安徽省宿州市2023届高三下学期第一次教学质量检测数学试题

安徽省宿州市2023届高三下学期第一次教学质量检测数学试题
一、单选题
1．（2023·宿州模拟）已知集合，，则的元素个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意可得，，
根据交际运算可得，所以的元素个数为2.
故选：C
【分析】求出集合B，然后进行交集的运算得，即可得答案.
2．（2019高二下·湖州期中）设复数z满足 ，则z= （　　）
A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由 ，
得 = ，
故答案为：A.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数z的代数表达式。
3．（2023·宿州模拟）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由可得，即充分性成立；
当时，可得；所以必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【分析】根据二倍角的余弦公式以及充分条件、必要条件的定义可得答案.
4．（2023·宿州模拟）我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方. 记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（　　）
A．
B．7阶幻方第4行第4列的数字为25
C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260
D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为.
对A，，A对；
对B，7阶幻方有7行7列，故第4行第4列的数字该数列的中间值，即，B对；
对C，8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，C对；
对D，9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，D错.
故选：D
【分析】利用等差数列的求和公式得到，可判断A；根据n阶幻方的定义，进而求出第4行第4列的数字该数列的中间值，可判断B；求出8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和，可判断C；求出9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和，可判断D.
5．（2023·宿州模拟）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质；函数的图象
【解析】【解答】函数的定义域为，
又可化为，
所以，
所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，C，D错误；
令，可得，解得或（舍去），
所以函数的零点为，，
取可得，B错误，
故选：A.
【分析】根据奇函数的定义证明为奇函数，再求函数的零点，通过取特殊值可得答案.
6．（2023·宿州模拟）设，若，则（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题可知，，所以；
同理可得；
由可得，即，
所以，即，
解得.
故选：D
【分析】 由题意，利用二项式展开式的通项公式，可得，再利用组合数的计算公式，求得n值.
7．（2023·宿州模拟）已知是双曲线上不同的三点，且，直线AC，BC的斜率分别为，（），若的最小值为1，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】基本不等式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据题意，由可得原点是的中点，所以两点关于原点对称；
不妨设，因为，所以，
易知，又因为A、B，C都在双曲线上，
所以，两式相减可得，即，
所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立；
所以，即，可得，即离心率.
故选：A.
【分析】根据向量共线可知A ， B两点关于原点对称，分别设出A，B，C三点的坐标，利用点差法点差法表示出 ，，根据基本不等式求得取最小值时满足a=2b，计算即可求得双曲线的离心率 .
8．（2023·宿州模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，
，
，
∴，
∴，，
∴.
故选：B.
【分析】 由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得，
即可判断大小.
二、多选题
9．（2023·宿州模拟）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为
D．若，则向量与的夹角为锐角
【答案】A,B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的投影
【解析】【解答】若，根据平面向量共线性质可得，即，所以A正确；
若，可得，即，解得，所以B正确；
若，，由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，即C错误；
若，则，所以；
但当时，，即此时向量与的夹角为零角，所以D错误.
故选：AB
【分析】根据向量线性运算即数量积公式可判断A、B；根据投影向量定义可得向量在上的投影向量为，可判断C；由可得，但此时向量 与 的夹角可以为零角并非锐角，可判断D.
10．（2023·宿州模拟）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象的一条对称轴方程是
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象
【答案】A,B
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的周期性
【解析】【解答】已知函数（，），
其图像相邻对称中轴间的距离为，故最小正周期， ，
点是其中一个对称中心， 有，
，，由，∴，
可以求得.最小正周期，故选项正确；
由于，所以是函数图象的一条对称轴方程，故选项正确；
时，正弦曲线的先增后减，故选项错误；
将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到，选项D错误.
故选：AB.
【分析】由题意求出，由图像的对称性求出φ的值，可得f (x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐项进行判断，可得答案.
11．（2023·宿州模拟）已知，且，则下列不等关系成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】对数的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立，即A正确；
易知，当且仅当时，等号成立，即B正确；
由重要不等式和对数运算法则可得：
，当且仅当且仅当时，等号成立，即C正确；
由可得，所以，
若，即证明，即
即需证明，
令函数，则，
当时，，即在上单调递增，
所以时，解不等式可得即可，即时不等式成立；
当时，，即在上单调递减，解不等式可得，即时不等式才成立；
综上可知，当时，不等式才成立，所以D错误.
故选：ABC
【分析】利用基本不等式可判断选项A、B；利用对数运算法则和重要不等式可判断C；将不等式化简整理可得，构造函数，利用函数单调性即可判断D.
12．（2023·宿州模拟）棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱AD，，的中点，过点E，F，G的平面记为平面，则下列说法正确的是（　　）
A．平面
B．平面
C．平面截正方体外接球所得圆的面积为
D．正方体的表面上与点E的距离为的点形成的曲线的长度为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积；向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解析】【解答】建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，
对A，设平面的法向量为，，，，
则有，令得，
由，而FG不在平面ACB1中，
故平面，A对；
对B，，，由，，
∵平面，故平面，B对；
对C，设，则O为正方体外接球心，，外接球半径，
设平面，由，，平面，则，故与重合，
故平面截正方体外接球所得圆的面积为，C错；
对D，由题意，所求的点可看作正方体与半径为的球E的交点，则由球的性质，
在表面上，∵，故只有两个交点，不形成曲线；
在表面上，形成的曲线为以为圆心，半径为的圆与正方形交得的圆弧，长度为；
在表面上，形成的曲线为以中点为圆心，半径为的圆与正方形交得的圆弧，长度为.
由正方体的对称性，所求的曲线长度为，D对.
故选：ABD.
【分析】建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示，利用向量法判断线面平行、线面垂直，可判断A，B；由向量法求点面距离判断外接球到及所截圆心重合，进而可求面积，可判断C；将所求曲线转化为球截面上的圆弧长，进而逐个表面讨论，即可判断D.
三、填空题
13．（2023·宿州模拟）一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数a的值为　 　.
【答案】5
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程
【解析】【解答】，，由线性回归方程过中心点得.
故答案为：5
【分析】求出中心点，由线性回归方程过中心点，列方程求解，可得实数a的值.
14．（2023·宿州模拟）若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为　 　.
【答案】（答案不唯一）
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当时，.
可取，则满足条件的抛物线方程为.
故答案为：（答案不唯一）
【分析】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解可得答案.
15．（2023·宿州模拟）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和　 　.
【答案】
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】数列的前n项和为，，，当时，，
两式相减得：，即，而，解得，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
，
所以.
故答案为：
【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项，再利用裂项相消法求解，可得答案.
16．（2023·宿州模拟）已知函数（e为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由，令，
令，则在上单调递增，.
（1）当时，恒成立，即函数在上单调递增，则有，解得；
（2）当时，则存在使得，则时，，在上单调递减；时，，在上单调递增.
∴，又，∴.
∵，令，，则，∴在上单调递减.
则，故.
综上，.
故答案为：
【分析】先将命题转化为在x∈(0， +∞)上恒成立，令，运用二阶求导法讨论g (x)的单调性及最值，对a分类讨论，利用g (x)最小值列不等式求解，即可得实数a的取值范围 .
四、解答题
17．（2023·宿州模拟）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：由正弦定理可得，即，
由余弦定理的变形得，
又，所以.
（2）解：由得，且，
所以，
所以，
因为，从而，
所以，从而.
即的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解出角A的大小；
(2)由(1)可知 ，则 ，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可得 的取值范围.
18．（2023·宿州模拟）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，为棱靠近点的三等分点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明：记为棱靠近点的三等分点，连接
又为棱靠近点的三等分点.
所以，且，
又且，
所以且，即四边形ADEF为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：在BC上取一点G，使得，所以，
又，知四边形AGCD为矩形，从而，
又底面ABCD，所以AG，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，
从而，，，
设平面的法向量为，则
，即，
取，可得，
为平面PBC的一个法向量，则
，
设与平面所成的角为，则
，
即与平面所成的角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)设F为棱PB靠近点P的三等分点，连接EF，AF，先证明DE// AF，再根据线面平行的判定定理，即可证明出 平面；
(2) 以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 求直线DE的方向向量和平面PBC的法向量，根据向量夹角公式，即可求解出 与平面所成的角的正弦值.
19．（2023·宿州模拟）在数列中，，且.
（1）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求.
【答案】（1）证明：因为，
所以，即，
又，
所以，又，
所以，数列为以1为首项，4为公差的等差数列，
所以.
（2）解：因为，
所以，即
所以
.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
(2)利用(1)的结论，进一步利用分组法求和法，求出 .
20．（2023·宿州模拟）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为.
（1）求n的值；
（2）若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：由题知，共有个机房，抽取2个机房有种方法，
其中全是小机房有种方法，
因此全是小机房的概率为，解得.
即n的值为4.
（2）解：X的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
则随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则X的数学期望.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据古典概型计算公式可得 ，求解可得 n的值；
(2)易知随机变量X的可能取值，利用超几何分布可求得其对应概率，即可得 X的分布列和数学期望.
21．（2023·宿州模拟）已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M作圆的两条切线，切点分别为，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求的面积的取值范围.
【答案】（1）解：设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，
的周长为，离心率
联立，解得，，
所以，
即椭圆C的标准方程.
（2）解：设点，又为切点，可知，
所以四点共圆，即在以OM为直径的圆上，
则以OM为直径的圆的方程为，
又在圆上，
两式相减得直线AB的方程为，如下图所示：
设，，由，
消去y整理后得，
，，
所以
，
又点O到直线PQ的距离，
设的面积为S，则
，
其中，令，则，
设，，则，
所以在区间上单调递增，从而得，
于是可得，
即的面积的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由离心率的值和三角形的周长，可得a，c的值，进而求出b的值，求出椭圆C的标准方程；
(2)设M的坐标，代入椭圆的方程，可得M的横纵坐标的关系， 求出切点AB的直线方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出弦长|PQ|的值，再求O到直线PQ的距离d ，代入三角形的面积公式，换元，由函数的单调性，可得 的面积的取值范围.
22．（2023·宿州模拟）已知函数（e为自然对数的底数），a，.
（1）当时，讨论在上的单调性；
（2）当时，若存在，使，求a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，的定义域为，，
当，即时，且不恒为0，所以在上单调递增；
当时，方程有两不等正根，
结合定义域由可得，由可得，
所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，方程有一负根和一正根，
结合定义域由可得，由可得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可知：
当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）解：法一：分离变量可得：，令，，则
，
易得当时，，且，从而，
所以在单调递减，于是.
即a的取值范围为.
法二：当时，，令，，则，即为，
而在上单调递减，所以当时，，
又，
i. 当，即时，，符合题意；
ii. 当时，由（1）知在上是增函数，恒有，故不存在，使；
iii. 当时，由于时，，所以，
令，则，所以在上是增函数，最大值为，
又，所以，此时恒有，
因此不存在，使.
综上可知，，即a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)对a分类讨论，结合二次函数的性质，由导数法求出 在上的单调性；
(2)由分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出a的取值范围.
安徽省宿州市2023届高三下学期第一次教学质量检测数学试题
一、单选题
1．（2023·宿州模拟）已知集合，，则的元素个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2019高二下·湖州期中）设复数z满足 ，则z= （　　）
A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i
3．（2023·宿州模拟）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·宿州模拟）我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方. 记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（　　）
A．
B．7阶幻方第4行第4列的数字为25
C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260
D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396
5．（2023·宿州模拟）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023·宿州模拟）设，若，则（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2023·宿州模拟）已知是双曲线上不同的三点，且，直线AC，BC的斜率分别为，（），若的最小值为1，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
8．（2023·宿州模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·宿州模拟）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为
D．若，则向量与的夹角为锐角
10．（2023·宿州模拟）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象的一条对称轴方程是
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象
11．（2023·宿州模拟）已知，且，则下列不等关系成立的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2023·宿州模拟）棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱AD，，的中点，过点E，F，G的平面记为平面，则下列说法正确的是（　　）
A．平面
B．平面
C．平面截正方体外接球所得圆的面积为
D．正方体的表面上与点E的距离为的点形成的曲线的长度为
三、填空题
13．（2023·宿州模拟）一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数a的值为　 　.
14．（2023·宿州模拟）若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为　 　.
15．（2023·宿州模拟）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和　 　.
16．（2023·宿州模拟）已知函数（e为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数a的取值范围是　 　.
四、解答题
17．（2023·宿州模拟）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
18．（2023·宿州模拟）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，为棱靠近点的三等分点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
19．（2023·宿州模拟）在数列中，，且.
（1）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求.
20．（2023·宿州模拟）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为.
（1）求n的值；
（2）若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.
21．（2023·宿州模拟）已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M作圆的两条切线，切点分别为，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求的面积的取值范围.
22．（2023·宿州模拟）已知函数（e为自然对数的底数），a，.
（1）当时，讨论在上的单调性；
（2）当时，若存在，使，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意可得，，
根据交际运算可得，所以的元素个数为2.
故选：C
【分析】求出集合B，然后进行交集的运算得，即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由 ，
得 = ，
故答案为：A.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数z的代数表达式。
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由可得，即充分性成立；
当时，可得；所以必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【分析】根据二倍角的余弦公式以及充分条件、必要条件的定义可得答案.
4．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为.
对A，，A对；
对B，7阶幻方有7行7列，故第4行第4列的数字该数列的中间值，即，B对；
对C，8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，C对；
对D，9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，D错.
故选：D
【分析】利用等差数列的求和公式得到，可判断A；根据n阶幻方的定义，进而求出第4行第4列的数字该数列的中间值，可判断B；求出8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和，可判断C；求出9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和，可判断D.
5．【答案】A
【知识点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质；函数的图象
【解析】【解答】函数的定义域为，
又可化为，
所以，
所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，C，D错误；
令，可得，解得或（舍去），
所以函数的零点为，，
取可得，B错误，
故选：A.
【分析】根据奇函数的定义证明为奇函数，再求函数的零点，通过取特殊值可得答案.
6．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题可知，，所以；
同理可得；
由可得，即，
所以，即，
解得.
故选：D
【分析】 由题意，利用二项式展开式的通项公式，可得，再利用组合数的计算公式，求得n值.
7．【答案】A
【知识点】基本不等式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据题意，由可得原点是的中点，所以两点关于原点对称；
不妨设，因为，所以，
易知，又因为A、B，C都在双曲线上，
所以，两式相减可得，即，
所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立；
所以，即，可得，即离心率.
故选：A.
【分析】根据向量共线可知A ， B两点关于原点对称，分别设出A，B，C三点的坐标，利用点差法点差法表示出 ，，根据基本不等式求得取最小值时满足a=2b，计算即可求得双曲线的离心率 .
8．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，
，
，
∴，
∴，，
∴.
故选：B.
【分析】 由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得，
即可判断大小.
9．【答案】A,B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的投影
【解析】【解答】若，根据平面向量共线性质可得，即，所以A正确；
若，可得，即，解得，所以B正确；
若，，由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，即C错误；
若，则，所以；
但当时，，即此时向量与的夹角为零角，所以D错误.
故选：AB
【分析】根据向量线性运算即数量积公式可判断A、B；根据投影向量定义可得向量在上的投影向量为，可判断C；由可得，但此时向量 与 的夹角可以为零角并非锐角，可判断D.
10．【答案】A,B
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的周期性
【解析】【解答】已知函数（，），
其图像相邻对称中轴间的距离为，故最小正周期， ，
点是其中一个对称中心， 有，
，，由，∴，
可以求得.最小正周期，故选项正确；
由于，所以是函数图象的一条对称轴方程，故选项正确；
时，正弦曲线的先增后减，故选项错误；
将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到，选项D错误.
故选：AB.
【分析】由题意求出，由图像的对称性求出φ的值，可得f (x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】A,B,C
【知识点】对数的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立，即A正确；
易知，当且仅当时，等号成立，即B正确；
由重要不等式和对数运算法则可得：
，当且仅当且仅当时，等号成立，即C正确；
由可得，所以，
若，即证明，即
即需证明，
令函数，则，
当时，，即在上单调递增，
所以时，解不等式可得即可，即时不等式成立；
当时，，即在上单调递减，解不等式可得，即时不等式才成立；
综上可知，当时，不等式才成立，所以D错误.
故选：ABC
【分析】利用基本不等式可判断选项A、B；利用对数运算法则和重要不等式可判断C；将不等式化简整理可得，构造函数，利用函数单调性即可判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积；向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解析】【解答】建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，
对A，设平面的法向量为，，，，
则有，令得，
由，而FG不在平面ACB1中，
故平面，A对；
对B，，，由，，
∵平面，故平面，B对；
对C，设，则O为正方体外接球心，，外接球半径，
设平面，由，，平面，则，故与重合，
故平面截正方体外接球所得圆的面积为，C错；
对D，由题意，所求的点可看作正方体与半径为的球E的交点，则由球的性质，
在表面上，∵，故只有两个交点，不形成曲线；
在表面上，形成的曲线为以为圆心，半径为的圆与正方形交得的圆弧，长度为；
在表面上，形成的曲线为以中点为圆心，半径为的圆与正方形交得的圆弧，长度为.
由正方体的对称性，所求的曲线长度为，D对.
故选：ABD.
【分析】建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示，利用向量法判断线面平行、线面垂直，可判断A，B；由向量法求点面距离判断外接球到及所截圆心重合，进而可求面积，可判断C；将所求曲线转化为球截面上的圆弧长，进而逐个表面讨论，即可判断D.
13．【答案】5
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程
【解析】【解答】，，由线性回归方程过中心点得.
故答案为：5
【分析】求出中心点，由线性回归方程过中心点，列方程求解，可得实数a的值.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当时，.
可取，则满足条件的抛物线方程为.
故答案为：（答案不唯一）
【分析】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解可得答案.
15．【答案】
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】数列的前n项和为，，，当时，，
两式相减得：，即，而，解得，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
，
所以.
故答案为：
【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项，再利用裂项相消法求解，可得答案.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由，令，
令，则在上单调递增，.
（1）当时，恒成立，即函数在上单调递增，则有，解得；
（2）当时，则存在使得，则时，，在上单调递减；时，，在上单调递增.
∴，又，∴.
∵，令，，则，∴在上单调递减.
则，故.
综上，.
故答案为：
【分析】先将命题转化为在x∈(0， +∞)上恒成立，令，运用二阶求导法讨论g (x)的单调性及最值，对a分类讨论，利用g (x)最小值列不等式求解，即可得实数a的取值范围 .
17．【答案】（1）解：由正弦定理可得，即，
由余弦定理的变形得，
又，所以.
（2）解：由得，且，
所以，
所以，
因为，从而，
所以，从而.
即的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解出角A的大小；
(2)由(1)可知 ，则 ，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可得 的取值范围.
18．【答案】（1）证明：记为棱靠近点的三等分点，连接
又为棱靠近点的三等分点.
所以，且，
又且，
所以且，即四边形ADEF为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：在BC上取一点G，使得，所以，
又，知四边形AGCD为矩形，从而，
又底面ABCD，所以AG，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，
从而，，，
设平面的法向量为，则
，即，
取，可得，
为平面PBC的一个法向量，则
，
设与平面所成的角为，则
，
即与平面所成的角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)设F为棱PB靠近点P的三等分点，连接EF，AF，先证明DE// AF，再根据线面平行的判定定理，即可证明出 平面；
(2) 以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 求直线DE的方向向量和平面PBC的法向量，根据向量夹角公式，即可求解出 与平面所成的角的正弦值.
19．【答案】（1）证明：因为，
所以，即，
又，
所以，又，
所以，数列为以1为首项，4为公差的等差数列，
所以.
（2）解：因为，
所以，即
所以
.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
(2)利用(1)的结论，进一步利用分组法求和法，求出 .
20．【答案】（1）解：由题知，共有个机房，抽取2个机房有种方法，
其中全是小机房有种方法，
因此全是小机房的概率为，解得.
即n的值为4.
（2）解：X的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
则随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则X的数学期望.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据古典概型计算公式可得 ，求解可得 n的值；
(2)易知随机变量X的可能取值，利用超几何分布可求得其对应概率，即可得 X的分布列和数学期望.
21．【答案】（1）解：设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，
的周长为，离心率
联立，解得，，
所以，
即椭圆C的标准方程.
（2）解：设点，又为切点，可知，
所以四点共圆，即在以OM为直径的圆上，
则以OM为直径的圆的方程为，
又在圆上，
两式相减得直线AB的方程为，如下图所示：
设，，由，
消去y整理后得，
，，
所以
，
又点O到直线PQ的距离，
设的面积为S，则
，
其中，令，则，
设，，则，
所以在区间上单调递增，从而得，
于是可得，
即的面积的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由离心率的值和三角形的周长，可得a，c的值，进而求出b的值，求出椭圆C的标准方程；
(2)设M的坐标，代入椭圆的方程，可得M的横纵坐标的关系， 求出切点AB的直线方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出弦长|PQ|的值，再求O到直线PQ的距离d ，代入三角形的面积公式，换元，由函数的单调性，可得 的面积的取值范围.
22．【答案】（1）解：当时，，的定义域为，，
当，即时，且不恒为0，所以在上单调递增；
当时，方程有两不等正根，
结合定义域由可得，由可得，
所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，方程有一负根和一正根，
结合定义域由可得，由可得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可知：
当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）解：法一：分离变量可得：，令，，则
，
易得当时，，且，从而，
所以在单调递减，于是.
即a的取值范围为.
法二：当时，，令，，则，即为，
而在上单调递减，所以当时，，
又，
i. 当，即时，，符合题意；
ii. 当时，由（1）知在上是增函数，恒有，故不存在，使；
iii. 当时，由于时，，所以，
令，则，所以在上是增函数，最大值为，
又，所以，此时恒有，
因此不存在，使.
综上可知，，即a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)对a分类讨论，结合二次函数的性质，由导数法求出 在上的单调性；
(2)由分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出a的取值范围.

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