3.4.2 完全平方公式同步练习（含答案）

3.4　乘法公式
第2课时 完全平方公式
一、选择题
1．(1－x)2＝(　　)
A．1－x2 B．1＋x2 C．1－2x＋x2 D．1＋2x＋x2
2．下列各式中，与(－a－1)2相等的是(　　)
A．a2－1 B．a2＋2a＋1 C．a2－2a＋1 D．a2＋1
3．若(x＋m)2＝x2－6x＋n，则m，n的值分别为(　　)
A．3，9 B．3，－9 C．－3，9 D．－3，－9
4．下列运算正确的是(　　)
A．2x2y＋3xy＝5x3y2 B．(－2ab2)3＝－6a3b6
C．(3a＋b)2＝9a2＋b2 D．(3a＋b)(3a－b)＝9a2－b2
5．【2022·百色】如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是(　　)
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D．(ab)2＝a2b2
6．如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式(　　)
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝(a＋b)2－4ab D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
7．设(a＋2b)2＝(a－2b)2＋A，则A＝(　　)
A．8ab B．－8ab C．8b2 D．4ab
8．下列变形中，错误的是(　　)
①(b－4c)2＝b2－16c2；
②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；
④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．【2021·台州】已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝(　　)
A．24 B．48 C．12 D. 2
10．已知：(x＋y)2＝12，(x－y)2＝4，则x2＋3xy＋y2的值为(　　)
A．8 B．10 C．12 D．14
11．已知a＋＝4，则a2＋的值是(　　)
A．4 B．16 C．14 D．15
二、填空题
12．已知x2＋y2＝17，xy＝4，则(x＋y)2＝________．
13．填空：(1)(a＋2b)2＝a2＋4ab＋__________；
(2)4x2－__________＋1＝(2x－1)2；
(3)(________－2)2 ＝4x2－8x＋________．
14．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果x2＋■＋16，但其中一项被小明不小心染黑了，你认为这一项是__________．
15．设M＝x＋y，N＝x－y，P＝xy.若M＝1，N＝2，则P＝________．
16．观察等式：①9－1＝2×4；②25－1＝4×6；③49－1＝6×8，…，按照这种规律写出第n个等式：________________________．
三、解答题
17．计算：
(1)(x＋1)(x－1)－(x＋2)2；
(2)；
(3)2 0222－4 044×2 021＋2 0212.
18．一个底面是正方形的长方体，高为6 cm，底面正方形边长为5 cm．如果它的高不变，底面正方形的边长增加了a cm，那么它的体积增加了多少？
19．定义新运算“※”：x※y＝xy＋x2－y2，化简(2a＋3b)※(2a－3b)，并求出当a＝2，b＝1时(2a＋3b)※(2a－3b)的值．
20．(1)已知a2＋b2＝10，a＋b＝4，求a－b的值．
(2)关于x的代数式(ax－3)(2x＋1)－2x2＋m化简后不含x2项与常数项，且an2＋mn＝1，求2n3＋5n2－5n＋2 023的值．
21．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了(a＋b)n(n＝1，2，3，4，…)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序)：
1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1
……
(a＋b)1＝a＋b
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
……
请依据上述规律，直接写出展开式中含x2 020的项的系数．

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参考答案
一、选择题
1．(1－x)2＝(　C　)
A．1－x2 B．1＋x2 C．1－2x＋x2 D．1＋2x＋x2
2．下列各式中，与(－a－1)2相等的是(　B　)
A．a2－1 B．a2＋2a＋1 C．a2－2a＋1 D．a2＋1
3．若(x＋m)2＝x2－6x＋n，则m，n的值分别为(　C　)
A．3，9 B．3，－9 C．－3，9 D．－3，－9
4．下列运算正确的是(　D　)
A．2x2y＋3xy＝5x3y2 B．(－2ab2)3＝－6a3b6
C．(3a＋b)2＝9a2＋b2 D．(3a＋b)(3a－b)＝9a2－b2
5．【2022·百色】如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是(　A　)
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D．(ab)2＝a2b2
6．如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式(　A　)
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝(a＋b)2－4ab D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
7．设(a＋2b)2＝(a－2b)2＋A，则A＝(　A　)
A．8ab B．－8ab C．8b2 D．4ab
8．下列变形中，错误的是(　A　)
①(b－4c)2＝b2－16c2；
②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；
④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．【2021·台州】已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝(　C　)
A．24 B．48 C．12 D. 2
10．已知：(x＋y)2＝12，(x－y)2＝4，则x2＋3xy＋y2的值为(　D　)
A．8 B．10 C．12 D．14
【解析】先利用完全平方公式展开，再把两个等式相加可得x2＋y2＝8，把两个等式相减可得xy＝2，最后代入求值即可．
11．已知a＋＝4，则a2＋的值是(　C　)
A．4 B．16 C．14 D．15
【解析】∵＝a2＋＋2，∴a2＋＝－2＝16－2＝14.
二、填空题
12．已知x2＋y2＝17，xy＝4，则(x＋y)2＝________．
【答案】25
13．填空：(1)(a＋2b)2＝a2＋4ab＋__________；
(2)4x2－__________＋1＝(2x－1)2；
(3)(________－2)2 ＝4x2－8x＋________．
【答案】4b2 4x 2x 4
14．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果x2＋■＋16，但其中一项被小明不小心染黑了，你认为这一项是__________．
【答案】±8x或x4
15．设M＝x＋y，N＝x－y，P＝xy.若M＝1，N＝2，则P＝________．
【答案】－
【解析】(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2＝1，
(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝4，
两式相减得4xy＝－3，
解得xy＝－，则P＝－.
16．观察等式：①9－1＝2×4；②25－1＝4×6；③49－1＝6×8，…，按照这种规律写出第n个等式：________________________．
【答案】(2n＋1)2－1＝2n(2n＋2)
三、解答题
17．计算：
(1)(x＋1)(x－1)－(x＋2)2；
解：原式＝x2－1－(x2＋4x＋4)＝x2－1－x2－4x－4＝－4x－5.
(2)；
解：原式＝＝602＋2×60×＋＝3 600＋2＋＝3 602.
(3)2 0222－4 044×2 021＋2 0212.
解：原式＝2 0222－2×2 022×2 021＋2 0212＝(2 022－2 021)2＝1.
18．一个底面是正方形的长方体，高为6 cm，底面正方形边长为5 cm．如果它的高不变，底面正方形的边长增加了a cm，那么它的体积增加了多少？
解：6(5＋a)2－6×52
＝6(25＋10a＋a2)－6×25
＝6×25＋60a＋6a2－6×25
＝60a＋6a2(cm3)．
答：它的体积增加了(60a＋6a2)cm3.
19．定义新运算“※”：x※y＝xy＋x2－y2，化简(2a＋3b)※(2a－3b)，并求出当a＝2，b＝1时(2a＋3b)※(2a－3b)的值．
解：(2a＋3b)※(2a－3b)＝
(2a＋3b)(2a－3b)＋(2a＋3b)2－(2a－3b)2
＝4a2－9b2＋4a2＋12ab＋9b2－4a2＋12ab－9b2
＝4a2－9b2＋24ab，
当a＝2，b＝1时，
原式＝16－9＋48＝55.
20．(1)已知a2＋b2＝10，a＋b＝4，求a－b的值．
解：∵a2＋b2＝10，a＋b＝4，
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝16.
∴2ab＝16－10＝6.
∴(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝4.
∴a－b＝±2.
(2)关于x的代数式(ax－3)(2x＋1)－2x2＋m化简后不含x2项与常数项，且an2＋mn＝1，求2n3＋5n2－5n＋2 023的值．
解：∵(ax－3)(2x＋1)－2x2＋m
＝2ax2＋ax－6x－3－2x2＋m
＝(2a－2)x2＋(a－6)x＋m－3.
∵不含x2项与常数项，
∴2a－2＝0，m－3＝0.∴a＝1，m＝3.
∵an2＋mn＝1，
∴n2＋3n＝1.
∴2n3＋5n2－5n＋2 023
＝2n3＋6n2－n2－5n＋2 023
＝2n(n2＋3n)－n2－5n＋2 023
＝2n－n2－5n＋2 023
＝－(n2＋3n)＋2 023
＝－1＋2 023＝2 022.
21．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了(a＋b)n(n＝1，2，3，4，…)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序)：
1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1
……
(a＋b)1＝a＋b
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
……
请依据上述规律，直接写出展开式中含x2 020的项的系数．
解：－4 044.　
【解析】首先确定含x2 020的项是展开式中第二项，根据“杨辉三角”，的展开式的第二项为2 022x2 021·，所以含x2 020的项的系数为－4 044.

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3.4.2 完全平方公式同步练习（含答案）