09 应用题板块中档大题 过关40题【2023中考数学高频考点过关考前必刷题】(原卷版+解析版)

09 中考应用题版块中档大题过关40题（原卷版）
专题简介：本份资料包含中考应用题模块中常考的各类主流中档大题，所选题目源自近四年各名校试题中的有代表性的优质试题，把每一个模块中的高频考题按题型进行分类汇编，具体分为七大类题型：二元一次方程组+一元一次不等式的应用题、分式方程+方案选择的应用题、一次函数的最大利润（或最少费用）问题、二次函数最大利润问题、二次函数最大面积问题、一元二次方程的连续两次增长模型、分段函数类
应用题，适合培训机构辅导老师给学生做专题复习时使用或者学生考前刷题使用。
题型一：二元一次方程组+一元一次不等式的应用题
1．（雅礼）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和2个种口罩共需22元，进货8个种口罩所需费用比进货4个种口罩所需费用多4元．
（1）请分别求出、两种口罩的进价是多少元？
（2）已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买），共花费40元，小雅有哪几种购买方案？
2．（中雅）长沙县为加快新农村建设，建设美丽乡村，对，两类村庄进行了全面改建．根据预算，改建一个类美丽宜居村庄和一个类美丽宜居村庄共需资金600万元；改建2个类美丽宜居村庄和5个类美丽宜居村庄共需资金1950万元．
（1）改建一个类美丽宜居村庄和一个类美丽宜居村庄所需资金分别是多少万元？
（2）黄兴镇拟改建类、类美丽宜居村庄共10个，投入资金不超过2960万元，最多改建类美丽宜居村庄多少个？
3．（青竹湖）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑20台，已知甲型号平板电脑进价1500元，售价2000元；乙型号平板电脑进价为2400元，售价3000元．
（1）若该商店购进这20台平板电脑恰好用去37200元，求购进甲、乙两种型号的平板电脑各多少台？
（2）若要使该商店全部售出甲、乙两种型号的平板电脑20台后，所获的毛利润不低于11300元，则最多可以购进甲型号平板电脑多少台？（毛利润售价进价）
4．（中雅）我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元．
（1）求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？
（2）如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共50个，并且预算总费用不超过3210元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？
5．（广益一模）对于企业来说：科学技术永远是第一生产力，在长沙市里程最长、站点最多的地铁6号线建设过程中，某知名运输集团承包了地铁6号线多标段的土方运输任务，该集团为了出色完成承接任务，拟派出该集团自主研发的、两种新型运输车运输土方．已知4辆型运输车与3辆型运输车一次共运输土方64吨，2辆型运输车与4辆型运输车一次共运输土方52吨．
（1）请问一辆型运输车和一辆型运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该运输集团决定派出、两种型号新型运输车共18辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于169吨，且型运输车至少派出4辆，则有哪几种派车方案？
题型二：分式方程+方案选择的应用题
考向1、商品购买类问题
6．（北雅）为增加学生阅读量，雅韵中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了4400元，购买“文学类”图书花费了3520元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买“科普类”图书的数量与“文学类”图书的数量相等．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用超过1790元且不超过1800元，则学校有哪几种购买方案？
7．（青竹湖）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了4000元，乙种商品共用了4800元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多16元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
(1)求甲、乙两种商品的每件进价；
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为120元，乙种商品的销售单价为136元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2520元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
8．（立信）9月30日，某市53万余名初三学生回到阔别100多天的校园．为了返校学生的安全，快速筛查体温异常学生，某校打算在学生返校前购买了一批额温枪发放到班主任及相关人员手中，购买前有，两种型号的额温枪可供选择，已知每只型额温枪比每只型额温枪贵20元，用5000元购进型额温枪与用4500元购进型额温枪的数量相等．
（1）每只型，型额温的价格各是多少元？
（2）该校欲购进，两种型号的额温枪共30只，购买两种额温枪的总资金不超过5800元，则最多可购进型号额温枪多少只？
9．(长郡)东东玩具商店用元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的倍，但每套进价多了元.
(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
(2)如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
考向2、抽象工程问题
10.（麓山）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，需在规定日期内完成。从运输量来估算：如果单独租用甲车，恰好按期完成，若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天，结果同时租用甲、乙两辆车合作运了7天，余下部分由乙车完成，则超过了规定日期1天完成任务。
(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天
(2)已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元，试问：租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少且不耽误工期 请说明理由。
11.（长郡）为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程。现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成。
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天
(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少。
12.（教科所）一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？
考向3、具体工程问题
13．（开福区联考）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲种机器人比乙种机器人每小时多分，甲种机器人分类垃圾所用的时间与乙种机器人分类垃圾所用的时间相等．
（1）甲乙两种机器人每小时各分类多少垃圾？
（2）现在两种机器人共同分类垃圾，工作2小时后乙种机器人因机器维修退出，求乙种机器人退出后甲种机器人还需工作多长时间才能完成？
14．（青竹湖）某校为美化校园，计划安排甲乙两个施工队共同进行绿化．已知甲队每天完成绿化面积是乙队每天完成绿化面积的2倍；且甲乙两队分别完成的绿化面积时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两队每天能完成的绿化面积分别是多少？
（2）学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元．已知学校计划绿化面积，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
15．2021年10月17日是我国第8个扶贫日，也是第29个国际消除贫困日．为组织开展好扶贫日系列活动，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一批生姜送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜？
（2）如果这批生姜有1535箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了55箱，其它装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？
16．脐橙是秋冬季的时令水果，富含维生素C．一果园有甲、乙两支专业脐橙采摘队，甲队比乙队每天多采摘600公斤脐橙，甲队采摘28800公斤脐橙所用的天数与乙队采摘19200公斤脐橙所用的天数相同．
(1)甲、乙两队每天分别可采摘多少公斤脐橙？
(2)趁着为数不多的晴天，果园计划在24天内采摘52200公斤脐橙，先由甲、乙两队合作，中途由于甲队被调用，剩下的只能由乙队单独采摘，问甲、乙两队至少合作多少天才能在规定时间内采摘完？
题型三：一次函数的最大利润（或最少费用）问题
考向1、不含参数的一次函数最值问题
17．（雅礼实验）雅礼中学打算购买三角梅、水仙装点学校道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元．
（1）求三角梅、水仙的单价各是多少元？
（2）购买三角梅、水仙共200盆，且购买的三角梅不少于60盆，但不多于80盆：
①设购买三角梅盆，总费用为元，求与的关系式；
②当总费用最少时，应选择哪一种购买方案？最少费用为多少元？
18．（青竹湖）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只型节能灯和5只型节能灯共需50元，2只型节能灯和3只型节能灯共需31元．
（1）求1只型节能灯和1只型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求型节能灯的数量不超过型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
19．（雅礼）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京隆重举行，会上习总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚取得了全面胜利，同时要切实做好巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接各项工作．某企业准备帮扶甲脱贫村建造西红柿和蓝莓大棚共100亩，已知建造西红柿大棚每亩的价格为0.15万元，蓝莓大棚每亩的价格为0.2万元．
（1）若建造大棚的总费用为17万元，那么分别能建多少亩西红柿大棚和蓝莓大棚？
（2）如果建造西红柿大棚的面积不超过蓝莓大棚面积的3倍，那么建造多少亩蓝莓大棚时，可使总费用最少？总费用最少是多少？
20.（长郡）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米．建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．
（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
考向2、含参数的一次函数最值问题
21．（雅礼）某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元.
(1)求每台型电脑和型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍.设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元.
①求与的关系式；
②该商店购进型、型各多少台，才能使销售利润最大？
(3)实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑台.若商店保持同种电脑的售价不变，请你以上信息及(2)中条件，设计出使这台电脑销售总利润最大的进货方案.
22．（2017长沙中考）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
23．（青一）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料吨，其中A城肥料比B城少吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为元/吨和元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为元/吨和元/吨。现C乡需要肥料吨，D乡需要肥料吨。
（1） A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从A城运往C乡肥料吨，总运费为元，求出最少总运费；
（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少（）元，这时怎样调运才能使总运费最少
题型四：二次函数最大利润问题
考向1、设降价为元的类型
24.（广益）某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加赢利,尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价3元,商场平均每天可多售出6件.求：（1）若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多
25.（师大）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
26．（长郡）虾在稻中游，稻在虾田长．稻虾种养田采取的是“稻虾轮作”模式某县依托湖乡优势，推广稻虾田综合种养模式，打造了一条完整稻虾产业链，为推进乡村振兴奠定了坚实的基础．到2022年初，稻虾种养田面积已由2020年初的40万亩增长到67.6万亩．
（1）如果这两年该县稻虾种养田面积的年平均增长率相同，求这个增长率；
（2）4月份稻田小龙虾蜂拥上市，某商家以每千克12元的价格购进，计划以每千克30元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知日销售量（千克）与每千克降价（元之间满足一次函数关系，如图所示．该商家想要获得最大利润，每千克应降价多少元？
考向2、设售价为元的类型
27．(长郡)某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现，该商品每天的销售量(支)与销售单价(元/支)之间存在如图所示的关系：
(1)请求出与的函数关系式；
(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
28．(雅礼)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题；
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；
（3）商店要想月销售成本不超过10000元，使月销售利润达到8000元，销售单价定为多少？
（4）商店要想月销售量利润最大，销售单价定为多少元？最大月销售利润是多少？
29.（麓山）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场
调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
30．（青竹湖）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为（元，每天的销售量为（瓶．
（1）求每天的销售量（瓶与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润为320元？
31．（一中）“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．当销售单价定为46元时，每天可售出400个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，且规定利润率不得高于．设每天销售量为个，销售单价为元．
（1）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利4800元；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？
题型五：二次函数最大面积问题
32.（师大）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
33.（北雅）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
题型六：一元二次方程的连续两次增长模型
34．（立信）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆200人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过300人次，在进馆人次的月平均匀增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．
35．（立信）“杂交水稻之父” 袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
36．随着全球疫情的扩散，疫苗需求仍存在较大缺口，某制药企业及时引进一条疫苗生产线生产新冠疫苗，开工第一天生产疫苗10000盒，第三天生产疫苗12100盒，若每天增长的百分率相同．
（1）求每天增长的百分率．
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产疫苗105000盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
题型七：分段函数类应用题
37．(青一)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量（万元）与月份（月）的关系为，
每件产品的利润（元）与月份（月）的关系如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10
(1)请你根据表格求出每件产品利润（月）与月份（月）的关系式；
(2)若月利润（万元）=当月销售量（万件）当月每件产品的利润（元），求月利润（万元）与月份（月）的关系式；
(3)当为何值时，月利润有最大值，最大值为多少？
38.(广益)我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完,该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查。其中,国内市场的日销售量y1(万件)与时间t(t为整数,单位：天)的部分对应值如下表所示。而国外市场的日销售量y2(万件)与时间t(t为整数,单位：天)的关系如图所示。
(1)请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律,写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
(2)分别探求该产品在国外市场上市20天前(不含第20天)与20天后(含第20天)的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
(3)设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值。
39．(雅礼)牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式，甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元：甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元.
(1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元？
(2)假设巴特尔生产的奶食品当日可以全部出售，且选择运费低的公司运送，若该产品每千克的生产成本元（不含快递运费），销售价元与生产量千克之间的函数关系式为：，(0＜＜13)，则巴特尔每天生产量为多少千克时获得利润最大？最大利润为多少元？
40.(师大)某企业接到一批酸奶生产任务,按要求在16天内完成,规定这批酸奶的出厂价为每瓶8元,为按时完成任务,该企业招收了新工人小孙,设小孙第x天生产的酸奶数量为y瓶,y与x满足下列关系式:
(1)小孙第几天生产的酸奶数量为520瓶
(2)如图,设第x天每瓶酸奶的成本是p元,已知p与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画.若小孙第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元 (利润=出厂价一成本)
(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第m+1天的利润比第m天的润至少多50元，则第(m+1)天每瓶酸奶至少应提价几元？
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专题简介：本份资料包含中考应用题模块中常考的各类主流中档大题，所选题目源自近四年各名校试题中的有代表性的优质试题，把每一个模块中的高频考题按题型进行分类汇编，具体分为七大类题型：二元一次方程组+一元一次不等式的应用题、分式方程+方案选择的应用题、一次函数的最大利润（或最少费用）问题、二次函数最大利润问题、二次函数最大面积问题、一元二次方程的连续两次增长模型、分段函数类
应用题，适合培训机构辅导老师给学生做专题复习时使用或者学生考前刷题使用。
题型一：二元一次方程组+一元一次不等式的应用题
1．（雅礼）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和2个种口罩共需22元，进货8个种口罩所需费用比进货4个种口罩所需费用多4元．
（1）请分别求出、两种口罩的进价是多少元？
（2）已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买），共花费40元，小雅有哪几种购买方案？
【解答】解：（1）设种口罩的进价是元，种口罩的进价是元，
依题意得：，解得：．
答：种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元．
（2）设购买种口罩个，种口罩个，
依题意得：，解得：．又，均为正整数，
或或，小雅共有3种购买方案，
方案1：购买种口罩7个，种口罩2个；
方案2：购买种口罩4个，种口罩4个；
方案3：购买种口罩1个，种口罩6个．
2．（中雅）长沙县为加快新农村建设，建设美丽乡村，对，两类村庄进行了全面改建．根据预算，改建一个类美丽宜居村庄和一个类美丽宜居村庄共需资金600万元；改建2个类美丽宜居村庄和5个类美丽宜居村庄共需资金1950万元．
（1）改建一个类美丽宜居村庄和一个类美丽宜居村庄所需资金分别是多少万元？
（2）黄兴镇拟改建类、类美丽宜居村庄共10个，投入资金不超过2960万元，最多改建类美丽宜居村庄多少个？
【解答】解：（1）设改建一个类美丽宜居村庄需要资金万元，改建一个类美丽宜居村庄需要资金万元，依题意得：，解得：．
答：改建一个类美丽宜居村庄需要资金350万元，改建一个类美丽宜居村庄需要资金250万元．
（2）设改建类美丽宜居村庄个，则改建类美丽宜居村庄个，
依题意得：，解得：，
又为整数，的最大值为4．答：最多改建类美丽宜居村庄4个．
3．（青竹湖）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑20台，已知甲型号平板电脑进价1500元，售价2000元；乙型号平板电脑进价为2400元，售价3000元．
（1）若该商店购进这20台平板电脑恰好用去37200元，求购进甲、乙两种型号的平板电脑各多少台？
（2）若要使该商店全部售出甲、乙两种型号的平板电脑20台后，所获的毛利润不低于11300元，则最多可以购进甲型号平板电脑多少台？（毛利润售价进价）
【解答】解：（1）设购进甲型号平板电脑台，乙型号平板电脑台，依题意得：，
解得：．答：购进甲型号平板电脑12台，乙型号平板电脑8台．
（2）解：设该商店购进甲种型号平板电脑x台，则乙种型号平板电脑台．
由题可得：
解得：，答：该商店最多可以购进甲种型号平板电脑7台．
4．（中雅）我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元．
（1）求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？
（2）如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共50个，并且预算总费用不超过3210元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？
【解答】解：（1）设每个甲种规格的排球的价格为元，每个乙种规格的足球的价格为元，
依题意，得：，解得：．
答：每个甲种规格的排球的价格为50元，每个乙种规格的足球的价格为70元．
（2）设学校购买个乙种规格的足球，则购买个甲种规格的排球，
依题意，得：，解得：．又为整数，的最大值为．
5．（广益一模）对于企业来说：科学技术永远是第一生产力，在长沙市里程最长、站点最多的地铁6号线建设过程中，某知名运输集团承包了地铁6号线多标段的土方运输任务，该集团为了出色完成承接任务，拟派出该集团自主研发的、两种新型运输车运输土方．已知4辆型运输车与3辆型运输车一次共运输土方64吨，2辆型运输车与4辆型运输车一次共运输土方52吨．
（1）请问一辆型运输车和一辆型运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该运输集团决定派出、两种型号新型运输车共18辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于169吨，且型运输车至少派出4辆，则有哪几种派车方案？
【解答】解：（1）设一辆型运输车一次运土吨，一辆型运输车一次运土吨，
由题意可得：，解得，
答：一辆型运输车一次运土10吨，一辆型运输车一次运土8吨；
（2）设派出型号的新型运输车辆，则型号的新型运输车辆，
由题意可得：，解得，为整数，或14，
有两种派送方案，
方案一：派出型号的新型运输车13辆，型号的新型运输车5辆；
方案二：派出型号的新型运输车14辆，型号的新型运输车4辆．
题型二：分式方程+方案选择的应用题
考向1、商品购买类问题
6．（北雅）为增加学生阅读量，雅韵中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了4400元，购买“文学类”图书花费了3520元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买“科普类”图书的数量与“文学类”图书的数量相等．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用超过1790元且不超过1800元，则学校有哪几种购买方案？
【解答】解：（1）设“科普类”图书的单价为元，则“文学类”图书的单价为元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，则，
答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元；
（2）设“文学类”书购a本，则“科普类”书购（）本，
依题意：，解之得：．因为a是正整数，所以．
学校有3种购买方案：①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本．
7．（青竹湖）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了4000元，乙种商品共用了4800元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多16元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
(1)求甲、乙两种商品的每件进价；
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为120元，乙种商品的销售单价为136元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2520元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【答案】（1）解：设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x＋16）元．依题意，得：，解得：x＝80，经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，∴x＋16＝96，答：甲种商品的每件进价为80元，乙种商品的每件进价为96元；
（2）甲种商品的购进数量为4000÷80＝50（件），乙种商品的购进数量为4800÷96＝50（件），设甲种商品按原销售单价销售了m件，依题意，得：120m＋120×0.7（50 m）＋136×50 4000 4800≥2520，解得：m≥，答：甲种商品按原销售单价至少销售9件．
8．（立信）9月30日，某市53万余名初三学生回到阔别100多天的校园．为了返校学生的安全，快速筛查体温异常学生，某校打算在学生返校前购买了一批额温枪发放到班主任及相关人员手中，购买前有，两种型号的额温枪可供选择，已知每只型额温枪比每只型额温枪贵20元，用5000元购进型额温枪与用4500元购进型额温枪的数量相等．
（1）每只型，型额温的价格各是多少元？
（2）该校欲购进，两种型号的额温枪共30只，购买两种额温枪的总资金不超过5800元，则最多可购进型号额温枪多少只？
【解答】解：（1）设型额温枪的价格是元，型额温枪的价格是元，
依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，．
答：型额温枪的价格是200元，型额温枪的价格是180元．
（2）设购进A型号额温枪a只，∵200a＋180（30﹣a）≤5800，∴a≤20，
∴最多可购进A型号额温枪20只．答：最多可购进型号额温枪20只．
9．(长郡)东东玩具商店用元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的倍，但每套进价多了元.
(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
(2)如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
【解答】解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，
根据题意得：＝1.5×，解得：x＝25，经检验，x＝25是原分式方程的解．答：第一批悠悠球每套的进价是25元．
（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据题意得：500÷25×（1+1.5）y﹣500﹣900≥（500+900）×25%，
解得：y≥35．答：每套悠悠球的售价至少是35元．
考向2、抽象工程问题
10.（麓山）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，需在规定日期内完成。从运输量来估算：如果单独租用甲车，恰好按期完成，若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天，结果同时租用甲、乙两辆车合作运了7天，余下部分由乙车完成，则超过了规定日期1天完成任务。
(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天
(2)已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元，试问：租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少且不耽误工期 请说明理由。
【解答】解：（1）设甲车单独完成任务需要x天，乙单独完成需要x+15天，根据题意得：，
解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，答：甲15天，乙30天；
（2）设甲车每天租金为a元，乙车每天租金为b元，
则根据两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元可得：
，解得：，
①租甲乙两车需要费用为：65000元；
②单独租甲车的费用为：15×4000＝60000元；
③单独租乙车需要的费用为：30×2500＝75000元；
综上可得，单独租甲车租金最少．
11.（长郡）为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程。现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成。
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天
(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少。
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天，由题意得
＝，解得：x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解，2x＝30．
答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天．
（2）设甲工程队做a天，乙工程队做b天，根据题意得 a/15+b/30＝1，整理得b+2a＝30，即b＝30﹣2a
所需费用w＝4.5a+2.5b＝4.5a+2.5（30﹣2a）＝75﹣0.5a（a＞0），根据一次函数的性质可得，a 越大，所需费用越小，即a＝15时，费用最小，最小费用为75﹣0.5×15＝67.5（万元），所以选择甲工程队，既能按时完工，又能使工程费用最少．
答：选择甲工程队，既能按时完工，又能使工程费用最少．
12.（教科所）一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要a天，由题意得+36（+）＝1，
解之得a＝80，经检验a＝80是原方程的解．
答：乙工程队单独做需要80天完成；
（2）∵甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，∴+＝1，整理，得y＝80﹣x，
又∵x＜45，y＜52，∴，解得42＜x＜46，∵x、y均为正整数，∴x＝45，y＝50，
答：甲队做了45天，乙队做了50天．
考向3、具体工程问题
13．（开福区联考）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲种机器人比乙种机器人每小时多分，甲种机器人分类垃圾所用的时间与乙种机器人分类垃圾所用的时间相等．
（1）甲乙两种机器人每小时各分类多少垃圾？
（2）现在两种机器人共同分类垃圾，工作2小时后乙种机器人因机器维修退出，求乙种机器人退出后甲种机器人还需工作多长时间才能完成？
【解答】（1）设乙型机器人每小时分类垃圾，则甲型机器人每小时分类垃圾，
根据题意得：，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意．则．
答：甲型机器人每小时分类垃圾，乙型机器人每小时分类垃圾．
（2）（小时）．答：乙种机器人退出后甲种机器人还需工作6小时才能完成．
14．（青竹湖）某校为美化校园，计划安排甲乙两个施工队共同进行绿化．已知甲队每天完成绿化面积是乙队每天完成绿化面积的2倍；且甲乙两队分别完成的绿化面积时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两队每天能完成的绿化面积分别是多少？
（2）学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元．已知学校计划绿化面积，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，
根据题意得：，解得：，检验是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、．
（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：0.4y+×0.25≤8，解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
15．2021年10月17日是我国第8个扶贫日，也是第29个国际消除贫困日．为组织开展好扶贫日系列活动，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一批生姜送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜？
（2）如果这批生姜有1535箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了55箱，其它装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？
【详解】解：（1）设乙种货车每辆车可装x箱生姜，则甲种货车每辆车可装（x+20）箱生姜，
依题意，得： ，
解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，∴x+20＝100．
答：甲种货车每辆车可装100箱生姜，乙种货车每辆车可装80箱生姜；
（2）设甲种货车有m辆，则乙种货车有（16﹣m）辆，
依题意，得：100m+80（16﹣m﹣1）+55＝1535，解得：m＝14，∴16﹣m＝2．
答：甲种货车有14辆，乙种货车有2辆．
16．脐橙是秋冬季的时令水果，富含维生素C．一果园有甲、乙两支专业脐橙采摘队，甲队比乙队每天多采摘600公斤脐橙，甲队采摘28800公斤脐橙所用的天数与乙队采摘19200公斤脐橙所用的天数相同．
(1)甲、乙两队每天分别可采摘多少公斤脐橙？
(2)趁着为数不多的晴天，果园计划在24天内采摘52200公斤脐橙，先由甲、乙两队合作，中途由于甲队被调用，剩下的只能由乙队单独采摘，问甲、乙两队至少合作多少天才能在规定时间内采摘完？
【详解】(1)解：设甲队每天分别可采摘x公斤脐橙，乙队每天分别可采摘（x-600）公斤脐橙，
由题意可得：，解得：，则，
答: 甲、乙两队每天分别可采摘1800和1200斤脐橙.
(2)解：设甲、乙两队至少合作天才能在规定时间内采摘完，
由题意可得：，解得：，
答：甲、乙两队至少合作13天才能在规定时间内采摘完.
题型三：一次函数的最大利润（或最少费用）问题
考向1、不含参数的一次函数最值问题
17．（雅礼实验）雅礼中学打算购买三角梅、水仙装点学校道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元．
（1）求三角梅、水仙的单价各是多少元？
（2）购买三角梅、水仙共200盆，且购买的三角梅不少于60盆，但不多于80盆：
①设购买三角梅盆，总费用为元，求与的关系式；
②当总费用最少时，应选择哪一种购买方案？最少费用为多少元？
【解答】解：（1）设三角梅、水仙的单价分别为元、元，
根据题意得：，解得，
答：三角梅、水仙的的单价分别为4元、5元；
（2）①由题意可得，W＝4a+5（200－a），即W与a的关系式是W＝－a+1000（60≤a≤80）；
②∵W＝－a+1000，∴W随a的增大而减小，∵60≤a≤80，
∴当a＝80时，W取得最小值，此时W＝920，200－a＝200－80＝120，
答：当购买三角梅80盆、水仙120盆时，总花费最少，最少费用为920元．
18．（青竹湖）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只型节能灯和5只型节能灯共需50元，2只型节能灯和3只型节能灯共需31元．
（1）求1只型节能灯和1只型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求型节能灯的数量不超过型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【解答】解：（1）设1只型节能灯的售价是元，1只型节能灯的售价是元，
，解得，，
答：1只型节能灯的售价是5元，1只型节能灯的售价是7元；
（2）①解：由题意可得，A型号的节能灯a只，则B型节能灯有只，由题意可得，
，
∴W与a的函数关系式是；
②解：当时，代入①得，，
答：当时，购买两种型号的节能灯的总费用是元．
19．（雅礼）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京隆重举行，会上习总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚取得了全面胜利，同时要切实做好巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接各项工作．某企业准备帮扶甲脱贫村建造西红柿和蓝莓大棚共100亩，已知建造西红柿大棚每亩的价格为0.15万元，蓝莓大棚每亩的价格为0.2万元．
（1）若建造大棚的总费用为17万元，那么分别能建多少亩西红柿大棚和蓝莓大棚？
（2）如果建造西红柿大棚的面积不超过蓝莓大棚面积的3倍，那么建造多少亩蓝莓大棚时，可使总费用最少？总费用最少是多少？
【解答】解：（1）设西红柿大棚建亩，则蓝莓大棚建亩，
由题意得：，
解得：，，
答：西红柿大棚建60亩，则蓝莓大棚建40亩．
（2）解：设建造总费用为y万元，建造a亩蓝莓大棚，则建造西红柿大棚亩，
则建造总费用，由题意得，，
解得，，∵是a的一次函数，，∴y随a的增大而增大，
∴当时，建造总费用最小，最小费用为（万元）
答：建造25亩蓝莓大棚时，可使建造总费用最少，总费用最少是16.25万元．
20.（长郡）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米．建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．
（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
【解答】解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
根据题意得：，解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解，所以3+2＝5，
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；
（2）解法一：设建A摊位a个，建造这90个摊位的费用为y元，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：y＝5a×40+3×30（90﹣a）＝110a+8100，∵110＞0，∴y随a的增大而增大，∵90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，∵a为整数，∴当a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：110×22+8100＝10520；
解法二：设建A摊位a（a为整数）个，则建B摊位（90﹣a）个，由题意得：90﹣a≥3a，解得a≤22.5，
∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，
∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，
答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．
考向2、含参数的一次函数最值问题
21．（雅礼）某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元.
(1)求每台型电脑和型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍.设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元.
①求与的关系式；
②该商店购进型、型各多少台，才能使销售利润最大？
(3)实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑台.若商店保持同种电脑的售价不变，请你以上信息及(2)中条件，设计出使这台电脑销售总利润最大的进货方案.
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
，解得
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．
（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，
②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，33≤x≤70
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
22．（2017长沙中考）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．
由题意：＝×2，解得x＝150，经检验x＝150是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元．
（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．
由题意：v＝80m+70（250﹣m）＝10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，
（3）设利润为w元．则w＝（80﹣a）m+70（250﹣m）＝（10﹣a）m+17500，
①当10﹣a＞0时，即0＜a＜10时，w随m的增大而增大，所以m＝125时，最大利润为（18750﹣125a）元．
②当10﹣a＝0时，最大利润为17500元．
③当10﹣a＜0时，即10＜a≤80时，w随m的增大而减，所以m＝80时，最大利润为（18300﹣80a）元．
23．（青一）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料吨，其中A城肥料比B城少吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为元/吨和元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为元/吨和元/吨。现C乡需要肥料吨，D乡需要肥料吨。
（1） A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从A城运往C乡肥料吨，总运费为元，求出最少总运费；
（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少（）元，这时怎样调运才能使总运费最少
【解答】解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨，根据题意，得，解得
答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，则从A城运往D乡（200﹣x）吨，
从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则从B城运往D乡（60+x）吨．
若总运费为y元，根据题意，得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，由于y＝4x+10040是一次函数，k＝4＞0，y随x的增大而增大．因为x≥0，
所以当x＝0时，运费最少，最少运费是10040元．
（3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，
所以y＝（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝（4﹣a）x+10040
当0＜a＜4时，∵4﹣a＞0，∴当x＝0时，运费最少是10040元；当a＝4时，运费是10040元；
当4＜a＜6时，∵4﹣a＜0，∴当x最大时，运费最少．即当x＝200时，运费最少．
所以：当0＜a＜4时，A城化肥全部运往D乡，B城运往C城240吨，运往D乡60吨，运费最少；
当a＝4时，不管A城化肥运往D乡多少吨，运费都是10040元．
当4＜a＜6时，A城化肥全部运往C乡，B城运往C城40吨，运往D乡260吨，运费最少．
题型四：二次函数最大利润问题
考向1、设降价为元的类型
24.（广益）某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加赢利,尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价3元,商场平均每天可多售出6件.求：（1）若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，且根据题意算出每降价1元，可多售出2件衬衫，则6÷3=2（件/元），根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，x2﹣30x+200＝0，（x﹣10）（x﹣20）＝0，x＝10或20，
∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴x＝20，答：每件衬衫应降价20元；
（2）设每件衬衫应降价x元时，利润为w元，w＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵﹣2＜0，∴w有最大值，即当x＝15时，w有最大值为1250元，
答：每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利1250元．
25.（师大）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意，得y＝（2400﹣2000﹣x）（8+4×），即y＝﹣x2+24x+3200；
由题意，得﹣x2+24x+3200＝4800．整理，得x2﹣300x+20000＝0．解这个方程，得x1＝100，
x2＝200．要使百姓得到实惠，取x＝200元．∴每台冰箱应降价200元；
（3）对于y＝﹣x2+24x+3200＝﹣（x﹣150）2+5000，当x＝150时，y最大值＝5000（元）．
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
26．（长郡）虾在稻中游，稻在虾田长．稻虾种养田采取的是“稻虾轮作”模式某县依托湖乡优势，推广稻虾田综合种养模式，打造了一条完整稻虾产业链，为推进乡村振兴奠定了坚实的基础．到2022年初，稻虾种养田面积已由2020年初的40万亩增长到67.6万亩．
（1）如果这两年该县稻虾种养田面积的年平均增长率相同，求这个增长率；
（2）4月份稻田小龙虾蜂拥上市，某商家以每千克12元的价格购进，计划以每千克30元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知日销售量（千克）与每千克降价（元之间满足一次函数关系，如图所示．该商家想要获得最大利润，每千克应降价多少元？
【解答】解：（1）设年平均增长率为，
由题意得，，解得，（舍去），答：年平均增长率为；
（2）设与的关系式为，
把和代入可得，解得，与的关系式为．
设每日的利润为元，则．
商家想要获得最大利润，每千克应降价1.5元．
考向2、设售价为元的类型
27．(长郡)某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现，该商品每天的销售量(支)与销售单价(元/支)之间存在如图所示的关系：
(1)请求出与的函数关系式；
(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，将（30，100），（35，50）代入 y＝kx+b，
得，解得，∴y与x的函数关系式为 y＝﹣10x+400；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，由题意得 w＝（x﹣20） y＝（x﹣20）（﹣10x+400）
＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，∵﹣10＜0，∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元；
（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，由题意可得 z＝﹣10x2+600x﹣8000﹣200＝﹣10x2+600x﹣8200，
令z＝550，即﹣10x2+600x﹣8200＝550，﹣10（x2﹣60x+900）＝﹣250，x2﹣60x+900＝25，
解得x1＝25，x2＝35，画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图，
由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550 元．
28．(雅礼)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题；
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；
（3）商店要想月销售成本不超过10000元，使月销售利润达到8000元，销售单价定为多少？
（4）商店要想月销售量利润最大，销售单价定为多少元？最大月销售利润是多少？
【解答】解：（1）销售量：500﹣5×10＝450（kg）；销售利润：450×（55﹣40）＝450×15＝6750元；
（2）y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000；
（3）由于水产品不超过10000÷40＝250kg，定价为x元，则（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
解得：x1＝80，x2＝60，当x1＝80时，进货500﹣10×（80﹣50）＝200kg＜250kg，符合题意，
当x2＝60时，进货500﹣10×（60﹣50）＝400kg＞250kg，舍去；
（4）由（2）的函数可知：y＝﹣10（x﹣70）2+9000，因此：当x＝70时，ymax＝9000元，
即：当售价是70元时，利润最大为9000元．
29.（麓山）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场
调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500，
∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500；
（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
30．（青竹湖）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为（元，每天的销售量为（瓶．
（1）求每天的销售量（瓶与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润为320元？
【解答】解：（1）由题意得：，；
（2）设销售单价降低元，则每瓶的销售利润为元，每天的销售量为瓶，依题意，得：，化简，得，
解得，（舍去），，答：销售单价为18元．
31．（一中）“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．当销售单价定为46元时，每天可售出400个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，且规定利润率不得高于．设每天销售量为个，销售单价为元．
（1）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利4800元；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设当每个纪念品的销售单价是元时，商家每天获利4800元，
由题意得：，解得，，，
当时，利润率为不符合题意，故舍去；
当时，利润率为符合题意，
答：当每个纪念品的销售单价是56元时，商家每天获利4800元；
（2）由题意得：，
，二次函数开口向下，且当时，利润率为，当时，利润率为，当时，随的增大而增大，
故当时，符合题意，且利润最大，最大利润为元．
答：将纪念品的销售单价定为60元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大，最大利润是5200元．
题型五：二次函数最大面积问题
32.（师大）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【解答】解：（1）∵AB＝x，则BC＝（28﹣x），∴x（28﹣x）＝192，解得：x1＝12，x2＝16，
答：x的值为12或16；
（2）∵AB＝xm，∴BC＝28﹣x，∴S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，∵28﹣15＝13，∴6≤x≤13，
∴当x＝13时，S取到最大值为：S＝﹣（13﹣14）2+196＝195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
33.（北雅）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米，这时面积S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x．
（2）由条件﹣3x2+24x＝45化为x2﹣8x+15＝0，解得x1＝5，x2＝3，∵0＜24﹣3x≤10得≤x＜8
∴x＝3不合题意，舍去，即花圃的宽为5米．
（3）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x2﹣8x）＝﹣3（x﹣4）2+48（≤x＜8）
∴当时，S有最大值48﹣3（﹣4）2＝46，故能围成面积比45米2更大的花圃．围法：24﹣3×＝10，花圃的长为10米，宽为米，这时有最大面积平方米．
题型六：一元二次方程的连续两次增长模型
34．（立信）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆200人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过300人次，在进馆人次的月平均匀增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
，，，或（舍，
答：进馆人次的月平均增长率为．
（2）进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：，
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
35．（立信）“杂交水稻之父” 袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【解答】解：（1）设亩产量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为．
（2）（公斤）．
，
他们的目标能实现．
36．随着全球疫情的扩散，疫苗需求仍存在较大缺口，某制药企业及时引进一条疫苗生产线生产新冠疫苗，开工第一天生产疫苗10000盒，第三天生产疫苗12100盒，若每天增长的百分率相同．
（1）求每天增长的百分率．
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产疫苗105000盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【详解】解：（1）设每天增长的百分率为，依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为．
（2）设增加条生产线，则每条生产线的产量为盒/天，
依题意得：，整理得：，解得：，．
又∵要节省投入，∴．答：应该增加9条生产线．
题型七：分段函数类应用题
37．(青一)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量（万元）与月份（月）的关系为，
每件产品的利润（元）与月份（月）的关系如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10
(1)请你根据表格求出每件产品利润（月）与月份（月）的关系式；
(2)若月利润（万元）=当月销售量（万件）当月每件产品的利润（元），求月利润（万元）与月份（月）的关系式；
(3)当为何值时，月利润有最大值，最大值为多少？
【解答】解；（1）当1≤x≤9时，设每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式为z＝kx+b，
，得，即当1≤x≤9时，每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式为z＝﹣x+20，
当10≤x≤12时，z＝10，由上可得，z＝；
（2）当1≤x≤8时，w＝（x+4）（﹣x+20）＝﹣x2+16x+80，当x＝9时，w＝（﹣9+20）×（﹣9+20）＝121，当10≤x≤12时，w＝（﹣x+20）×10＝﹣10x+200，
由上可得，w＝；
（3）当1≤x≤8时，w＝﹣x2+16x+80＝﹣（x﹣8）2+144，∴当x＝8时，w取得最大值，此时w＝144；
当x＝9时，w＝121，当10≤x≤12时，w＝﹣10x+200，则当x＝10时，w取得最大值，此时w＝100，
由上可得，当x为8时，月利润w有最大值，最大值144万元．
38.(广益)我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完,该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查。其中,国内市场的日销售量y1(万件)与时间t(t为整数,单位：天)的部分对应值如下表所示。而国外市场的日销售量y2(万件)与时间t(t为整数,单位：天)的关系如图所示。
(1)请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律,写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
(2)分别探求该产品在国外市场上市20天前(不含第20天)与20天后(含第20天)的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
(3)设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值。
【解答】解：（1）由图表数据观察可知y1与t之间是二次函数关系，设y1＝a（t﹣0）（t﹣30）
再代入t＝5，y1＝25可得：a＝﹣∴y1＝﹣t（t﹣30）（0≤t≤30）；
（2）由函数图象可知y2与t之间是分段的一次函数由图象可知：
0≤t＜20时，y2＝2t，当20≤t≤30时，y2＝﹣4t+120，
∴y2＝；
（3）当0≤t＜20时，y＝y1+y2＝﹣t（t﹣30）+2t＝80﹣（t﹣20）2，可知抛物线开口向下，t的取值范围在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以最大值小于当t＝20时的值80，
当20≤t≤30时，y＝y1+y2＝﹣t（t﹣30）﹣4t+120＝125﹣（t﹣5）2，
可知抛物线开口向下，t的取值范围在对称轴右侧，y随t的增大而减小，所以最大值为当t＝20时的值80，
故上市第20天，国内、外市场的日销售总量y最大，最大值为80万件．
39．(雅礼)牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式，甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元：甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元.
(1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元？
(2)假设巴特尔生产的奶食品当日可以全部出售，且选择运费低的公司运送，若该产品每千克的生产成本元（不含快递运费），销售价元与生产量千克之间的函数关系式为：，(0＜＜13)，则巴特尔每天生产量为多少千克时获得利润最大？最大利润为多少元？
【解答】解：（1）设甲快递公司每千克的运费各是x元，乙快递公司每千克的运费是y元，
根据题意得，，解得：，
答：甲快递公司每千克的运费是6元，乙快递公司每千克的运费是10元；
（2）设产量为xkg时，获得的利润为W元，
①当0＜x＜8时，W＝x（﹣6x+120+2x﹣58）﹣6x＝﹣4x2+56x＝﹣4（x﹣7）2+196，
∴当x＝7时，W的值最大，最大值为196；
②当8≤x＜13时，W＝x（﹣6x+120﹣42）﹣6x＝﹣6（x﹣6）2+216，（不合题意，舍去），
当x＝8时，W的值最大，最大值为192；
∴巴特尔每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元．
40.(师大)某企业接到一批酸奶生产任务,按要求在16天内完成,规定这批酸奶的出厂价为每瓶8元,为按时完成任务,该企业招收了新工人小孙,设小孙第x天生产的酸奶数量为y瓶,y与x满足下列关系式:
(1)小孙第几天生产的酸奶数量为520瓶
(2)如图,设第x天每瓶酸奶的成本是p元,已知p与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画.若小孙第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元 (利润=出厂价一成本)
(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第m+1天的利润比第m天的润至少多50元，则第(m+1)天每瓶酸奶至少应提价几元？
【解答】解：（1）由题意知40x+160＝520，解得：x＝9，即小孙第9天生产的酸奶数量为520瓶；
（2）由图象得，当0≤x≤8时，p＝4；当8≤x≤16时，设p＝kx+b，
把点（8，4），（16，6）代入得，，解得：，∴p＝x+2；
（3）由题意可知：当0≤x≤8时，w＝（8﹣4）×50x＝200x，此时当x＝8时，w取得最大值1600；
当8≤x≤16时，w＝（8﹣x﹣2）×（40x+160）＝﹣10x2+200x+960＝﹣10（x﹣10）2+1960，
所以当x＝10时，w取得最大值1960；
综上，第10天的利润最大，最大利润是1960元．
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09 应用题板块中档大题 过关40题【2023中考数学高频考点过关考前必刷题】(原卷版+解析版)