人教版2023年七年级下学期数学第一次月考试卷三（含解析）

2023年七年级（下）第一次月考数学试卷（三）
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，∠1 与∠2 是对顶角的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如图所示的图案分别是汽车的车标，其中，可以看作出“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
4．（3分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中，不能判定AB∥CD的条件是（　　）
A．∠D+∠BAD＝180° B．∠1＝∠3
C．∠2＝∠4 D．∠B＝∠5
5．（3分）如图，AB∥CD，EH平分∠CEF，∠CEH＝65°，则∠BGF的度数是（　　）
A．115° B．50° C．130° D．45°
6．（3分）下列命题中，真命题的是（　　）
A．平方根等于它本身，这个数只能是零
B．是一个负数
C．的平方根是+4
D．0.81是0.9的算术平方根
7．（3分）今年哥哥的年龄是妹妹年龄的4倍，3年后哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄，设今年哥哥x岁，妹妹y岁，依题意得到的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，小华从A处出发沿北偏东50°方向行走至B处，又沿北偏西30°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时的方向正好相反，则方向的调整应是（　　）
A．右转80° B．左转80° C．右转30° D．左转100°
9．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）
A．14° B．15° C．20° D．30°
10．（3分）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（　　）
A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）化简：＝　 　．
12．（3分）把命题“邻补角互补”改写成“如果…，那么…”的形式　 　．
13．（3分）如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF＝150°，∠BOF：∠BOD＝1：2，则∠AOC的度数为 　 　．
14．（3分）在，，，……，这100个数中，有理数的个数为 　 　．
15．（3分）如果∠α，∠β两边分别垂直，其中∠α比∠β的2倍少30°，那么∠α＝　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，将△ABC沿某一个方向平移8个单位．记△ABC扫过的面积为S，则下列说法正确的是 　 　（填写字号）．
①线段CA是点C到线段AB的距离；
②a＞b的依据是垂线段最短；
③点A到线段BC的距离为；
④若a＝s，b＝4，c＝3，则S的最小值为．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（9分）（1）计算：|﹣2|++；
（2）解方程：（x﹣1）2＝4．
18．（9分）如图，∠AOB＝58°，在∠AOB内部有一点P．
（1）过点P作直线PC∥OB，交OA于点C：
（2）过点P作直线PD⊥OB，垂足为点D，交OA于点E；
（3）过点C画直线OB的垂线段CF；
（4）根据所画图形，∠ACF＝　 　°．
19．（9分）完成下面的证明．
已知：△ABC，求证∠A+∠B+∠C＝180°．
证：延长BA至点E，过点A作AF∥BC
∵AF∥BC（已作）
∴∠FAC＝　 　（两直线平行，内错角相等）
∠EAF＝∠B（ 　 　）
又∵∠EAF+∠FAC+∠BAC＝180°
∴∠B+∠C+∠BAC＝180°（ 　 　）
20．（9分）如图，AB∥CD∥FH∥GM，且∠EFH＝∠GMN．
（1）求证：EG∥HN；
（2）若∠AEG＝75°，求∠HNC．
21．（9分）已知一个正数a的两个平方根分别为2m+1和5n+7，＝0．
（1）求m和n的值：
（2）求3a﹣2m的平方根．
22．（9分）如图，小华用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）则大正方形边长的为 　 　cm．
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2？
（3）小华手中有一个面积为628cm2的圆．请问，这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形吗？请说明理由．（π取3.14）
23．（9分）为了保障学生安全，学校在操场两侧各安装了一枚探照灯，便于夜间对整个校园进行巡视．如图1，操场两侧MN∥PQ，且测得∠BAQ＝45°．灯A射线自AP顺时针转至AQ便立即回转，灯B射线自BN顺时针转至BM便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，若灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足+|2b﹣4|＝0．
（1）求a，b的值．
（2）若灯B射线先转动5秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线与AB重合之前，灯A转动几秒，可以使两灯射线平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯B射线到达BM之前，若射出的光束交于点C，作∠NBC的角平分线交AC的延长线于点D．若t秒后，为定值，请你直接写出t的取值范围 　 　．
24．（9分）（1）如图1，已知AB∥CD．直接写出∠A，∠C，∠E的数量关系 　 　．
（2）如图2，已知AB∥CD．∠DCE的平分线的延长线与∠FAE的平分线相交于点H．若∠E＝20°，
求∠H；
（3）如图3，∠DCE的平分线的延长线与∠BAE的平分线相交于点P．若∠E+2∠P＝360°，求证：AB∥CD．
2023年七年级（下）第一次月考数学试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，∠1 与∠2 是对顶角的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有C选项中的是对顶角，其它都不是．
故选：C．
2．（3分）如图所示的图案分别是汽车的车标，其中，可以看作出“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据平移的性质可知：
平移改变方向和距离，
所以B选项可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选：B．
3．（3分）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，
所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．
故选：C．
4．（3分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中，不能判定AB∥CD的条件是（　　）
A．∠D+∠BAD＝180° B．∠1＝∠3
C．∠2＝∠4 D．∠B＝∠5
【解答】解：A、根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
B、根据内错角相等，两直线平行可判定AD∥CB，故此选项符合题意；
C、根据内错角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故此选项不合题意；
D、根据同位角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故此选项不合题意．
故选：B．
5．（3分）如图，AB∥CD，EH平分∠CEF，∠CEH＝65°，则∠BGF的度数是（　　）
A．115° B．50° C．130° D．45°
【解答】解：∵EH平分∠CEF，∠CEH＝65°，
∴∠CEF＝2∠CEH＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠AGE＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BGF＝∠AGB＝50°，
故选：B．
6．（3分）下列命题中，真命题的是（　　）
A．平方根等于它本身，这个数只能是零
B．是一个负数
C．的平方根是+4
D．0.81是0.9的算术平方根
【解答】解：A、平方根等于它本身，这个数只能是零，为真命题；
B、根据平方根的意义，根号内的被开方数为非负数，故无意义，故原命题为假命题；
C、的平方根是±2，故原命题为假命题；
D、0.9是0.81的算术平方根，故原命题为假命题；
故选：A．
7．（3分）今年哥哥的年龄是妹妹年龄的4倍，3年后哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄，设今年哥哥x岁，妹妹y岁，依题意得到的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设今年哥哥x岁，妹妹y岁，由题意得：
，
故选：A．
8．（3分）如图，小华从A处出发沿北偏东50°方向行走至B处，又沿北偏西30°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时的方向正好相反，则方向的调整应是（　　）
A．右转80° B．左转80° C．右转30° D．左转100°
【解答】解：如图：延长BC，过点C作CE∥BA，
由题意得：
∠ABC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵CE∥BA，
∴∠DCE＝∠CBA＝100°，
∴方向的调整应是：左转100°，
故选：D．
9．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）
A．14° B．15° C．20° D．30°
【解答】解：如图，由平行线的性质可得∠2＝30°，
∠1＝∠3﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
10．（3分）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（　　）
A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°
【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，
∴∠ED′G＝90°，
∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，
∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，
由折叠得，∠1＝∠A′EA，∠2＝∠D′GD，
∴∠1+∠2＝135°，
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）化简：＝　3　．
【解答】解：∵33＝27，
∴；
故答案为：3．
12．（3分）把命题“邻补角互补”改写成“如果…，那么…”的形式　如果两个角是邻补角．那么它们（这两个角）互补　．
【解答】解：把命题“邻补角互补”改写为“如果…那么…”的形式是：如果两个角是邻补角．那么它们（这两个角）互补，
故答案为：如果两个角是邻补角．那么它们（这两个角）互补．
13．（3分）如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF＝150°，∠BOF：∠BOD＝1：2，则∠AOC的度数为 　40°　．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠EOF＝150°，
∴∠DOF＝∠EOF﹣∠EOD＝60°，
∵∠BOF：∠BOD＝1：2，
∴∠BOD＝∠DOF＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，
故答案为：40°．
14．（3分）在，，，……，这100个数中，有理数的个数为 　10　．
【解答】解：∵12＝1，22＝4，32＝9，…，102＝100，
∴在，，，……，这100个数中，有理数的个数为10．
故答案为：10．
15．（3分）如果∠α，∠β两边分别垂直，其中∠α比∠β的2倍少30°，那么∠α＝　30°或110°　．
【解答】解：设∠β为x°，则∠α＝（2x﹣30）°，
分两种情况：
当∠α＝∠β时，如图：
∴2x﹣30＝x，
解得：x＝30，
∴∠α＝30°，
当∠α+∠β＝180°，如图：
∴2x﹣30+x＝180°，
解得：x＝70，
∴∠α＝110°
综上所述：∠α＝30°或110°，
故答案为：30°或110°．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，将△ABC沿某一个方向平移8个单位．记△ABC扫过的面积为S，则下列说法正确的是 　①②　（填写字号）．
①线段CA是点C到线段AB的距离；
②a＞b的依据是垂线段最短；
③点A到线段BC的距离为；
④若a＝s，b＝4，c＝3，则S的最小值为．
【解答】解：①线段CA的长度是点C到线段AB的距离，故原说法错误；
②a＞b的依据是垂线段最短，原说法正确；
③∵△ABC的面积为：bc，
∴点A到线段BC的距离为，原说法正确；
④若a＝s，b＝4，c＝3，则a＝s＝，当△ABC沿BC方向平移8个单位时，S＝8×＝＜，原说法错误．
故答案为：②③．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（9分）（1）计算：|﹣2|++；
（2）解方程：（x﹣1）2＝4．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+5+
＝7；
（2）开方得：x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
18．（9分）如图，∠AOB＝58°，在∠AOB内部有一点P．
（1）过点P作直线PC∥OB，交OA于点C：
（2）过点P作直线PD⊥OB，垂足为点D，交OA于点E；
（3）过点C画直线OB的垂线段CF；
（4）根据所画图形，∠ACF＝　148　°．
【解答】解 ：（1）如图，PC为所作；
（2）如图，PD为所作；
（3）如图，CF为所作；
（4）如图，∵CF⊥OB，
∴∠CFO＝90°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝58°，∠PCF＝∠CFO＝90°，
∴∠ACF＝∠ACP+∠PCF＝58°+90°＝148°．
故答案为：148．
19．（9分）完成下面的证明．
已知：△ABC，求证∠A+∠B+∠C＝180°．
证：延长BA至点E，过点A作AF∥BC
∵AF∥BC（已作）
∴∠FAC＝　∠C　（两直线平行，内错角相等）
∠EAF＝∠B（ 　两直线平行，同位角相等　）
又∵∠EAF+∠FAC+∠BAC＝180°
∴∠B+∠C+∠BAC＝180°（ 　等量代换　）
【解答】证：延长BA至点E，
过点A作AF∥BC．
∵AF∥BC（已作）
∴∠FAC＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
∵∠EAF＝∠B（两直线平行，同位角相等），
又∵∠EAF+∠FAC+∠BAC＝180°，
∴∠B+∠C+∠BAC＝180°（等量代换）．
故答案为：∠C；两直线平行，同位角相等；等量代换．
20．（9分）如图，AB∥CD∥FH∥GM，且∠EFH＝∠GMN．
（1）求证：EG∥HN；
（2）若∠AEG＝75°，求∠HNC．
【解答】（1）证明：FH∥GM，
∴∠EFH＝∠EGM，
∵∠EFH＝∠GMN，
∴∠EGM＝∠GMN，
∴EG∥HN；
（2）解：∵∠AEG＝75°，AB∥GM，
∴∠EGM＝∠AEG＝75°，
∵EG∥HN，
∴∠EGM+∠GMH＝180°，
∴∠GMH＝105°，
∵CD∥GM，
∴∠HNC＝∠GMH＝105°．
21．（9分）已知一个正数a的两个平方根分别为2m+1和5n+7，＝0．
（1）求m和n的值：
（2）求3a﹣2m的平方根．
【解答】解：（1）由平方根的性质得，2m+1+5n+7＝0，2m+n＝0，
解得：m＝1，n＝﹣2，
（2）这个正数a＝（2m+1）2＝32＝9；
当a＝9，m＝1时，3a﹣2m＝27﹣2＝25，
∵25的平方根是±5，
∴3a﹣2m的平方根为±5．
22．（9分）如图，小华用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）则大正方形边长的为 　20　cm．
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2？
（3）小华手中有一个面积为628cm2的圆．请问，这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形吗？请说明理由．（π取3.14）
【解答】解：（1）大正方形的边长是＝20（cm），
故答案为：20；
（2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x 3x＝360，
解得：x＝±，
根据题意得，x取正值，则x＝，
则4x＝4cm＞20cm，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2；
（3）这个圆可以以完全覆盖拼成的大正方形，
理由：设圆的半径为rcm，
则3.14r2＝628，
∴r＝10，
∴圆的直径为20cm，
∵大正方形的对角线长为20cm，
∴这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形．
23．（9分）为了保障学生安全，学校在操场两侧各安装了一枚探照灯，便于夜间对整个校园进行巡视．如图1，操场两侧MN∥PQ，且测得∠BAQ＝45°．灯A射线自AP顺时针转至AQ便立即回转，灯B射线自BN顺时针转至BM便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，若灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足+|2b﹣4|＝0．
（1）求a，b的值．
（2）若灯B射线先转动5秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线与AB重合之前，灯A转动几秒，可以使两灯射线平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯B射线到达BM之前，若射出的光束交于点C，作∠NBC的角平分线交AC的延长线于点D．若t秒后，为定值，请你直接写出t的取值范围 　45＜t＜67.5　．
【解答】解：
（1）∵+|2b﹣4|＝0，
∴，|2b﹣4|＝0，
∴a＝3，b＝2．
（2）如图1所示：
∵灯B转动的速度是2°/秒，
∴先转动5秒也即先转动10°，
∵∠BAQ＝45°，
∴灯A转动x秒后，∠MAB＝180°﹣45°﹣3x，
∠ABQ＝180°﹣45°﹣2x﹣10°，
当两灯射线平行时，则MA∥BQ，
∴∠MAB＝∠ABQ，
即180°﹣45°﹣3x＝180°﹣45°﹣2x﹣10°，
解得x＝10（秒），
∴灯A转动10秒，可以使两灯射线平行．
（3）如图2所示：
经过t秒，∠NBC＝2t，∠PAC＝3t，
∵BD平分∠NBC，所以∠NBD＝t，
∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝3t﹣135°，
∴∠D＝180°﹣∠DBA﹣∠BAC＝180°﹣（135°﹣t）﹣（3t﹣135°）＝180°﹣2t，
∵∠BAC＝3t﹣135°，
∴＝90°﹣t+t﹣45°＝45°．
∴当灯A射线与AB重合时，3t＝135°，
∴t＝45（秒），
当灯B射线与AB重合时，2t＝135°，
∴t＝67.5（秒），
当灯A射线返回过程中再次与AB重合时，3t＝225，
∴t＝75（秒），
∴为定值，t的取值范围是45＜t＜67.5．
24．（9分）（1）如图1，已知AB∥CD．直接写出∠A，∠C，∠E的数量关系 　∠DCE＝∠E+∠A　．
（2）如图2，已知AB∥CD．∠DCE的平分线的延长线与∠FAE的平分线相交于点H．若∠E＝20°，
求∠H；
（3）如图3，∠DCE的平分线的延长线与∠BAE的平分线相交于点P．若∠E+2∠P＝360°，求证：AB∥CD．
【解答】（1）解：如图，延长DC交AE于点M，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DME，
∵∠DCE＝∠E+∠DME，
∴∠DCE＝∠E+∠A，
故答案为：∠DCE＝∠E+∠A；
（2）解：延长GH，交BF于点M，
设∠DCG＝∠ECG＝α，∠DCE＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠AMG＝∠DCG＝α，
由（1）得，∠DCE＝∠E+∠BAE，
∵∠E＝20°，
∴2α＝20°+∠BAE，
∴∠BAE＝2α﹣20°，
∵∠BAE+∠MAE＝180°，
∴∠MAE＝180°﹣（2α﹣20°）＝200°﹣2α，
∵AH平分∠FAE，
∴∠MAH＝∠HAE＝100°﹣α，
∴∠AHC＝∠AMG+∠MAH＝α+（100°﹣α）＝100°；
（3）证明：如图，过点P作MN∥AB，
∵∠E+2∠APC＝360°，∠E+∠APC+∠EAP+∠ECP＝360°，
∴∠APC＝∠EAP+∠ECP＝∠1+∠ECP，
∵MN∥AB，
∴∠2＝∠3，
∵AP平分∠EAB，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴∠APC＝∠1+∠4，
∴∠4＝∠ECP，
∴∠4+∠ECG＝180°，
∵∠4+∠NPG＝180°，
∴∠NPG＝∠ECG＝∠GCD，
∴AB∥CD．
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人教版2023年七年级下学期数学第一次月考试卷三（含解析）