第六章 实数 周练3（含答案）

第六章 实数周练3
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)下列说法正确的是（ ）
A． 的算术平方根是
B． 的算术平方根是
C．因为，所以的算术平方根是
D．的算术平方根是
2．(本题3分)下列四个实数中，最小的实数是（ ）
A． B．0 C． D．1
3．(本题3分)的相反数是（ ）
A． B． C． D．
4．(本题3分)正整数a、b分别满足、，则（ ）
A．4 B．8 C．9 D．
5．(本题3分)设n为正整数，且，则n的值为（ ）
A．42 B．43 C．44 D．45
6．(本题3分)估算的值在（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
7．(本题3分)设，，，则x，y，z的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．(本题3分)的三边分别是、、，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
9．(本题3分)估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
10．(本题3分)观察等式：；；；，已知按一定规律排列的一组数：，，．若，用含的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共18分)
11．(本题3分)的绝对值是_____．
12．(本题3分)用符号[，]表示、两数中的较大者，用符号(，)表示、两数中的较小者，则的值为____．
13．(本题3分)已知一个正数的平方根是和，则a＝_____．
14．(本题3分)如图，将正方形置于数轴上，点A表示的数为3，点B表示的数为4，将正方形绕点A旋转，使得点C落在数轴上的点处，则点所表示的实数为___________；
15．(本题3分)实数m在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ___．
16．(本题3分)一个两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，我们把十位上的数字与个位上的数字的和叫做这个两位数的“衍生数”，记作，即．如．现有个两位数和，且满足，则______．
三、解答题(共46分)
17．(本题4分)
18．(本题4分)先化简，再求值：，其中a、b满足．
19．(本题8分)如图，在中，的中垂线交于点D，E，．若，求的长．
20．(本题10分)在学习二次根式时，小明同学发现了两个非常有趣的式子，分别把它们定义为“L运算”和“X运算”．其中，．为了使二次根式有意义，我们规定a为实数，且满足．
(1)求证：；
(2)若实数x满足，求x的值；
(3)已知实数x，y满足，t为任意实数，求代数式的最小值．
21．(本题10分)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)证明勾股定理
据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．
(2)应用勾股定理
①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示4的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是______．
②应用场景2——解决实际问题．
如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
22．(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B 坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（点P首次回到点O时停止），运动时间为t秒（）．
(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)点P在运动过程中，连接，若把四边形的面积分成的两部分，求出点P的坐标．
(3)点P在运动过程中，是否存在点P到x轴的距离为个单位长度的情况，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据算术平方根的定义：“若一个正数的平方等于，即，则这个正数为的算术平方根”判断即可．
【详解】4的算术平方根为 ，A选项错误，不符合题意；
负数没有算术平方根，B选项错误，不符合题意；
正数的算术平方根为正数，C选项错误，不符合题意；
的算术平方根是，D选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查算术平方根的定义，熟知正数的平方根为正数，0的算术平方根为0，负数没有算术平方根是解题的关键．
2．A
【分析】根据实数比较大小的方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴最小的实数是，
故选A．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数是解题的关键．
3．C
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
【详解】∵，
∴的相反数是,
故选：C
【点睛】此题考查了实数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
4．D
【分析】根据夹逼法分别求出a、b，再根据幂的运算直接计算即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查根数估算，解题的关键是熟练掌握夹逼法，根据相近的整数求值．
5．C
【分析】只需要估算出即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟知无理数的估算方法是解题的关键．
6．C
【分析】先估算的大小，再确定的值在哪两个数之间．
【详解】解：∵，
∴，
∴的值在2和3之间，
故选：C．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
7．B
【分析】根据二次根式的性质化简，然后比较大小即可．
【详解】解：，，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简及大小比较，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
8．C
【分析】利用非负性得出：，，再根据等腰三角形和直角三角形的判定即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理逆定理，以及非负性．熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．
9．B
【分析】先估算，然后进一步估算即可．
【详解】解：
，
．
故估计的值应在6和7之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
10．D
【分析】分析式子猜想规律，利用规律计算解题．
【详解】解：；
；
；
，
，
，
，
原式．
故选：D．
【点睛】本题考查规律问题，找准不变化的量和变化的量是解题关键．
11．##
【分析】根据，它的绝对值为其相反数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，绝对值的求法，即： 当一个数是大于等于0时，绝对值就是它本身； 当一个数是小于0，即负数时，绝对值就是它的相反数．
12．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】∵用符号[，]表示、两数中的较大者，用符号(，)表示、两数中的较小者，
∴，
，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较的方法是解答本题的关键．
13．
【分析】根据一个正数有两个平方根且互为相反数，列出关于的方程求解即可得出答案．
【详解】解：依题意得
，
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握正数的两个平方根之间的关系是解题的关键．
14．或
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵点A表示的数为3，点B表示的数为4，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
当正方形绕点A逆时针旋转，使得点C落在数轴上的点处时，如图：
此时表示的数为：；
当正方形绕点A逆时针旋转，使得点C落在数轴上的点处时，如图：
此时表示的数为：；
综上：表示的数为：或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查旋转的性质，实数与数轴．解题的关键是熟练掌握旋转的性质，用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
15．1
【分析】由数轴可得：，则有，再进行化简即可．
【详解】解：由数轴得：，
∴，
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出．
16．或
【分析】和的取值分两种情况分别分析即可得解．
【详解】解：设两位数的十位数字为，个位数字为，两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意，则和的取值有两种情况，
时，此时，，
，
时，此时，，
，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了用字母表示数的新定义，理解题意并进行分类讨论是解题关键．
17．
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可．
【详解】原式

【点睛】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
18．；
【分析】先根据整式加减运算法则进行化简，再根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性，求出a、b的值，再代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，，
解得：，，
把，代入得：
原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，算术平方根的非负性和绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
19．
【分析】直接把代入到进行求解即可．
【详解】解： ∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，正确计算是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）只需要证明即可；
（2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案；
（3）由（1）得，，再由，得到，，由此推出，，进而得到，由，得到，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：由（1）知，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合计算，解无理方程，非负数的性质，正确理解题意是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)①；②绳索的长为
【分析】（1）用含、的式子表示2个图中空白部分的面积，即可得出结论；
（2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．
②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
【详解】（1）解：由左图可知：，即，
由右图可知：，即．
．
．
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．
（2）解：①在中，
,
,
点表示的数是，
故答案为：；
②，，
．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，
利用勾股定理可得．
解得：．
答：绳索的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
22．(1)
(2)点P的坐标为或
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】（1）直接利用非负数的性质即可解答；
（2）证明四边形为长方形，求出面积，再分两种情况：当时和当时，分别列出方程，求解即可；
（3）分两种情况：点P在上运动和点P在上运动，根据点P到x轴的距离为个单位长度列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，a，b满足，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由题意可知，轴，，
∵轴，
∴四边形为长方形，
∵，
∴，
∵把四边形的面积分成的两部分，
∴一部分面积为4，另一部分面积为8，
∴可分两种情况讨论：当时和当时，
①当时，
此时点P在上，点P的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，
②当时，
此时点P在上，点P的坐标为，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，
综上可知，，点P的坐标为或；
（3）存在，理由如下：
①当P在上运动时，，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，
②当P在上运动时，
，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，
综上可知，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、三角形的面积、一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第六章 实数 周练3（含答案）