次月考
高一数学参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A C D C B B
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 BD ABD BCD ACD
三、填空题
2 h
13． 14．1 i 15． 4 2； 24π 16．
3 tan tan
四、解答题
17．解：方案一：选条件①.
π
a sin B 6 sin
由正弦定理，得b 4 2π ，................................................................... 3分sin A sin
3
π π 5π
由三角形内角和定理，得C π A B π ，...........................................5分
3 4 12
7π π π
a sinC 6 sin 6 sin( )
由正弦定理，得得 c 12 4 3
sin A πsin 3
3 2
π π π π
2 2(sin cos cos sin )
4 3 4 3
2 1 2 3
2 2( ) 3 1 ............................................ 10分
2 2 2 2
方案二：选条件②.
高一数学答案 第 1 页 共 8 页
π
b sin A 2sin 2
解法一：由正弦定理，得 sin B 3 ，
a 6 2
因为b a，所以 0 B A，
π
所以 B ，.......................................................................................................................... 4分
4
π π 5π
由三角形内角和定理，得C π A B π ，...........................................6分
3 4 12
7π π π
a sinC 6 sin 6 sin( )
c 12 4 3由正弦定理，得
sin A πsin 3
3 2
π π π π
2 2(sin cos cos sin )
4 3 4 3
2 1 2 3
2 2( ) 3 1 .................................... 10分
2 2 2 2
2 π
解法二：由余弦定理，得 a2 b2 c2 2bc cos A，即 6 4 c 2 2cos c，
3
整理得 c2 2c 2 0，解得 c 1 3 （舍），或 c 1 3，..................................... 4分
π
b sin A 2sin 2
由正弦定理，得 sin B 3 ，
a 6 2
因为 b a，所以 0 B A，
π
所以 B ，.......................................................................................................................... 8分
4
π π 5π
由三角形内角和定理，得C π A B π .............................................10分
3 4 12
18．解法一：（1）设 a,b ，
因为 a b 4 0，
高一数学答案 第 2 页 共 8 页
π
0 所以 ， ，从而 0<cos 1，................................................................................... 2分 2
由a 3，1 ，得 | a | 2，.................................................................................................. 3分
a b 4 2
由a b a b cos ，得 b = 2 ........................................... 5分
a cos a cos cos
当且仅当 cos 1，即 0时等号成立 ;
所以 | b |的最小值为 2．........................................................................................................6分
（2）设 b x，y ，
由a b 4，得 3x y 4，①..........................................................................................7分
由 (4a b) b，得 4a b b2 0，故 b2 4a b 16，
即 x2 y2 16，② ..............................................................................................................9分
x 0, x 2 3,
联立①②，解得 或y 4, y 2,
所以 b 0，4 或 b 2 3， 2 ......................................................................................... 12分
解法二：设b x，y ，
由a b 4，得 3x y 4，①..........................................................................................1分
（1）所以 b x2 y2 x2 (4 3x)2
;
2 .................................................... 4分 4x 8 3x 16 4(x 3)2 4
故当 x 3， y 1时 b 有最小值 2；................................................................................ 6分
（2）由 (4a b) b，得 4a b b2 0，故 b2 4a b 16，
即 x2 y2 16，②................................................................................................................9分
x 0, x 2 3,
联立①②，解得 或
y 4, y 2,
高一数学答案 第 3 页 共 8 页
所以 b 0，4 或 b 2 3， 2 ......................................................................................... 12分
19．解法一：（1） (b c)(sin B sinC) (b a) sin A，
由正弦定理，得 (b c)(b+c) (b a)a，即 a2 b2 c2 ab，.........................................2分
a2 b2 c2 1
又由余弦定理得cosC ，.......................................................................... 4分
2ab 2
C 0, π C π且 ，得 ．...................................................................................................... 6分
3
（2）结合（1）由余弦定理得 AB2 c2 a2 b2 2ab cosC 3，即 AB 3，..........8分
则b2 2 2 ABC
π
a c ，所以 ，.......................................................................................9分
2
2
又 AD AB，即 AD 2 AB 2 3 3 3 ，则 BD ，...................................................11分
5 5 5 5
2

Rt CBD 3 3
52 2 13
则在 △ 中，CD2 BC 2 BD2 12 5
，得CD ．..............12分
25 5
解法二：（1）同解法一..................................................................................................................6分
2 3 2
（2）因为 AD AB，所以CD CA CB，.............................................................. 8分
5 5 5
2 22 3 2 9 2 12 4 2
所以 CD CD CA CB CA CA CB CB
5 5

25 25 25
9 12 π 4 36 12 4 52
4 2 1 cos 1 ，....................11分
25 25 3 25 25 25
2 13
所以 CD ..................................................................................................................12分
5
20．解法一：（1）依题意， (m i)2 2 3(m i) n 0，.....................................................1分
整理得m2 1 2 3m n (2m 2 3)i 0，................................................................... 3分
m2 1 2 3m n=0,
于是，有 .......................................................................................... 4分
2m 2 3=0.
解得m 3,n 4. ................................................................................................................. 6分
（2）由（1）知 z1 3 i，因为 z2 1 3i，
高一数学答案 第 4 页 共 8 页
z2 1 3i = (1 3i)( 3 i) 3 1所以 i ，...............................................................8分
z1 3 i ( 3 i)( 3 i) 2 2
所以 A( 3,1)， B(1, 3)，C ( 3 , 1)．............................................................................ 9分
2 2

从而OA ( 3,1)，OB (1, 3) 3 1，OC ( , )，
2 2
1
可知OC OA，................................................................................................................11分
2

S1 | O A |所以 2．......................................................................................................... 12分
S2 |OC |
解法二：（1）依题意，m i是方程 x2 2 3x n 0的另一个根，.....................................1分
m i m i=2 3,
于是，有 ............................................................................................... 4分
m i m i =n.
解得m 3,n 4. ................................................................................................................. 6分
z 3 i=2(cos π π π π（2）由（1）知 1 +isin )，因为 z2 1 3i=2(cos isin )，6 6 3 3
z 2(cos
π π
isin )
2 3 3 =cos π所以 π π +isin
π
，...................................................................... 9分
z1 2(cos +isin ) 6 6
6 6
1
可知OC OA，................................................................................................................11分
2

S
所以 1
| O A | 2．......................................................................................................... 12分
S2 |OC |
21．解：△ABD中， AB 1， AD 2，∠BAD 120 ，
由余弦定理，得 BD2 AB2 AD2 2AB AD cos∠BAD
1 4 2 1 2cos120
7，
所以 BD 7 ，.....................................................................................................................2分
高一数学答案 第 5 页 共 8 页
设圆柱底面半径为 r，
BD 7 2 21
由正弦定理，得 2r ，
sin∠BAD sin120 3
21
所以 r ，...................................................................................................................... 4分
3
2 21π 21 14 6 21
故圆柱的表面积 S 2πr (r PA) ( 3) π ......................6分
圆柱 3 3 3
（2）由（1）知，△BCD中， BD 7 ，∠BCD 180 ∠BAD 60 ，
由余弦定理，得 BD2 BC 2 CD2 2BC CD cos∠BCD
BC 2 CD2 BC CD 2BC CD BC CD BC CD，
即 BC CD 7，当且仅当 BC CD 7 时，等号成立，............................................9分
1 1 7 3
所以 S BCD BC CD sin∠BCD 7sin 60 ，△ 2 2 4
1 1 3
因为 S BD AB AD sin∠BAD 1 2sin120 ， PA 3，△A 2 2 2
所以四棱锥 P ABCD的体积
1 1 1 3 7 3 9 3
VP ABCD SABCD PA (S ABD S BCD ) PA ( ) 3 ，3 3 △ △ 3 2 4 4
故四棱锥 P ABCD的体积V 9 3P ABCD的最大值为 ......................................................12分
4
3(a b) 3c 2b 2
22 2 2 2．解法一：（1）由正弦定理，得 ，即 c b a bc，.....................2分
c a b 3
2
2 2 2 bc
由余弦定理，得cos A
c b a 1
3 ，.............................................................. 4分
2bc 2bc 3
π
因为 cos A 0 ，所以 A 0, 2
，

1 2 2
所以 sin A 1 cos2 A 1 ；............................................................................6分
9 3
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（2）由（1 sin A 2 2）知 ，
3
4 1
因为△ABC 的面积为 2，所以 bc sin A
4
2，解得bc 4，..............................7分
3 2 3
设 BC边上的高为 h，因为 AD是角 A的角平分线，所以∠BAD ∠CAD，
1 1
S c AD sin∠BAD BD h△ABD c BD
所以，由 2 21 1 ，可得 ，............................8分S△ACD b AD sin∠CAD CD h b DC
2 2
c BD
不妨设 （ 0），则
b DC

c b 2 1

，bc b 4， AD AB AC，.........................................................9分
1 1
2 2 1 2 2 2 2
所以 AD AD AB AB AC AC
( 1)2 ( 1)2 ( 1)2
1 2 2
c2 bc cosA b2
( 1)2 ( 1)2 ( 1)2
1 2
2b2 2 4 1 b2
( 1)2 ( 1)2 3 ( 1)2
4 8 4

( 1)2 3( 1)2 ( 1)2
32

2 .............................................................................................................10分3( 1)
32 32 8

1
3( 2) 33 2 1 2 ，............................................................ 11分

1
当且仅当 ，即 1时，等号成立，

2 6
所以 AD长的最大值为 .............................................................................................. 12分
3
解法二：（1）同解法一..................................................................................................................6分
2 1 2 2（ ）由（ ）知 sin A ，
3
因为△ABC 4 1 4的面积为 2，所以 bc sin A 2，解得bc 4，.....................................7分
3 2 3
高一数学答案 第 7 页 共 8 页
AB BD
在△ABD中，由正弦定理，得 ，
sin ADB sin BAD
AC CD
在△ACD中，由正弦定理，得 ，
sin ADC sin CAD
因为 AD为角 A的角平分线，所以 sin BAD sin CAD，
AB BD
又 ADB ADC π，所以 sin ADB sin ADC，所以 ，.............................. 8分
AC DC
AB BD
不妨设 k， AC m，则 AB km，故 km2 4，
AC DC
AD
延长 AD至点 E，使得 k，连接CE，
DE
AD BD
则 k，又 ADB EDC，
DE CD
AB
所以△ABD∽△ECD，故 BAD E， k，
CE
则 AB / /CE，CE m，................................................................................................................
则 ACE BAC π， cos ACE cos BAC
1
，
3
2
2m2 1 22 2 2 1 AD
在△ACE AC CE AE k 1中，由余弦定理，得 cos ACE ，
2AC CE 2m2 3
AD2 8m
2
即 1 2 ，...................................................................................................................10分3 1

k
2 8m
2 8
因为 km 4 2，所以 AD 2 2 ，...................................................11分2 1 m 1
3 1

m 3 2
4 m 16 2

1 m2 2 1 m
2 1 1 m2
其中 ，当且仅当 2 ，即m 2时，等号成立，m2 16 m2 16 2 m 16
AD2 8 8 AD 2 6故 2 ，故 . 1 m 1 33 3 m2 16 2
所以 AD
2 6
长的最大值为 3 ....................................................................................................... 12分
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