四川省成都市2023届高三下学期第二次诊断考试数学（理）试题（含答案）

成都市2020级高中毕业班第二次诊断性检测
数学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的最小正周期为（ ）
A． B．π C． D．
3．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（ ）
A．40 B．41 C．119 D．122
4．若实数x，y满足约束条件则的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．2
5．设，分别是双曲线的左、右焦点．P为双曲线C右支上一点，若，，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知命题p：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题q：空间中三个平面α，β，γ，若，，，则．则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知过抛物线的焦点F，且倾斜角为的直线l交抛物线C于A，B两点，则（ ）
A．32 B． C． D．8
9．若奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．
10．正三棱锥中，，顶点P到底面ABC的距离为2，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为（ ）
A． B． C． D．3
11．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．复数（i为虚数单位），则的值为______．
14．已知，则______．
15．若直线与相交于点P，过点P作圆的切线，切点为M，则的最大值为______．
16．若函数存在极大值点，且，则实数a的取值范围为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
某中学为了丰富学生的课余生活，欲利用每周一下午的自主活动时间，面向本校高二学生开设“厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课，由学生自主申报，每人只能报一门，也可以不报，该校高二有两种班型——文科班和理科班（各有2个班），据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课，报名情况统计如下：
厨艺探秘 盆景栽培 家庭摄影 名画鉴赏
文科1班 11 5 14 6
文科2班 12 7 11 4
理科1班 3 1 9 3
理科2班 5 1 6 2
（Ⅰ）若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”，把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”．请根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
报名班型 课程 合计
“劳育课程” “美育课程”
文科班
理科班
合计
（Ⅱ）根据（Ⅰ）列联表中所填数据，判断是否有99%的把握认为课程的选择与班型有关．
附：．
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
18．（本小题满分12分）
已知等比数列的公比为3，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆C相交于点P，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，函数恰有两个零点，求a的取值范围．
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）画出的图象；
（Ⅱ）求不等式的解集．
成都市2020级高中毕业班第二次诊断性检测
数学（理科）参考答案及评分意见
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．C； 2．C； 3．B； 4．C 5．A；
6．B； 7．D 8．A； 9．B； 10．D； 11．A； 12．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．； 14．； 15．； 16．．
三、解答题：（共70分）
17．解：（I）由题意，列联表如下：
报名班型 课程 合计
“劳育课程” “美育课程”
文科班 35 35 70
理科班 10 20 30
合计 45 55 100
6分
（Ⅱ）∵， 10分
∴没有99%的把握认为“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科有关． 12分
18．解：（Ⅰ）设数列的公比为q．
∵成等差数列，
∴． 2分
∴． 3分
∵，
∴解得． 5分
∴． 6分
（Ⅱ）设，则．
∴①
∴②
由①-②得， 8分
∴ 10分
∴． 12分
19．解：（Ⅰ）取的中点O，连接AO，．
∵与均是边长为2的正三角形，
∴，，． 2分
∴为二面角的平面角． 3分
∵，
∴．
∴． 5分
∴平面平面， 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．
以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
则，，，．
，，． 8分
设平面的一个法向量为．
由得
令，得． 9分
设平面的一个法向量为．
由得
令，得． 10分
∴． 11分
∴所求锐二面角的余弦值为． 12分
20．解：（Ⅰ）由题意，双曲线的焦点为，，
∵双曲线与椭圆C有相同焦点且在第一象限交点为P，
又，∴，． 2分
∴，． 3分
∴．
∴椭圆C的方程为． 4分
（Ⅱ）设，，则．
∵四边形OAED为平行四边形，
∴，．
∵点A，B，E均在椭圆C上，
∴，，．
∵，
∴． 7分
∴． 8分
由消去y，得．
显然．
∴，． 9分
∴．
∴． 11分
∴． 12分
21．解：（Ⅰ）∵． 2分
∵，
∴当时，恒成立，函数在上单调递增． 3分
当时，
当时，；当时，．
函数在上单调递减，在上单调递增． 4分
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 5分
（Ⅱ）函数恰有两个零点，
等价于方程有两个不等的实数解．
∵，，，
令，则．
令，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，
∴方程有唯一解．
∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解． 7分
等价于方程有两个不相等的实数解．
构造函数，则．
∵，
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，；，．
∴只需要，即． 9分
构造函数，则．
∴当时，；当时，．
函数在上单调递减，在上单调递增．
∵，
当时，恒成立． 11分
∴a的取值范围为． 12分
22．解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（t为参数），
∴曲线C的普通方程为． 2分
∵直线l的极坐标方程为，
∴． 3分
∵，，
∴直线的直角坐标方程为． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P在直线l上，
∴直线l的参数方程为（m为参数）， 7分
代入得，．
设，是上述方程的两根，
∴，，． 9分
∴． 10分
23．解：（Ⅰ）由题得， 3分
函数的图象为
5分
（Ⅱ）函数的图象向左平移2个单位长度后得到函数的图象，的图象与的图象如右图所示 7分
当时，由解得，． 9分
由图象可知不等式的解集为． 10分

四川省成都市2023届高三下学期第二次诊断考试数学（理）试题（含答案）