广东省深圳市宝安第一外国语学校2021-2022学年高二下学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2022高二下·宝安期中）已知函数，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】因为，
所以
。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合导数与函数的极限的关系，进而得出的值。
2．（2022高二下·宝安期中）某射手射击所得环数的分布列如下表：
7 8 9 10
0.1 0.3
已知的数学期望，则的值为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由表格可知，，解得.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合概率的基本性质和随机变量的数学期望公式，进而得出x，y的值。
3．（2022高二下·宝安期中）某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（ ）
A．0.0689 B．0.049 C．0.0248 D．0.02
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为
0.0248．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和全概率公式，进而得出随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率。
4．（2022高二下·宝安期中）已知为坐标原点，曲线：在点处的切线交轴于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为，所以点处切线方程为，
令，得，所以的坐标为，
则，
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合导数求切线方程的方法和赋值法得出点B的坐标，再结合三角形的面积公式得出的值。
5．（2022高二下·宝安期中）某校的全员核酸检测共安排了三处检测点，现将招募的8名教师志愿者分配到这三处检测点，每处需要2至4名志愿者，则不同的安排方法有（ ）
A．1960种 B．2940种 C．4410种 D．5880种
【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】根据题意，这8名志愿者分配到三个核酸检测点处的志愿者数目为2，3，3或2，2，4．所以不同的安排方法一共有种．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分类加法计数原理，进而得出不同的安排方法种数。
6．（2022高二下·宝安期中）目前，新型冠状病毒席卷上海，一方有难八方支援，全国各地医疗队伍紧急支援上海，我市某医院决定从8名医生中选派4名分别支援上海四家医院，每家医院各派去1名医生，其中甲和乙不能都去上海，甲和丙只能都去或都不去上海，则不同的选派方案有（ ）种
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】若甲去上海，乙不去上海，则丙去上海，只需从剩余5人中选出2人，再分配即可，此时有：种情况；
若甲不去上海，乙不去上海，则丙不去上海，只需从剩余5人中选出4人，再分配即可，
此时有：种情况；
若甲不去上海，乙去上海，则丙不去上海，只需从剩余5人中选出3人，再分配即可，
此时有：种情况；
故共有：种情况.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分类加法计数原理，进而得出不同的选派方案的种数。
7．（2022·泰安模拟）已知随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因为随机变量 服从正态分布 ，
由对称性可知， ，
又 ，
所以 ，
故 .
故答案为：A.
【分析】 根据随机变量X服从正态分布，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到答案.
8．（2022高二下·宝安期中）甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】随机变量可能的取值为.
.
，
故的分布列为：
2 3
故
因为，故，而，A、B不符合题意.
而，
令，因为，
故，此时，
必成立，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件得出随机变量X的取值，再结合随机变量分布列求解方法得出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式的 随机变量X的数学期望，再结合随机变量的方差求解方法和二次函数的图象求值域的方法，进而得出随机变量X的方差的取值范围，从而找出正确的选项。
二、多选题
9．（2022高二下·宝安期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（ ）
ξ 1 2 3
P
A．－ B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由题可得，
∴或，经检验适合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合概率的基本性质和随机变量的分布列，进而得出a的值。
10．（2022高二下·宝安期中）甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．两两互斥 B．
C．事件B与事件相互独立 D．
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】对于A，因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，A项正确；
对于B，因为，，B项正确；
对于C，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，C项错误.
对于D，又，所以，D项正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合互斥事件的定义、独立事件的定义、条件概型求概率公式、互斥事件加法求概率公式、独立事件乘法求概率公式，进而找出结论正确的选项。
11．（2022高二下·宝安期中）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率为
B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为
C．从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到的是红球条件下，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有一次取到红球的概率为
【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，
对于A：恰有1个白球的概率为，A符合题意．
对于B：6次试验中取到白球的次数服从二项分布，即，所以，B不符合题意．
对于C：在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，C不符合题意．
对于D：3次试验中取到红球的次数服从二项分布，即，所以，D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式、二项分布的分布列求概率公式、对立事件求概率公式，进而找出结论正确的选项。
12．（2022·泰安二模）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意的，存在，使得
B．若是的极值点，则在上单调递减
C．函数的最大值为
D．若有两个零点，则
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意知：，，当时，，单增，无最大值，C不符合题意；
当时，在上，单增；在上，单减；
故，当，即时，无零点，A不符合题意；
若是的极值点，则，，故在单减，B符合题意；
若有两个零点，则，且，解得，
又因为时，，时，，此时有两个零点，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】由题意结合分类讨论方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合零点存在性定理和函数的极值点与函数的零点的关系，再利用函数求极限的方法得出结论正确的选项。
三、填空题
13．（2022高二下·宝安期中）对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，那么你预估这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率是 ．
【答案】74%
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意，感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为且该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，所以这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合全概率公式得出这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率。
14．（2022高二下·宝安期中）已知随机变量，满足且，则 .
【答案】4
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意，随机变量，满足，
因为，可得.
故答案为：4.
【分析】利用已知条件结合随机变量的数学期望公式和随机变量的数学期望的性质，进而得出随机变量的数学期望。
15．（2022高二下·宝安期中）已知为奇函数，当时，，则 ．
【答案】-3
【知识点】函数奇偶性的判断；函数的值
【解析】【解答】当时，，则，
此时，，所以，.
故答案为：-3.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和导数的运算法则以及代入法，进而得出的值。
16．（2022高二下·宝安期中）已知，则 ．
【答案】0
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】根据题意，今，得，令，得，
因此，
故答案为：0.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，从而得出二项式的系数，再结合赋值法得出的值。
四、解答题
17．（2022高二下·汉滨期末）已知.
（1）当时，求；
（2）当，求的极值.
【答案】（1）解：，
当a＝2时，
（2）解：时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴f(x)有极大值，有极小值
【知识点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出 ，代入 和x=3即可求出 ；
（2） 代入 求出 ，再求，根据正负判断的单调性，进而求出 的极值；
18．（2022高二下·宝安期中）某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了200位顾客购物的相关数据如下表：
一次购物款（单位：元）
顾客人数 20 a 50 60
（1）求a的值；
（2）为了增加商场销售额度，对一次购物不低于300元的顾客每人发放一个纪念品．现有5人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：由题意有，解得，a的值为30．
（2）解：由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率，
故5人购物获得纪念品的数量服从二项分配，
则，，
，，
，．
则的分布列为：
0 1 2 3 4 5
P
的数学期望为．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频数与样本容量的关系，进而得出a的值。
（2）利用已知条件结合古典概型求概率公式和（1）得出 1人购物获得纪念品的频率，从而得出 1人购物获得纪念品的概率，进而得出5人购物获得纪念品的数量服从二项分布，再结合二项分布求概率公式得出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量的数学期望。
19．（2022高二下·宝安期中）在北京冬奥会期间，某项比赛中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者4名．
（1）从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者代表的不同的选法有多少种？
（2）从中选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内，有多少种不同的安排方法？
【答案】（1）解：从中选2名志愿者代表，没有女志愿者的选法有种，
所以从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者的不同选法共有（种）
答：必须有女志愿者的不同选法有15种．
（2）解：方法一：
第一类男志愿者甲在内女志愿者乙不在内，有（种）；
第二类女志愿者乙在内男志愿者甲不在内，有（种）；
第三类男志愿者甲、女志愿者乙都在内，有（种）．
由分类计数原理得（种）．
答：有720种不同选法．
方法二：（间接法）
男志愿者甲、女志愿者乙都不在内，有（种），
男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内，有（种）
答：有720种不同选法．
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式和作差法得出必须有女志愿者的不同选法的种数。
（2）利用两种方法求解。方法一、利用组合数公式和排列数公式结合分类加法计数原理，进而得出选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内的不同安排方法种数。方法二、 利用组合数公式和排列数公式结合间接法，进而得出选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内的不同安排方法种数。
20．（2022高二下·宝安期中）2022年全国各地新型冠状病毒卷土重来，为减小病毒感染风险，人们积极采取措施，其中“戴口罩”是最有效的防疫措施之一．某市为了了解全市居民佩戴口罩的现状，以便更好的做好宣传发动工作，主管部门随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们每天戴口罩的时长分为6段：[0，2），[2，4），，[10，12]，并把得到的数据绘制成下面的频数分布表．
时长/ [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10） [10，12]
频数 5 10 25 35 15 10
（1）若将频率作为概率，从全市居民中随机抽取3人，记“抽出的3人中至少有1人戴口罩时长不足8小时”为事件A，求事件A发生的概率；
（2）现从戴口罩时长在[0，2）、[2，4）、[4，6）的样本中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示戴口罩时长在[2，4）内的人数，求的分布列和数学期望；
（3）若将频率作为概率，政府为了鼓励市民在疫情频发期间积极佩戴口罩，准备每天按以下方案对每位市民发放口罩补贴（）：
时长/ [0，4） [4，8） [8，12]
补贴（元） 0
若全市有100万居民，试分析政府平均每天至少要准备多少经费用于此项开支？（参考数值：）
【答案】（1）解：居民中随机抽取1人戴口罩时长不足8小时的概率为，
随机抽取3人，其中戴口罩时长不足8小时的人数为Z，则，
；
（2）解：在[0，2）、[2，4）、[4，6）中分别抽取1，2，5人
X服从超几何分布，N＝8，M＝2，n＝3，
，k＝0，1，2．
X的分布列为
X 0 1 2
P
；
（3）解：发放口罩补贴Y的分布列为
Y 0 1-t
P 0.15 0.6 0.25
令，
则，令，得，
f（t）在（0，ln2.4）上单调递减，在上单调递增，
故，
故政府平均每天至少要准备（元）用于此项开支．
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布的应用；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合对立事件求概率公式得出居民中随机抽取1人戴口罩时长不足8小时的概率，再利用已知条件得出随机变量Z服从二项分布，再结合二项分布求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出事件A发生的概率。
（2） 利用已知条件结合分层抽样的方法得出在[0，2）、[2，4）、[4，6）中分别抽取的人数，再结合随机变量服从超几何分布，从而利用超几何分布求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（3）利用已知条件得出随机变量Y的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，从而得出政府平均每天至少要准备（元）用于此项开支。
21．（2022高二下·宝安期中）在二项式的展开式中，____.给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中项的系数最大的项.
【答案】（1）解：选择①：，即，
即，即，解得或（舍去）.
选择②：，即，解得.
展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，
，.
（2）解：展开式的通项为，
令，得，所以展开式中常数项为第7项，常数项为；
（3）解：由展开式的通项为，
假设第项系数最大，则，解得，且，所以，即系数最大项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1） 选择①：结合组合数公式和一元二次方程求解方法得出满足要求的n的值。选择②：结合二项式系数的性质得出n的值，再结合二项式系数求最值的方法得出展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，从而得出展开式中二项式系数最大的项。
（2）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出展开式中的常数项。
（3）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合二项式系数的最值求解方法得出 展开式中项的系数最大的项。
22．（2022高二下·宝安期中）已知函数 .
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在上的最小值；
（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：
①当时，，
即函数的单调递增区间为 .
②当时，令，可得，
当时，，
当时，，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 .
（2）解：①当，即时，函数在区间上是减函数，所以的最小值是 .
②当，即时，函数在区间上是增函数，所以的最小值是 .
③当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数 .
又，
所以当时，最小值是；
当时，最小值为 .
综上可知，当时，函数的最小值是；
当时，函数的最小值是 .
（3）解：∵，，
∴ 原不等式等价于对恒成立，
∴对恒成立，
令，，
∴在单调递增，在 单调递减，
∴，
∴，
∴的取值范围是
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数 在上的最小值。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围。
广东省深圳市宝安第一外国语学校2021-2022学年高二下学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2022高二下·宝安期中）已知函数，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2022高二下·宝安期中）某射手射击所得环数的分布列如下表：
7 8 9 10
0.1 0.3
已知的数学期望，则的值为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3
3．（2022高二下·宝安期中）某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（ ）
A．0.0689 B．0.049 C．0.0248 D．0.02
4．（2022高二下·宝安期中）已知为坐标原点，曲线：在点处的切线交轴于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·宝安期中）某校的全员核酸检测共安排了三处检测点，现将招募的8名教师志愿者分配到这三处检测点，每处需要2至4名志愿者，则不同的安排方法有（ ）
A．1960种 B．2940种 C．4410种 D．5880种
6．（2022高二下·宝安期中）目前，新型冠状病毒席卷上海，一方有难八方支援，全国各地医疗队伍紧急支援上海，我市某医院决定从8名医生中选派4名分别支援上海四家医院，每家医院各派去1名医生，其中甲和乙不能都去上海，甲和丙只能都去或都不去上海，则不同的选派方案有（ ）种
A．360 B．480 C．600 D．720
7．（2022·泰安模拟）已知随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·宝安期中）甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二下·宝安期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（ ）
ξ 1 2 3
P
A．－ B． C． D．
10．（2022高二下·宝安期中）甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．两两互斥 B．
C．事件B与事件相互独立 D．
11．（2022高二下·宝安期中）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率为
B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为
C．从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到的是红球条件下，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有一次取到红球的概率为
12．（2022·泰安二模）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意的，存在，使得
B．若是的极值点，则在上单调递减
C．函数的最大值为
D．若有两个零点，则
三、填空题
13．（2022高二下·宝安期中）对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，那么你预估这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率是 ．
14．（2022高二下·宝安期中）已知随机变量，满足且，则 .
15．（2022高二下·宝安期中）已知为奇函数，当时，，则 ．
16．（2022高二下·宝安期中）已知，则 ．
四、解答题
17．（2022高二下·汉滨期末）已知.
（1）当时，求；
（2）当，求的极值.
18．（2022高二下·宝安期中）某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了200位顾客购物的相关数据如下表：
一次购物款（单位：元）
顾客人数 20 a 50 60
（1）求a的值；
（2）为了增加商场销售额度，对一次购物不低于300元的顾客每人发放一个纪念品．现有5人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望．
19．（2022高二下·宝安期中）在北京冬奥会期间，某项比赛中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者4名．
（1）从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者代表的不同的选法有多少种？
（2）从中选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内，有多少种不同的安排方法？
20．（2022高二下·宝安期中）2022年全国各地新型冠状病毒卷土重来，为减小病毒感染风险，人们积极采取措施，其中“戴口罩”是最有效的防疫措施之一．某市为了了解全市居民佩戴口罩的现状，以便更好的做好宣传发动工作，主管部门随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们每天戴口罩的时长分为6段：[0，2），[2，4），，[10，12]，并把得到的数据绘制成下面的频数分布表．
时长/ [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10） [10，12]
频数 5 10 25 35 15 10
（1）若将频率作为概率，从全市居民中随机抽取3人，记“抽出的3人中至少有1人戴口罩时长不足8小时”为事件A，求事件A发生的概率；
（2）现从戴口罩时长在[0，2）、[2，4）、[4，6）的样本中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示戴口罩时长在[2，4）内的人数，求的分布列和数学期望；
（3）若将频率作为概率，政府为了鼓励市民在疫情频发期间积极佩戴口罩，准备每天按以下方案对每位市民发放口罩补贴（）：
时长/ [0，4） [4，8） [8，12]
补贴（元） 0
若全市有100万居民，试分析政府平均每天至少要准备多少经费用于此项开支？（参考数值：）
21．（2022高二下·宝安期中）在二项式的展开式中，____.给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中项的系数最大的项.
22．（2022高二下·宝安期中）已知函数 .
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在上的最小值；
（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】因为，
所以
。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合导数与函数的极限的关系，进而得出的值。
2．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由表格可知，，解得.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合概率的基本性质和随机变量的数学期望公式，进而得出x，y的值。
3．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为
0.0248．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和全概率公式，进而得出随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率。
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为，所以点处切线方程为，
令，得，所以的坐标为，
则，
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合导数求切线方程的方法和赋值法得出点B的坐标，再结合三角形的面积公式得出的值。
5．【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】根据题意，这8名志愿者分配到三个核酸检测点处的志愿者数目为2，3，3或2，2，4．所以不同的安排方法一共有种．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分类加法计数原理，进而得出不同的安排方法种数。
6．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】若甲去上海，乙不去上海，则丙去上海，只需从剩余5人中选出2人，再分配即可，此时有：种情况；
若甲不去上海，乙不去上海，则丙不去上海，只需从剩余5人中选出4人，再分配即可，
此时有：种情况；
若甲不去上海，乙去上海，则丙不去上海，只需从剩余5人中选出3人，再分配即可，
此时有：种情况；
故共有：种情况.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分类加法计数原理，进而得出不同的选派方案的种数。
7．【答案】A
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因为随机变量 服从正态分布 ，
由对称性可知， ，
又 ，
所以 ，
故 .
故答案为：A.
【分析】 根据随机变量X服从正态分布，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】随机变量可能的取值为.
.
，
故的分布列为：
2 3
故
因为，故，而，A、B不符合题意.
而，
令，因为，
故，此时，
必成立，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件得出随机变量X的取值，再结合随机变量分布列求解方法得出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式的 随机变量X的数学期望，再结合随机变量的方差求解方法和二次函数的图象求值域的方法，进而得出随机变量X的方差的取值范围，从而找出正确的选项。
9．【答案】B,C
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由题可得，
∴或，经检验适合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合概率的基本性质和随机变量的分布列，进而得出a的值。
10．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】对于A，因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，A项正确；
对于B，因为，，B项正确；
对于C，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，C项错误.
对于D，又，所以，D项正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合互斥事件的定义、独立事件的定义、条件概型求概率公式、互斥事件加法求概率公式、独立事件乘法求概率公式，进而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，
对于A：恰有1个白球的概率为，A符合题意．
对于B：6次试验中取到白球的次数服从二项分布，即，所以，B不符合题意．
对于C：在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，C不符合题意．
对于D：3次试验中取到红球的次数服从二项分布，即，所以，D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式、二项分布的分布列求概率公式、对立事件求概率公式，进而找出结论正确的选项。
12．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意知：，，当时，，单增，无最大值，C不符合题意；
当时，在上，单增；在上，单减；
故，当，即时，无零点，A不符合题意；
若是的极值点，则，，故在单减，B符合题意；
若有两个零点，则，且，解得，
又因为时，，时，，此时有两个零点，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】由题意结合分类讨论方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合零点存在性定理和函数的极值点与函数的零点的关系，再利用函数求极限的方法得出结论正确的选项。
13．【答案】74%
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意，感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为且该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，所以这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合全概率公式得出这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率。
14．【答案】4
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意，随机变量，满足，
因为，可得.
故答案为：4.
【分析】利用已知条件结合随机变量的数学期望公式和随机变量的数学期望的性质，进而得出随机变量的数学期望。
15．【答案】-3
【知识点】函数奇偶性的判断；函数的值
【解析】【解答】当时，，则，
此时，，所以，.
故答案为：-3.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和导数的运算法则以及代入法，进而得出的值。
16．【答案】0
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】根据题意，今，得，令，得，
因此，
故答案为：0.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，从而得出二项式的系数，再结合赋值法得出的值。
17．【答案】（1）解：，
当a＝2时，
（2）解：时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴f(x)有极大值，有极小值
【知识点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出 ，代入 和x=3即可求出 ；
（2） 代入 求出 ，再求，根据正负判断的单调性，进而求出 的极值；
18．【答案】（1）解：由题意有，解得，a的值为30．
（2）解：由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率，
故5人购物获得纪念品的数量服从二项分配，
则，，
，，
，．
则的分布列为：
0 1 2 3 4 5
P
的数学期望为．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频数与样本容量的关系，进而得出a的值。
（2）利用已知条件结合古典概型求概率公式和（1）得出 1人购物获得纪念品的频率，从而得出 1人购物获得纪念品的概率，进而得出5人购物获得纪念品的数量服从二项分布，再结合二项分布求概率公式得出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量的数学期望。
19．【答案】（1）解：从中选2名志愿者代表，没有女志愿者的选法有种，
所以从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者的不同选法共有（种）
答：必须有女志愿者的不同选法有15种．
（2）解：方法一：
第一类男志愿者甲在内女志愿者乙不在内，有（种）；
第二类女志愿者乙在内男志愿者甲不在内，有（种）；
第三类男志愿者甲、女志愿者乙都在内，有（种）．
由分类计数原理得（种）．
答：有720种不同选法．
方法二：（间接法）
男志愿者甲、女志愿者乙都不在内，有（种），
男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内，有（种）
答：有720种不同选法．
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式和作差法得出必须有女志愿者的不同选法的种数。
（2）利用两种方法求解。方法一、利用组合数公式和排列数公式结合分类加法计数原理，进而得出选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内的不同安排方法种数。方法二、 利用组合数公式和排列数公式结合间接法，进而得出选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内的不同安排方法种数。
20．【答案】（1）解：居民中随机抽取1人戴口罩时长不足8小时的概率为，
随机抽取3人，其中戴口罩时长不足8小时的人数为Z，则，
；
（2）解：在[0，2）、[2，4）、[4，6）中分别抽取1，2，5人
X服从超几何分布，N＝8，M＝2，n＝3，
，k＝0，1，2．
X的分布列为
X 0 1 2
P
；
（3）解：发放口罩补贴Y的分布列为
Y 0 1-t
P 0.15 0.6 0.25
令，
则，令，得，
f（t）在（0，ln2.4）上单调递减，在上单调递增，
故，
故政府平均每天至少要准备（元）用于此项开支．
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布的应用；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合对立事件求概率公式得出居民中随机抽取1人戴口罩时长不足8小时的概率，再利用已知条件得出随机变量Z服从二项分布，再结合二项分布求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出事件A发生的概率。
（2） 利用已知条件结合分层抽样的方法得出在[0，2）、[2，4）、[4，6）中分别抽取的人数，再结合随机变量服从超几何分布，从而利用超几何分布求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（3）利用已知条件得出随机变量Y的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，从而得出政府平均每天至少要准备（元）用于此项开支。
21．【答案】（1）解：选择①：，即，
即，即，解得或（舍去）.
选择②：，即，解得.
展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，
，.
（2）解：展开式的通项为，
令，得，所以展开式中常数项为第7项，常数项为；
（3）解：由展开式的通项为，
假设第项系数最大，则，解得，且，所以，即系数最大项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1） 选择①：结合组合数公式和一元二次方程求解方法得出满足要求的n的值。选择②：结合二项式系数的性质得出n的值，再结合二项式系数求最值的方法得出展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，从而得出展开式中二项式系数最大的项。
（2）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出展开式中的常数项。
（3）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合二项式系数的最值求解方法得出 展开式中项的系数最大的项。
22．【答案】（1）解：
①当时，，
即函数的单调递增区间为 .
②当时，令，可得，
当时，，
当时，，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 .
（2）解：①当，即时，函数在区间上是减函数，所以的最小值是 .
②当，即时，函数在区间上是增函数，所以的最小值是 .
③当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数 .
又，
所以当时，最小值是；
当时，最小值为 .
综上可知，当时，函数的最小值是；
当时，函数的最小值是 .
（3）解：∵，，
∴ 原不等式等价于对恒成立，
∴对恒成立，
令，，
∴在单调递增，在 单调递减，
∴，
∴，
∴的取值范围是
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数 在上的最小值。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围。
广东省深圳市宝安第一外国语学校2021-2022高二下学期数学期中试卷
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