湖南省长沙市长郡湘府中学2022-2023高二下学期第七次测试数学试题（含解析）

湘府中学2022-2023学年高二下学期第七次测试数学试题
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．全集，设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，则（ ）
1 2 3
A． B． C．2 D．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．若是直线的方向向量，是平面的法向量，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C． D．与相交但不垂直
5．p：，为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6．已知幂函数在上单调递增，则（ ）
A． B．2 C． D．32
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数满足，若函数与图像的交点为，则（ ）
A．0 B．6 C．12 D．24
二、多选题（每小题4分，共16分）
9．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．且 D．不等式的解集是
10．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．函数是幂函数，且在单减，则
C．命题“”的否定是“”
D．函数过定点和
11．对于函数，则下列判断正确的是（ ）
A．在定义域内是奇函数
B．，，有
C．函数的值域为
D．对任意且，有
12．若正实数，满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．的最小值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为3
三、填空题（每小题4分，共16分）
13．函数的定义域为__________________．
14．已知随机变量,且，若,则的最小值为_________．
15．已知函数是在定义域上的严格减函数，且为奇函数.若，则不等式的解集是_______________.
16．函数在上单调递增，则实数的取值范围是______________．
四、解答题（每小题9分，共36分）
17．已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
(3) 解不等式
18．如图，四棱锥中，底面是菱形，底面，，M为的中点，且平面平面.
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.
19．某初中为了了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识考试．对参加考试的男生、女生各随机抽查40人，根据考试成绩，得到如下列联表：
男生 女生 合计
考试成绩合格 30 20 50
考试成绩不合格 10 20 30
合计 40 40 80
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)根据上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为考试成绩是否合格与性别有关；
(2)在考试成绩不合格的30人中按性别利用按比例分配的分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中男生的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
20．某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量（单位：万辆）的散点图如下：
34 55 979 657 2805
参考数据：
记年份代码为
(1)根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程；
(3)预测2023年该公司新能源汽车销售量．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
参考答案：
1．B
【解】因为或，
所以或，所以，
又因为，所以，
所以.
2．A
【解】由，得，则．
3．D
【解】由题意，得，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
4．D
【解】因为且
所以与不平行，也不垂直，所以与相交但不垂直.
5．A
【解】由题设命题为真，即在上恒成立，
所以，故A为充分不必要条件，B为充要条件，CD必要不充分条件.
6．D
【解】因为是幂函数，
所以，即，解得，或，
当时，在上单调递减，不满足题意；
当时，在上单调递增，满足题意，
所以幂函数的解析式为.所以.
7．D
【解】因为，所以，则，
∴可化为，则，
又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以函数在上单调递增，∴，∴，∴原不等式的解集为.
8．B
【解】由，所以函数关于直线对称，
而二次函数也关于直线对称，
因为函数与图像的交点为，
所以，
9．AB
【解】由于不等式的解集是，
所以，B选项正确，
且，即，则，
所以，A选项正确，
，C选项错误，
不等式，即，即，无解，D选项错误.
10．AD
【解】对选项A：，则；若，当时，不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对选项B：时，在单增，故B错误；
对选项C：命题“”的否定是“”，故C错误；
对选项D：取，得到或，则函数过定点和，故D正确.
11．AB
【解】对于A,，且定义域为，故为奇函数，故A正确；
对于B,在单调递减，故B正确；
对于C，当时，当且仅当时取得等号，
当时，当且仅当时取得等号，
所以的值域为，故C错误；
对于D，已知任意且，
，，
而，故，故D错误.
12．ABC
【解】因为，当且仅当时取等号，则的最大值为1，故A正确；
因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故B正确；
因为，当且仅当时取等号，的最小值为2，故C正确；
因为，当时取最小值为，故D错误．
13．且
【解】要使函数函数有意义，
需满足，解得且，
故函数的定义域为且，
14．
【解】，可得正态分布曲线的对称轴为，
又，，即．
则，
当且仅当，即时，等号成立.
15．
【解】因为是在定义域上的奇函数，，所以，
故，
因为是在定义域上的严格减函数，所以，解得：，
16．
【解】因为在与上单调递减，
而在上单调递增，
所以，解得或，所以的取值范围是.
17．【解】（1）∵奇函数的定义域为R，
∴，解得；经检验，符合题意.
（2）在R上单调递增．
证明如下：任取且，
则．
∵在R上单调递增且，∴，∴．
∴，即．∴在R上单调递增；
（3）由（2）知函数在R上单调递增，∴，即．
∴x的取值范围是．
18．【解】（1）因为底面，所以，
在平面内过做，垂足为，如图所示：
因为平面平面，交线为，
且有，平面，所以平面，
因为平面，从而，
因为，平面，平面，
所以平面，于是；
（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，
在平面中，过做平行于的直线为轴，记，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为底面是菱形，且M为的中点，所以，
由（1）知，所以，所以，
又有，故可得，，，
，于是，，，
设为平面的法向量，则，
即，取，可得；
设为平面的法向量，则，
即，取，可得，
因为，
所以二面角的正弦值为.
19．【解】（1）零假设为：分类变量与相互独立，即考试成绩是否合格与性别无关，根据表中数据计算可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为考试成绩是否合格与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.05；
（2）这6人中男生有2人，女生有4人，
可得的可能取值为0，1，2，有，
，.
故随机变量的分布列为
0 1 2
有．
20．【解】（1）由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，故模型②更适合.
（2）令，则，，
对于回归方程，
可得：，，
故回归方程为，即.
（3）由（2）可得：，令，则，
预测2023年该公司新能源汽车销售量万辆.

湖南省长沙市长郡湘府中学2022-2023高二下学期第七次测试数学试题（含解析）