2023年河北省邢台市中考数学一模试卷（含解析）

2023年河北省邢台市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的值为( )
A. B. C. D.
2. 已知反比例函数，当时，有( )
A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值
3. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是( )
A. B. C. D.
4. 嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在由小正方形组成的网格中，点，，，，，，均在格点上下列三角形中，外心不是点的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若，则为( )
A. B. C. D.
7. 关于抛物线：与：，下列说法不正确的是( )
A. 两条抛物线的形状相同 B. 抛物线通过平移可以与重合
C. 抛物线与的对称轴相同 D. 两条抛物线均与轴有两个交点
8. 下列说法正确的是( )
A. “将三条线段首尾顺次相接可以组成三角形”是必然事件
B. 如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨
C. 数据，，，，中没有众数
D. 若，两组数据的平均数相同，，，则组数据较稳定
9. 如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面处测得标志物的仰角为若到电线杆底部的距离为，则电线杆的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是( )
A. 平分
B.
C.
D.
11. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为米秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：表示球弹起时的速度，表示重力系数，取米秒，则球不低于米的持续时间是( )
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
12. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的，两点，并使与车轮内圆相切于点，已知为车轮外圆和内圆的圆心，连接并延长交外圆于点测得，，则车轮的外圆半径是( )
A. B. C. D.
13. 德尔塔是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强某地有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
14. 如图，已知是半圆的直径，点，将分成相等的三段弧，点在的延长线上，连接对于下列两个结论，判断正确的是( )
结论Ⅰ：若，则为半圆的切线；
结论Ⅱ：连接，，则．
A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ对Ⅱ错 C. Ⅰ错Ⅱ对 D. Ⅰ和Ⅱ都错
15. 如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，且，下列结论不正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若为任意实数，则
16. 题目：“如图，在矩形中，，，，分别是，上的点”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下下列判断正确的是( )
甲：若，则在上存在个点，使与相似；
乙：若，则的最大值为．
A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 在一个不透明的口袋中装有个白球、个黄球、个红球、个绿球，除颜色其余都相同，小明通过多次摸球试验后发现，摸到某种颜色的球的频率稳定在左右，则小明做实验时所摸到的球的颜色是 ．
18. 如图，从一个边长为的铁皮正六边形上，剪出一个扇形．
的度数为 ．
若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线把分成，两部分，且与，交于点，，点的坐标为．
连接，若．
的值为 ；
点的坐标为 ；
若内不含边界的整点横、纵坐标均为整数的点与内不含边界的整点个数比为：，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
嘉嘉解方程的过程如表所示．
解方程：
解：第一步
第二步
，第三步
嘉嘉是用 填“配方法”“公式法”或“因式分解法”来求解的；从第 步开始出现错误；
请你用不同于中的方法解该方程．
21. 本小题分
如图，小欢从公共汽车站出发，沿北偏东方向走米到达东湖公园处，参观后又从处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏东方向的图书馆处．
求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离；
如果小欢以米分的速度从图书馆沿回到公共汽车站，那么她在分钟内能否到达公共汽车站？注：，
22. 本小题分
如图，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示与长方体相同重量的长方体均满足此关系．
桌面所受压强
受力面积
根据数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式及的值；
现想将另一长、宽、高分别为，，，且与长方体相同重量的长方体按如图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由，
23. 本小题分
为奖励期末考试优异的学生，王老师去文具店购买笔记本，购买情况如图所示．
王老师购买笔记本的平均价格为 元；若从中随机拿出一个笔记本，则拿到元笔记本的概率为 ；
若王老师已拿出一个元笔记本后，准备从剩余个笔记本中随机再拿出一个本．
所剩的个笔记本价格的中位数与原来个笔记本价格的中位数是否相同？并说明理由；
在剩余的个笔记本中，若王老师先随机拿出一个笔记本后放回，之后又随机拿一个笔记本，用列表法如下表求王老师两次都拿到相同价格的笔记本的概率．
又拿
先拿

24. 本小题分
如图，在中，，，分别为边，上的点，且已知，．
的长为 ；与的周长比为 ；
将绕点旋转，连接，．
当旋转至图所示的位置时，求证：∽；
如图，当旋转至点在上时，，直接写出及的长．
25. 本小题分
如图，已知点，，，抛物线：与直线交于点．
当抛物线经过点时，求它的函数表达式；
设点的纵坐标为，求的最小值，此时抛物线上有两点，，且，比较与的大小；
当抛物线与线段有公共点时，直接写出的取值范围．
26. 本小题分
在等边三角形中，于点，半圆的直径开始在边上，且点与点重合，将半圆绕点顺时针旋转，当时，半圆与相切于点如图所示．
求的长度；
如图，当，分别与半圆交于点，时，连接，，．
求的度数；
求的长度；
当时，将半圆沿边向左平移，设平移距离为，当与的边一共有两个交点时，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案．
本题考查特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：反比例函数中，，
函数图像经过第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
当时，，
当时，，
当时，有最大值．
故选：．
先判断出函数图象所在的象限，再求出时的值，进而可得出结论．
本题主要考查反比例函数性质，理解并掌握反比例函数的值大小与图象的特点是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据俯视图知第一层有个，前面一排有个，故排除掉、选项，
根据主视图和左视图知第二层第一列有个，排除掉，
故选：．
根据三视图结合选项利用排除法求解．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有一定的空间想象能力，难度不大．
4.【答案】
【解析】解：设被污染的数为，
根据题意可得：，
解得：，
则被污染的数可能是．
故选：．
根据一元二次方程根的判别式可得，即可得出答案．
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有实数根，得出．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
点不是的外心，
故选：．
根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答即可．
本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：与关于原点位似，，
与相似比为：：，
与面积之比为：，
，，
．
故选：．
直接利用位似图形的性质得出与的面积比，进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：与：的形状相同，故A正确，不符合题意；
将抛物线向右平移个单位，向下平移个单位，得到，所以抛物线通过平移可以与重合，故B正确，不符合题意；
抛物线关于轴对称，的顶点坐标为，对称轴是直线，抛物线与的对称轴不相同，故C不正确，符合题意；
当时，，故抛物线与轴有两个交点，当时，，故抛物线与轴有两个交点，故D正确，不符合题意．
故选：．
根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案．
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中熟练的掌握给定函数解析式求顶点坐标，对称轴方程，是解答的关键．
8.【答案】
【解析】解：“将三条线段首尾顺次相接可以组成三角形”是随机事件，此选项错误；
B.如果明天降水的概率是，那么明天降雨的可能性有一半，此选项错误；
C.数据，，，，中众数是和，此选项错误；
D.若，两组数据的平均数相同，，，则组数据较稳定，此选项正确；
故选：．
根据随机事件、可能性大小、众数的概念及方差的意义求解即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握据随机事件、可能性大小、众数的概念及方差的意义．
9.【答案】
【解析】解：由题意可知：，，，．
在中，
，
．
．
故选：．
利用直角三角形的边角间关系在中先求出，再利用线段中点求出．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：在和中，，
如果∽，需满足的条件有：
或是的平分线；
；
故选：．
已知，则、选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
将代入得，
解得，，
球不低于米的持续时间是秒，
故选：．
将，，代入求解．
本题考查二次函数的应用，解题关键是理解题意，通过解方程作答．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，，
，
，
，
设半径为，则，
根据题意得：，
解得：．
这个车轮的外圆半径长为．
故选：．
根据垂径定理求得，然后根据勾股定理即可求得半径．
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设每轮传染中平均人传染了人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，
根据题意得：．
故选：．
设每轮传染中平均人传染了人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据“某地有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：连接，，
点，将分成相等的三段弧，
，
，
，
，
是半径，
为半圆的切线，故I对，
连接，，
，是半径，，
，是等边三角形，
，
，故II错，
故选：．
连接，，先得出，，进而得出，为半圆的切线；连接，，再证明，是等边三角形，即可得出．
本题考查切线的判定，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，故A正确，不合题意．
抛物线对称轴为直线，
，
，故B正确，不合题意；
，对称轴为直线，
点坐标为，
时，，故C错误，符合题意．
时取最大值，
，即则，故D正确，不合题意．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点可得，，的符号及与的关系，从而判断、，由及对称轴可得点坐标，从而判断，由时取最大值可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16.【答案】
【解析】解：甲：与相似，，
分∽与∽两种情况求解：
当∽时，设，则，
，即，
解得：或，
当∽时，设，则，
，即，
解得：，
综上所述，当，在上存在个点，使与相似，故甲错误；
乙：，
，
，
又，
，
∽，
，
设，则，
即，
，
，
当时，最大，且，故乙正确．
故选：．
由与相似，，分∽与∽两种情况求解：设，则，将各值分别代入与中计算求解即可判断甲的正误；由，可证∽，则，设，则，即，解得，然后求最大值即可判断乙的正误．
本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于根据相似三角形的性质写出等量关系式．
17.【答案】红色
【解析】解：共有个球，
白球的概率为：；
黄球的概率为：；
红球的概率为：；
绿球的概率为：．
小明做实验时所摸到的球的颜色是红色
故答案为：红色．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手解答即可．
本题考查利用频率估计概率问题，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用红球的概率公式解答．
18.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
正六边形的边长为，
，
，
，
，，
，
，
的长为，
设圆锥的底面半径为，
则，
即，
故答案为：，．
根据正六边形的性质可求出，，进而求出阴影部分扇形的半径和圆心角的度数；
利用弧长公式求出的长，再根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径．
本题考查圆与正多边形，求弧长，求圆锥的底面半径，掌握正六边形的性质以及正六边形与圆的相关计算，掌握正多边形与圆的相关计算方法是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：连接，
点的坐标为，
，，
，
，
，
中，，
，
；
过点作于，则，
∽，
，
，，
，
，
点的纵坐标为，
把代入得，，
．
故答案为：；；
点的坐标为，
直线为，
内部的整数点为，，，，，，，
内不含边界的整点横、纵坐标均为整数的点与内不含边界的整点个数比为：，
点，，在内，，，，在内，
的取值范围为，
故答案为：．
利用三角形面积公式求得的面积，进而求得的面积，利用反比例函数系数的几何意义即可求得的值；
利用三角形相似的性质，以及反比例函数系数的几何意义即可求解；
根据反比例函数为常数，的图象上点的横纵坐标之积为求得即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，反比例函数为常数，的图象上点的横纵坐标之积为是解题的关键．
20.【答案】配方法 二
【解析】解：嘉嘉是用配方法来求解的；从第二步开始出现错误；
故答案为：配方法，二；
，
，
则或，
解得，．
根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可；
利用十字相乘将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
21.【答案】解：过点作于点，
位于的北偏东方向，米，
，米，
答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是米；
中，
，米，
米，
，
小欢分钟内能到达公共汽车站．
【解析】过点作于点，根据位于的北偏东方向和米可得的长度；
根据角的余弦和的长可得的长度，再结合小欢的速度可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，将解直角三角形的相关知识与实际生活有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
22.【答案】解：由表格可知，压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，
设，将代入得：
，
解得，
，
当时，，
，
答：，；
这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知，
将长方体放置于该水平玻璃桌面上，，
，
这种摆放方式不安全．
【解析】用待定系数法可得函数关系式，令可得的值；
算出，即可求出，比较可得答案．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
23.【答案】
【解析】解：王老师购买笔记本的平均价格为元，
若从中随机拿出一个笔记本，则拿到元笔记本的概率为；
故答案为：，；
不相同，
所剩的个笔记本价格的中位数为元，原中位数为元．
列表如下：
又拿
先拿

由表知，共有种等可能结果，其中王老师两次都拿到相同价格的笔记本有种结果，
所以王老师两次都拿到相同价格的笔记本概率为．
根据算术平均数的定义和概率公式求解即可；
根据中位数的定义求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】 ：
【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
，
与的周长比为：．
故答案为：，：；
证明：∽，
，，
，，
∽；
解：如图中，设，．
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
∽，
，
，
．
证明∽，利用相似三角形的性质求解；
利用两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可；
如图中，设，利用勾股定理，相似三角形的性质求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
25.【答案】解：抛物线经过点，
，
解得，，
抛物线的表达式是：；
当时，，
当时，取得最小值，最小值是，
此时抛物线的表达式是：，
当时，随的增大而减小，
，
；
的取值范围是或，
理由：抛物线与线段有公共点，点，，
或或，
解得，或．
【解析】根据抛物线：过点，可以求得抛物线的表达式；
根据题意，可以求得的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较与的大小；
根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
26.【答案】解：如图，连接，
等边三角形中，于点，
，
半圆与相切于点，
，，
，
；
如图，由题意可知，
点，时，与半圆上，
；
过作于，
，，，
，
，
，
；
由题意可知，始终与的交于一点，
如图，当在上时，
在中，，，，
，
，
，
即，
解得，
，
如图，当半圆与相切于点时，连接，，
，，，
，
，
，
即，
解得：，
，
如图，当在上时，
在中，
，，，
，
，
，
解得，
，
综上所述，当与的边一共有两个交点时或或．
【解析】如图，连接，等边三角形中，于点，半圆与相切于点，根据角所对的直角边等于斜边的一半可求解；
根据圆周角可求解，过作于，结合，可求得，根据角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可得，进而求解；
由题意可知，始终与的交于一点，即求出与，再有以外的一个交点即可；如图，当在上时，结合已知，根据角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可得；如图，当半圆与相切于点时，连接，，结合已知，根据角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可得，从而求解；如图，当在上时，结合已知，根据角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可得，从而求解．
本题考查了圆的基本性质，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，等边三角形性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理；解题的关键是解含角的直角三角形．

2023年河北省邢台市中考数学一模试卷（含解析）