2023年安徽省滁州市南谯区施集学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年安徽省滁州市南谯区施集学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 比较，，的大小正确的是( )
A. B. C. D.
3. 墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果打算搬运其中部分小正方体不考虑操作技术的限制，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，求最多可以搬走小正方体．( )
A.
B.
C.
D.
4. 目前，成都市已累计改造的老旧小区惠及居民约万户，大力促进了人居环境有机更新，提升了市民幸福指数．将数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5. 如图，已知，小妍同学进行以下尺规作图：
以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点；
以点为圆心，小于线段的长为半径作弧，与射线交于点，；
分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，直线交于点若，则的度数可以用表示为( )
A. B. C. D.
6. 一个不透明布袋里共有个球只有编号不同，编号为，，，从中任意摸出一个球，记下编号后不放回，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
7. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是万元．若设月平均增长率是，那么可列出的方程是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，是的外接圆弧的中点，连接，，若，则( )
A.
B.
C.
D.
9. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．作若，则：的值为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：；；为任意实数；若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，，其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 若，，则的值为______．
12. 如图，函数的图象，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．
13. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为，则的值为 ．
14. 如图，在矩形中，，分别为，上一点，，，若，矩形的周长为，则矩形的面积为______．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：；
先化简，再求值：．
16. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在正方形网格的格点上．
画出将沿轴方向向右平移个单位长度后得到的；
画出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标；
在轴上找一点，使得的值最小．保留作图痕迹
17. 本小题分
分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
，，
，，
，，
______；
用含是正整数的等式表示上述面积变化规律：______，______；
若一个三角形的面积是，则它是第______个三角形；
求出的值．
18. 本小题分
如图，点在函数图象上，过点作轴和轴的平行线分别交函数图象于点、，直线与坐标轴的交点为、当点在函数图象上运动时．
设点横坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______用含的字母表示；
的面积是否发生变化？若不变，求出的面积，若变化，请说明理由．
19. 本小题分
如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与弦交于点．
求证：．
若，，求的长．
20. 本小题分
如图是某小车侧面示意图，图是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示单位：且，，，箱盖开起过程中，点，，不随箱盖转动，点，，绕点沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，气簧活塞杆随之伸长已知直线，．
求的长度．
求的长度．
21. 本小题分
开展“创卫”活动，某校倡议学生利用双休日在“人民公园”参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
将条形统计图补充完整；
求抽查的学生劳动时间的众数、中位数；
电视台要从参加义务劳动的学生中随机抽取名同学采访，抽到时参加义务劳动的时间为小时的同学概率是多少？
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线：和直线；，点、均在直线上．
求直线的表达式；
若抛物线与直线有交点，求的取值范围；
当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值．
23. 本小题分
如图，在四边形中，，，过点作，两边，分别与边，所在直线相交于点，，连接．
与的数量关系是______．
如图，当点，分别在边，上时，可得出结论，请证明这个结论．提示：将绕点逆时针旋转
如图，当点，分别在边，的延长线上时，中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
2.【答案】
【解析】解：；
，；
的；
，
．
故选：．
把三个数化成指数相同的幂比较大小，底数大的幂大．
本题考查了有理数的大小比较，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘法与积的乘方．
3.【答案】
【解析】
【分析】
留下靠墙的正方体，以及墙角处向外的一列正方体，依次数出搬走的小正方体的个数相加即可．
本题考查了组合体的三视图，解题的关键是依次得出每列可以搬走小正方体最多的个数，难度较大．
【解答】
解：第列最多可以搬走个小正方体；
第列最多可以搬走个小正方体；
第列最多可以搬走个小正方体；
第列最多可以搬走个小正方体；
第列最多可以搬走个小正方体．
个．
故最多可以搬走个小正方体．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数．
先把万写成，再确定，的值，即可．
【解答】
解：万．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由作图可知：，，
，，
，
，
，
，
，故D正确．
故选：．
由作图可知：，，所以，，则，所以，再根据平行线的性质得，即可由三角形内角和定理求解．
本题考查作线段等于已知线段，经过上点作直线的垂线，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握尺规基本作图和三角形内角和定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的结果有种，
两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
7.【答案】
【解析】解：设月平均增长的百分率是，则该企业二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，
依题意，得．
故选：．
设月平均增长的百分率是，则该企业二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，根据该企业第一季度的总营业额是万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，
则，
是弧中点，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据圆周角定理和三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．
9.【答案】
【解析】解：四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，
，，，，
，
∽，
，
，
，
，
，
为中点，
为中点，
，
同理，
，
如图，连接，
四边形为平行四边形，
，
为中点，，
，
，
在中，，，
：：，
故选：．
根据四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，可得，，，，证明∽，可得，连接，证明四边形为平行四边形，所以，可得，然后根据勾股定理，可得，进而可以解决问题．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．
10.【答案】
【解析】解：抛物线与轴交于点，，
对称轴为直线，
，
，
，故正确，符合题意；
抛物线开口向下，
，
，
抛物线交轴的正半轴，
，
，故错误，不符合题意；
抛物线的对称轴，开口向下，
时，有最大值，最大值，
为任意实数，
为任意实数，故错误，不符合题意；
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
将点代入，
，
，
过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
，
当时，的面积最大，
故不正确，不符合题意；
故选：．
根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；由函数的图象可知，，，再由可知；当时，函数有最大值；再由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的应用，属于基础题，熟练掌握平方差公式分解因式即可解答．
对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．
【解答】
解：，，
．
故答案是：．
12.【答案】或
【解析】解：由题意，直线与函数的图象恒相交，
当时，直线与直线恒相交，与抛物线至少有一个交点时，即方程有两个实数根，
，
，
解得：；
当时，直线与函数的图象有两个或三个交点，
当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，
综上，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为或．
故答案为：或．
利用排除法，先求得直线与该图象有两个或三个交点时的取值，则可求得结论．
本题主要考查了一次函数的图象的性质，二次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，图象的交点与一元二次方程根的判别式的关系，利用数形结合法解答是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
连接，根据平行线间的距离相等得出，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，明确的面积的面积是解题的关键．
【解答】
解：连接，如图所示：
轴，
轴，
，
，
，
反比例函数在第二象限，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
矩形的周长为，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由矩形的性质得，再证≌，得，然后求出，则，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
15.【答案】解：原式
；
，
当时，原式．
【解析】先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根和绝对值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
先根据分式的减法法则进行计算，再关键分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了负整数指数幂，特殊交点三角函数值，实数的混合运算和分式的化简求值等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
16.【答案】解：如图所示，即为所求作三角形；
如图所示，即为所求作三角形；
由图可知，点的坐标为；
如图所示，点即为所求．

【解析】利用平移变换的性质作出图形即可；
利用在成本和的性质作出图形即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，点即为所求．
本题考查作图轴对称变换，解题的关键是周围轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
17.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：；
，
，
是正整数；
故答案是：；；
，
，
故答案为：；
．
即：．
观察上述结论，会发现，再开方可求解；
观察上述结论，会发现，即可求解；
根据，计算可求解．
的值就是把面积的平方相加就可．
此题考查了勾股定理、算术平方根．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．千万不可盲目计算．
18.【答案】解：点横坐标为，点在函数图象上，
点纵坐标为，
轴，轴，
点的纵坐标为：，点的横坐标，
点横坐标为：；点的纵坐标为：，
点坐标为，；
故答案为：，；
，则，；
，，
，
即的面积不发生变化，其面积为．
【解析】本题为反比例函数图象上点的坐标特征，涉及函数图象的交点、平行线的性质、三角形的面积．在中求得点坐标是解题的关键，在中用表示出、的长是解题的关键．
由条件可先求得点坐标，从而可求得点纵坐标，再代入可求得点与点的坐标；
可设出点坐标，从而可表示出、的坐标，则可表示出和的长，可求得的面积；
19.【答案】证明：如图，连接，
点是的内心，
，，
由圆周角定理得，，
，
，
；
解：，，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【解析】根据内心的概念得到，，根据圆周角定理得到，根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理证明即可；
证明∽，得，代入值可得，进而可以解决问题．
本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键．
20.【答案】解：如图，过点作于，过点作于，
则，
，
，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
由旋转一定角度后得到可知：旋转角度为，即，，，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
；
设，则，，，
，
，
，
解得，或舍，
．
【解析】过作延长线交于点，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点，分别表示出、的长，即可得出的长，
设，则，利用勾股定理可得，代入解方程即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是是解题的关键．
21.【答案】解：根据题意得：人，
学生劳动时间为“小时”的人数为人，
补全统计图，如图所示：
根据题意得：抽查的学生劳动时间的众数为小时、中位数为小时．
抽到是参加义务劳动的时间为小时的同学概率．
【解析】根据学生劳动“小时”的人数除以占的百分比，求出总人数，进而可将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据确定出学生劳动时间的众数与中位数即可；
直接根据概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了众数，扇形统计图，条形统计图，以及中位数，弄清题中的数据是解本题的关键．
22.【答案】解：点，代入得，解得：，
；
联立与，则有，
抛物线与直线有交点，
，
且；
根据题意可得，，
，
抛物线开口向下，对称轴，
时，有最大值，
当时，有，
或，
在左侧，随的增大而增大，
时，有最大值，
；
在对称轴右侧，随最大而减小，
时，有最大值；
综上所述：或．
【解析】点，代入，即可求解；
联立与，则有，抛物线与直线有交点，则，即可求解；
分在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：结论：．
理由：如图中，连接．
在和中，
，
≌，
．
故答案为：；
证明：延长到，使得．
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解：结论：．
理由：在上截取，使得．
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
证明≌，可得结论；
证明≌，推出，，，再证明≌，可得结论；
结论：证明方法类似．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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