第四单元《一次函数》单元测试卷（困难）（含解析）

湘教版初中数学八年级下册第四单元《一次函数》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第四单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是( )
A. B.
C. D.
2. 如图，四边形是菱形，，已知直线，直线与或的交点为点，与或的交点为点直线从点出发，以每秒个单位长度的速度向右平移，直至直线与点相交结束．若直线的运动时间为秒，的面积为，则随变化的函数图象大致为 ( )
A. B.
C. D.
3. 下列说法正确的是( )
A. 一次函数是正比例函数 B. 正比例函数是一次函数
C. 正比例函数不是一次函数 D. 不是正比例函数就是一次函数
4. 下列说法正确的是( )
A. 一次函数是正比例函数 B. 正比例函数是一次函数
C. 正比例函数不是一次函数 D. 不是正比例函数就是一次函数
5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边，使得点落在第一象限，连结，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，以线段为边，在第一象限内作正方形，直线与轴交于点，与线段交于点，将正方形沿轴负半轴方向平移个单位长度，使点落在直线上．有下列结论：
的面积为；点的坐标是；点到轴距离是；其中正确结论的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 如图，直线与直线相交于点，将直线绕点旋转后所得直线与轴的交点坐标为( )
A.
B.
C. ，
D. ，
8. 八个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为( )
A. B. C. D.
9. 一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有( )
对于函数来说，随的增大而减小
函数的图象不经过第一象限
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10. ，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：
甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；
乙出发后追上甲；
甲比乙晚到；
甲车行驶或，甲，乙两车相距；
其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11. 甲乙两车从城出发匀速驶向城，在整个行驶过程中，两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图，则下列结论错误的是( )
、两城相距千米甲车比乙车早出发小时，却晚到小时相遇时乙车行驶了小时当甲乙两车相距千米时，的值为或或或．
A. B. C. D.
12. 疫苗接种对新冠疫情防控至关重要，接种疫苗能够对个体进行有效保护，并降低感染率、重症率和病亡率甲、乙两地分别对本地各万人接种新冠疫苗甲地在前期完成万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过天后接种人数达到万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果天完成接种任务乙地天完成接种任务，甲、乙两地的接种人数万人与接种所用时间天之间的关系如图所示由题意得出下列结论：乙地每天接种万人的值为当甲地接种速度放缓后，关于的函数解析式为当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为万人其中正确结论有个．( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 函数中自变量的取值范围是______．
14. 当_______时，函数是正比例函数．
15. 甲、乙两人都从光明学校出发，去距离光明学校远的篮球馆打球，他们沿同一条道路匀速行走，乙比甲晚出发设甲行走的时间为单位：，甲、乙两人相距单位：，表示与的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，下列说法：
甲行走的速度为
乙在距光明学校处追上了甲
甲、乙两人的最远距离是
甲从光明学校到篮球馆走了
正确的是______填写正确结论的序号．
16. 小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过分时，小明与家之间的距离为米，小明爸爸与家之间的距离为米，图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图象小明从家出发，经过______分钟在返回途中追上爸爸．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，已知，，，是边上的一个动点，过点作，与边交于点点不与点、重合点是线段的中点，作，与交于点，与射线交于点．
求证：；
若，求的长；
设，，求关于的函数关系式，并写出定义域．
18. 本小题分
等腰三角形的周长为，腰长为，底边长为，求：
关于的函数表达式；
自变量的取值范围；
底边长为时，腰长为多少？
19. 本小题分
新定义：对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的变函数其中为常数．
例如：对于关于的一次函数的变函数为．
关于的一次函数的变函数为，则当时， ．
关于的一次函数的变函数为，当时，函数的取值范围是
关于的一次函数的变函数为，关于的一次函数的变函数为，求函数和函数的交点坐标．
20. 本小题分
如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点，，并且满足，点是线段上的一个动点．
求的值；
设点是轴上方的平面内的一点，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．
21. 本小题分
我们知道：角平分线上的点到角的两边距离相等，如图，是的平分线上任意一点，若，，垂足分别为，，则．
换一种眼光看：如图，是的平分线，、、分别是、、上的动点，若，则．
一般化：
如图，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则与的数量关系是 ．
再倒过来想一想：
如图，是的平分线，、、分别是、、上的动点，若，则与有什么关系请将图形补充完整并结合图形证明你的结论；
用用看：
已知：点在轴上，点在函数的图像上，点在函数的图像上，连接、，若，直接写出点的坐标．
22. 本小题分
在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，梓锐在同一个坐标系中发现直线与坐标轴相交于，两点，直线与坐标轴相交于，两点，两直线相交于点，且点的横坐标为已知，点是直线上的动点．
求直线的函数表达式；
过点作轴的垂线与直线和轴分别相交于，两点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
若点是轴上的动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
23. 本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线，交轴于点，且经过定点．
请直接写出的值：____；
连接．
当时，求此时直线的解析式；
在的条件下，若点在轴上，以、、、为顶点的四边形是菱形，求此时点的坐标；
设一次函数的图象为直线，若对任意的实数，都满足，求的取值范围．
24. 本小题分
某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的倍，用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克．
营养品信息表
营养成份 每千克含铁毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 毫克
乙食材 毫克
规格 每包食材含量 每包售价
包装 千克 元
包装 千克 元
甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
该公司每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．已知每日其他费用为元，且生产的营养品当日全部售出．若包装的数量不低于包装的数量，求每日所获的最大总利润．
25. 本小题分
民族要复兴，乡村必振兴．襄阳市某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：
销售方式 标价 实际销售价
线下 元千克 打八折
线上 元千克 千克含千克以下 打九折
超过千克 超过部分每千克再让利元
设购买这种新产品千克，所需费用为元根据以上信息回答下列问题：
直接写出两种销售模式对应的函数解析式；
为了脱贫致富，发挥社员劳动工作积极性，合作社决定搞承包销售制村民小明经过与合作社协商，决定以元千克承包千克该商品进行线上和线下销售，小明通过对市场调查发现：当线上销售量不少于千克且不多于千克时，通过两种销售模式都能很快销售完该产品，设小明销售完该产品所获总利润为元，求的解析式；
在的条件下，小明决定将线上销售的新产品低于千克时，线上销售的新产品每千克捐赠元给村中孤寡老人养老，当线上销售的新产品高于千克时，线上销售的新产品每千克捐赠元给村中孤寡老人养老，捐赠后小明发现，总利润低于元，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形面积，关键是熟练掌握三角形的面积与函数的关系．
先利用分类讨论思想得出函数关系式，然后确定函数图象．
【解答】
解：由勾股定理得．
分两种情况：
当时．
过点作于．
如图，易证∽，
：：，
，
，
函数图象是抛物线位于对称轴右侧的一部分，抛物线开口向上；
当时，
如图，，，
．
函数图象是抛物线位于对称轴直线右侧的一部分，抛物线开口向下．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．
根据三角形的面积公式，分段求出的长度即可．
【解答】
解：如图，当时，；为开口向上的二次函数；
如图，当时，；为一次函数；
如图，当时，过点作于点，
，为开口向下的二次函数；
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握一次函数和正比例函数的定义是解题的关键根据一次函数与正比例函数的定义求解．
【解答】
解：正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数．
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握一次函数和正比例函数的定义是解题的关键根据一次函数与正比例函数的定义求解．
【解答】
解：正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：如图，作，边交直线于点，作直线，
由直线可知，，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
轴，即点在直线上运动，
过点关于直线的对称点，连接，即为所求最小值，
此时，在中，，，
，
．
故选：．
根据点的运动先证明点在直线是运动，再根据轴对称最值问题，作点关于直线的对称点，连接，求出的长即可．
本题属于一次函数与几何综合题，涉及勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，旋转的性质等知识，解题的关键是得出点在直线是运动．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一次函数的综合、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
求得、的坐标，然后根据三角形面积公式求得面积，即可判断；
如图作于，于，利用三角形全等，求出点、坐标即可判断；
联立方程求得交点的纵坐标，即可判断；
把的纵坐标代入，求得平移后的横坐标，根据平移前后的横坐标即可判断．
【解答】
解：直线与坐标轴分别交于，两点，
，，
的面积为，故结论错误；
如图作于，于，与交于点，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
同理可以得到：，，
，，，故结论正确；
由，解得，
的纵坐标为，
点到轴距离是，故结论正确；
，
将正方形沿轴负方向平移个单位长度，使点恰好落在直线上，
把代入得，，
，
正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在直线上时，，故结论正确；
故选：．
7.【答案】
【解析】解：令，解得，
．
设直线与轴交于点，过点作轴于点，
，，
令，则，
，
．
将直线绕点旋转，需要分两种情况：
当直线绕点逆时针旋转时，如图，设此时直线与轴的交点为，此时，
过点作交直线于点，过点作轴于点，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
令，则，
；
当直线绕点顺时针旋转时，如图，设此时直线与轴的交点为，延长交于点，
则，
，
，
，即点为的中点，
，，
，
设直线的解析式为：，
，解得，
直线的解析式为：．
令，则，
，
综上所述，将直线绕点旋转后所得直线与轴的交点坐标为，．
故选：．
先求出点的坐标；设直线与轴交于点，过点作轴于点，可求出和的长；若将直线绕点旋转，则需要分两种情况：当直线绕点逆时针旋转时，如图，设此时直线与轴的交点为；过点作交直线于点，过点作轴于点，可得≌，进而可得点的坐标，用待定系数法可求出直线的表达式，进而求出点的坐标；当直线绕点顺时针旋转时，如图，设此时直线与轴的交点为，延长交于点，则是等腰直角三角形，根据中点坐标公式可求出点的坐标，进而求出直线的表达式，最后可求出点的坐标．
本题属于一次函数与几何综合题目，涉及全等三角形的性质与判定，图象的交点，等腰三角形的性质等内容，关键是根据角作出垂线构造全等．本题若放在九年级可用相似解决．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了待定系数法求一次函数解析式和正方形的性质．设直线和八个正方形的最上面交点为，过作于，作于，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出的坐标即可得到该直线的解析式．
【解答】
解：设直线和八个正方形的最上面交点为，过作于，作于，
正方形的边长为，
，
经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，
，
，
，
，
由此可知直线经过，
设直线方程为，
则，
，
直线解析式为，
故选D．
9.【答案】
【解析】解：由图象可得：对于函数来说，随的增大而减小，故正确；
由于，，所以函数的图象经过第二，三，四象限，故正确；
一次函数与的图象的交点的横坐标为，
，
，故正确；
当时，，
当时，，
由图象可知，
，故正确；
故选：．
根据函数图象直接得到结论；
根据、的符号即可判断；
当时，；
当和时，根据图象得不等式．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是根据函数图象获得关键的信息，利用行程问题的数量关系列式计算．
根据函数图象即可得到甲车行驶的速度以及乙车行驶的速度；根据函数图象即可得到乙出发后追上甲；根据图象，当乙到达地时，甲乙相距，据此可得甲比乙晚到；根据甲，乙两车相距，列出方程进行求解即可．
【解答】
解：由图可得，甲车行驶的速度是，
甲先出发，乙出发后追上甲，
，
，
即乙车行驶的速度是，故正确；
当时，乙出发，当时，乙追上甲，
乙出发后追上甲，故错误；
由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，
甲比乙晚到，故正确；
由图可得，当时，
解得；
当时，
解得，
甲车行驶或，甲，乙两车相距，故正确；
综上所述，正确的个数是个．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由图象可知、两城市之间的距离为，故不符合题意；
甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即甲车比乙车早出发小时，却晚到小时故不合题意；
设甲车离开城的距离与的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得，
解得，
，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故符合题意；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时乙还没出发，
当时，乙到达城，；
综上可知当的值为或或或，故符合题意．
观察图象可判断，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断，再令两函数解析式的差为，可求得，可判断，可得出答案．
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式有关知识由接种速度接种人数接种天数求解；利用待定系数法求解；将代入解析式得出，然后由即可
【解答】
解：乙地接种速度为万人天，
，
解得；
故正确
设，
将，代入解析式得：，
解得
关于的函数解析式；
把代入得，
万人，
当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为万人；
故正确，错误
13.【答案】且
【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是正比例函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．根据正比例函数的定义列出关于的不等式组，求出的值即可．
【解答】
解：函数是正比例函数，
解得，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，此类题是近年的热点问题．
结合函数图象，根据时，可求甲的速度；
时，乙追上甲可知此时甲、乙离学校的距离；
时乙达到篮球馆，甲、乙间距离最大；
根据：总路程甲的速度甲所用时间，可得甲的时间．
【解答】
解：由题意可知乙比甲晚出发，当时甲在行走而乙不动，结合函数图象时，故甲行走的速度为，故正确；
当时，甲仍然向篮球馆行走，乙在后面追赶甲，当时，表示乙追上甲，此时甲、乙距离光明学校，故错误；
由知乙的速度为，当时，乙超过甲，甲乙间距离逐渐增大，当乙到达篮球馆时最大，此时，当时，甲的路程为，乙的路程为，，故正确；
甲从光明学校到篮球馆所用时间为，故错误．
故答案为：．

16.【答案】
【解析】
【分析】
考查一次函数的图象和性质、二元一次方程组的应用等知识，正确的识图，得出点的坐标求出直线的关系式是解决问题的首要问题．由题意得点的坐标为，小明骑车返回用时也是分钟，因此点的坐标为，小明的爸爸返回的时间为分，点的坐标
因此可以求出、的函数关系式，由关系式求出交点的横坐标即可
【解答】
解：由题意得：，，，
设直线、的关系式分别为，，
把，，，代入相应的关系式得：
，，
解得：，，
直线、的关系式分别为，，
当时，即：，
解得：，
故答案为：．
17.【答案】解：证明：，
，
又为中点，
，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
；
，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
即．
【解析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理，含直角三角形和函数关系式有关知识．
根据题意先证明出三角形为等边三角形，从而得出，最后求出即可解答；
先利用勾股定理得出，然后利用直角三角形的性质得出，利用勾股定理得出，进而求出，，，最后再求出；
同的思路解答即可．
18.【答案】解：由三角形的周长为，得，
；
，是三角形的边长，
，，，
解得：；
当，即时，．
所以当底边时，腰长为．
【解析】本题考查了求函数关系式以及等腰三角形性质，三角形的三边关系，函数自变量的取值范围，利用了三角形的周长公式得出函数关系式，利用三角形三边的关系得出自变量的取值范围．
等腰三角形的两个腰是相等的，根据题中条件即可列出腰长和底边长的关系式；
根据两个腰长的和大于底边长及底边长为正数可得自变量的取值．
将代入中求出的函数关系式求解即可．
19.【答案】解：；
；
根据定义得：
：：
如图：
根据题意列方程组：
，解得；
解得：；
，无解；
，无解；
综上所述函数和函数的交点坐标为和．
【解析】
【分析】
本题考查一次函数的应用、两直线平行或相交等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．
根据变函数的定义即可解决问题；
根据变函数的定义，求出特殊点的函数值即可解决问题；
转化为方程组解决问题即可．
【解答】
解：根据变函数定义，关于的一次函数的变函数为：
时，，
故答案为；
由题意：：
时，，时，，
时，，
故答案为；
见答案．
20.【答案】解：矩形的顶点的坐标为，
，，
在中，令，得，
点的坐标为．
．
，
，
点的坐标是．
点在直线上，
，
解得，
答：的值为；
设线段上的点的坐标为，
由，得点、的坐标分别为、，
，，
分两种情况讨论：当作为菱形的对角线时，如图，得菱形，
，、互相平分，
，
解得，
点的坐标为，
此时点的坐标为
当作为菱形的一边时，如图，得菱形，
，，
根据点的坐标为，
可得点的坐标为，
过点作轴于点，则在中，，．
由勾股定理，得，
化简，得．
由题意，点不在轴上，即，
在等式两边同时除以，得，解得．
此时点的坐标为
综上所述，满足题意的点的坐标为或
【解析】
【分析】
本题考查一次函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，菱形的性质，分类讨论的数学思想，一次函数综合题，难度较大．
首先在一次函数的解析式中令，即可求得的坐标，则的长度即可求得，，则的坐标即可利用表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于的方程，求得的值；
分成四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论，四边形是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；四边形是菱形，，在直角上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标．
21.【答案】解：．
或．
证明：如图，过点作，垂足为点，作，垂足为点．
射线是的平分线
．
不妨设点在上，分两种情况讨论：
点在线段上，
在和中，，，
≌．
，
，
即．
点在线段的延长线上的点，
在和中，，，
≌，
，
又，
，
即，
综上所述：若，则或．
或
【解析】本题主要考查角平分的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解答的关键是对全等三角形的判定与性质的灵活运用，要求学会分类讨论的思想及知识的迁移应用．
过点作，垂足为点，作，垂足为点，证即可；
过点作，垂足为点，作，垂足为点分两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上的点，分别通过证明两个直角三角形全等即可解答；
分两种情况：当点与点关于轴对称时，由对称性质即可得到点的坐标；当点与点关于轴不对称时，设，分别作轴，，，垂足分别为、、，则，求出的长，再利用勾股定理求出值即可．
解：证明：如图，过点作，垂足为点，作，垂足为点．
是的平分线，
，，
，，
，
，
；
见答案；
点在函数的图像上，点在函数的图像上，直线与直线关于轴对称，
直线与轴的夹角等于直线与轴的夹角，点在轴上，
点在的平分线上，
当点与点关于轴对称时，点 ；
当点与点关于轴不对称时，设，
分别作轴，，，垂足分别为、、，则，
，
，
在中，，
，
解得，或，
或舍去，
，
综上，若，则点的坐标为或
22.【答案】解：将点的横坐标代入直线：，
得，
点，
，
，
将点和点坐标代入直线：，
得，
解得，
直线：；
设点的坐标为，
则点，，
当点在点的左侧时，如图所示：
则，，
点是线段的三等分点，
或，
当时，，
解得，
，
当时，，
解得舍，
当点在点右侧时，如图所示：
，，
点是线段的三等分点，
或，
当时，，
解得舍，
当时，
，
解得，
，
综上，点的坐标为或；
存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
设点，，
，，
以，为对角线时，
得，
解得，
点，
以，为对角线时，
得，
解得，
；
以，为对角线时，
得，
解得，
，
综上，点坐标为或或．
【解析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，线段的三等分点，平行四边形的判定等，本题综合性较强，注意分情况讨论是解题的关键．
先求出点的坐标，再待定系数法求解析式即可；
设点的坐标为，则点，，分情况讨论：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别列方程求解即可；
设点，，分情况讨论：以，为对角线时，以，为对角线时，以，为对角线时，分别列二元一次方程组，求解即可．
23.【答案】解：；
，定点，
，
，
，
的坐标为，
将的坐标代入
得：，
，
的解析式为：；
交轴于点，
的坐标为，
，
四边形是菱形，在轴上，
，
由，
如图，
当在右边，时，的坐标为，
当在左边，时，的坐标为，
当在左边，时，、两点关于轴对称，则的坐标为，
综上所述，点的坐标为：或；
对任意实数成立，，，
，
，
，
，
．
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解一次函数关系式，勾股定理及菱形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决实际问题．
把代入，求解即可；
先得出，再利用勾股定理得出，的值，进而得出的坐标，代入，即可得出结论；
先利用勾股定理得出的值，再利用菱形的性质得出，最后根据坐标与图形的性质结合图形分情况得出结果；
先分析出，进而得出，最后根据，得出结论．
【解答】
解：经过定点，
，
，
，
故答案为：．
见答案；
见答案；
见答案．
24.【答案】解：设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，
由题意得，
解得，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
，
答：甲食材每千克进价为元，乙食材每千克进价为元；
设每日购进甲食材千克，乙食材千克，
由题意得，解得，
设为包，则为包，
的数量不低于的数量，
，
，
设总利润为元，根据题意得：
，
，
随的增大而减小，
当时，的最大值为，
答：当为包时，总利润最大，最大总利润为元．
【解析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，根据“用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克”列分式方程解答即可；
设每日购进甲食材千克，乙食材千克，根据的结论以及“每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组求出甲乙食材各多少千克，设为包，则为包，根据“的数量不低于的数量”求出的取值范围；设总利润为元，根据题意求出与的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
25.【答案】解：根据表格中数据可得：
线下，
线上
当时，
，
当时，
，
综上：；
设小明捐赠后利润为元，
当时，
，
，
，随增大而增大，
，
，不成立，
当时，
，
，
随增大而减小，
低于元，
，
解得：，
的最小值为．
【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
根据题意和题目中的数据，可以分别写出两种销售模式下所需费用元与购买产品数量千克之间的函数关系式；
可分别根据当时，和当时两种情况结合题意列出解析式；
设小明捐赠后利润为元，当时和当时，分别求出解析式，然后根据一次函数性质求得最小值，可得到的值．
()

第四单元《一次函数》单元测试卷（困难）（含解析）