福建省三明市重点中学2022-2023高一下学期第一次月考数学试题（含答案）

三明市重点中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题
（考试时间：120分钟满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
2．已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
3．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．用斜二测画法画的直观图为如图所示的，其中，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，，，设，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．如下图1是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥．图2是根据图1作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）．在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知，，，．根据物理学知识得，则（ ）
A．20m B．22m C．28m D．31m
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，共线，则
C．若且，则 D．对于任意向量，，有
10．如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是（ ）
A．A与B B．D与E C．B与D D．C与F
11．设，，为复数，且．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C．若，则 D．若则
12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若，且，O为的内心，则
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若，则______．
14．设，则______．
15．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的高为______；侧面积为______．
16．我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，AB是窗户的高度，BC是遮阳篷的安装高度，CD是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为，窗户高度．为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装长度______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。
17．（10分）
在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，已知，，______，解这个三角形．
18．（12分）
已知向量，．
（1）求的最小值；
（2）若，求向量的坐标．
19．（12分）
在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，，D在线段AB上，且满足，求线段CD的长．
20．（12分）
在复平面内，O为坐标原点，复数是关于x的方程的一个根．
（1）求实数m，n的值；
（2）若复数，，，所对应的点分别为A，B，C，记的面积为，的面积为，求．
21．（12分）
如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，，，，C是上的一个动点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）求四棱锥的体积的最大值．
22．（12分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求内角A的角平分线AD长的最大值．
高一数学参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A C D C B B
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 BD ABD BCD ACD
三、填空题
13． 14． 15． 16．
四、解答题
17．解：方案一：选条件①．
由正弦定理，得，
由三角形内角和定理，得，
由正弦定理，得得
方案二：选条件②．
解法一：由正弦定理，得，
因为，所以，所以，
由三角形内角和定理，得，
由正弦定理，得
解法二：由余弦定理，得，即，
整理得，解得（舍），或，
由正弦定理，得，
因为，所以，所以，
由三角形内角和定理，得．
18．解法一：（1）设，因为，
所以，从而，由，得，
由，得，
当且仅当，即时等号成立；
所以的最小值为2．
（2）设，
由，得，①
由，得，故，
即，②
联立①②，解得或
所以或．
解法二：设，
由，得，①
（1）所以
；
故当，时有最小值2；
（2）由，得，故，
即，②
联立①②，解得或
所以或．
19．解法一：（1），
由正弦定理，得，即，
又由余弦定理得，且，得．
（2）结合（1）由余弦定理得，即，
则，所以，
又，即，则，
则在中，，得．
解法二：（1）同解法一
（2）因为，所以，
所以
，
所以．
20．解法一：（1）依题意，，
整理得，
于是，有
解得，．
（2）由（1）知，因为，
所以，
所以，，．
从而，，，
可知，所以．
解法二：（1）依题意，是方程的另一个根，
于是，有解得，．
（2）由（1）知，因为，
所以，
可知，所以．
21．解：中，，，，
由余弦定理，得
，
所以，设圆柱底面半径为r，
由正弦定理，得，
所以，故圆柱的表面积．
（2）由（1）知，中，，，
由余弦定理，得
，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，，
所以四棱锥的体积，
，
故四棱锥的体积的最大值为．
22．解法一：（1）由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，
因为，所以，所以；
（2）由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
设BC边上的高为h，因为AD是角A的角平分线，所以，
所以，由，可得，
不妨设，则
，，，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，所以AD长的最大值为．
解法二：（1）同解法一
（2）由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
因为AD为角A的角平分线，所以，
又，所以，所以，
不妨设，，则，故，
延长AD至点E，使得，连接CE，
则，又，
所以，故，，则，，
则，，
在中，由余弦定理，得，
即，因为，所以，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，故．
所以AD长的最大值为．

福建省三明市重点中学2022-2023高一下学期第一次月考数学试题（含答案）