江苏省南京市盐城市2023年高三第一模拟考试数学试题（含解析）

A. |OA| = |OB| B. OA⊥OC C. |AC| = |BC| D. OB AC
【答案】AB
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
【解析】设 z= a+ bi,则 z= a- bi,iz=-b+ ai,所以OA= a,b ,OB= a,-b ,OC = -b,a

对于A，|OA| = |OB| = a2+ b2,A正确

对于B，OA×OC =-ab+ ab= 0,所以OA⊥OC,B正确；

对于C，|AC| = OC -OA = -b- a 2+ a- b 2= 2 a2+ b2,|BC| = OC -OB =

-b- a 2+ a+ b 2= 2 a+ b ,所以 |AC| ≠ |BC|,C错误；

对于D，OB= a,-b ,AC = -b- a,a- b ,而 a a- b ≠-b -b- a ,所以OB与AC不平行，D错误
~ 故选AB ~
11.已知点A(-1,0),B(1,0), 点P为圆C:x2+ y2- 6x- 8y+ 17= 0上的动点, 则 ( )
A. △PAB面积的最小值为 8- 4 2 B. AP的最小值为 2 2
5π C. ∠PAB的最大值为 12 D. AB AP的最大值为 8+ 4 2
【答案】BCD
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2~~~~~~~~~~2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
【解析】圆 C: (x- 3) + (y- 4) = 8,故 PAB面积最小值 4- 2 2,A错

APmin= 4 2- 2 2,B正确；利用投影法，可得AB AP≤ 2× [4+ 2 2],D正确
对于C，由题意可知，当AP与圆相切时，∠PAB最大，此时PC= 2 2,AC= 4 2,所以∠PAC= π6 ,而 kAC=
4- 0 = 1，所以∠CAB= π4 ,所以∠PAB=
π + π6 4 =
5π
12 ,C正确3- -1
~ 综上所述答案为BCD ~
·3·
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
y
P
C
A B x
~ ~
12.已知 f(θ) = cos4θ+ cos3θ, 且 θ1,θ2,θ3是 f(θ)在 (0,π)内的三个不同零点, 则 ( )
A. π7 ∈ θ1,θ2,θ3 B. θ1+ θ2+ θ3= π
C. cosθ1cosθ2cosθ3=- 18 D. cosθ
1
1+ cosθ2+ cosθ3= 2
【答案】ACD
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~7~~~~~~~θ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
【解析】f(θ) = 2cos 2 θ cos 2 ,故三个根为 {
π
7 ,
3
7 π,
5π
7 },故A正确，B错
处理 2：cos3θ= (2cos2θ- 1)cosθ= 4cos3θ- 3cosθ,cos4θ= 8cos4θ- 8cos2θ+ 1
故:cos π7 ,cos
3π
7 ,cos
5π
7 为方程 8x
3- 4x2- 4x+ 1= 0的根，由根与系数关系可得:CD正确
8
处理 1：cos π cos 3π cos 5π
sin π
7 7 7 = cos
π
7 cos
4π 2π 7 1
7 cos 7 = π =-8sin 87
π 3π 5π π 6
cos π + cos 3π + cos 5π
(cos 7 + cos 7 + cos )2sin sin π= 7 7 = 7 = 1π π
~ 7 7 7 2sin 27 2sin 7 ~
三、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.编号为 1,2,3,4的四位同学, 分别就座于编号为 1,2,3,4的四个座位上, 每位座位恰好坐一位同学,则恰有两位
同学编号和座位编号一致的坐法种数为
【答案】6
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
【解析】四个座位，当有两个同学座位相同，另外两个同学座位不同，那么坐法唯一，只需确认两个座位与编号相
~ 同的同学即可，所以坐法有C
2
4= 6种. ~
14.已知向量 a,b满足 |a| = 2,|b| = 3,a b= 0. 设 c= b- 2a, 则 cos a,c =
【答案】- 45
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ a~~ ~ c~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
【解析】由题意可令 a= 2,0 ,b= 0,3 ，则 c= -4,3 ,所以 cos a,c = = -8 =- 4
~ a c 2× 5 5 ~
15.已知抛物线 y2= 4x的焦点为F, 点P是其准线上一点, 过点P作PF的垂线, 交 y轴于点A, 线段AF交抛物
线于点B. 若PB平行于 x轴,则AF的长度为
【答案】3
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
【解析】由BP=BF,结合直角三角形性质可得:AF的中点B在抛物线上，
~ 设A(0,a)代入B(
1 , a2 2 )得 a= 2 2,故AF= 3 ~
16.直线 x= t与曲线C1:y=-ex+ ax(a∈R)及曲线C :y= e-x2 + ax分别交于点A,B. 曲线C1在A处的切线为 l1,
曲线C2在B处的切线为 l2. 若 l1,l2相交于点C, 则△ABC面积的最小值为
【答案】2
·4·
~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
【解析】A(t,-et+ at),B(t,e-t+ at),l1:y= (-et+ a)x+ tet- et,l2:y= (-e-t+ a)x+ te-t+ e-t
t
= - e + e
-t
, = t- x
t
C e + e-t = (e
t- e-t)2+ 4
xC t t- -t 由点差表达面积为S 2 t- -t ≥ 2,当且仅当 t=±ln( 2+ 1)时取等.~ e e 2 e e ~
四、解答题:本大题共 6小题,共 70分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明，证明过程或
演算步骤.
17. (本小题满分 10分)
在数列 an 中, 若 an+1- a1a2a3 an= d n∈N , 则称数列 an 为“泛等差数列”, 常数 d称为“泛差”.已知
数列 an 是一个“泛等差数列”, 数列 bn 满足 a21+ a22+ +a2n= a1a2a3 an- bn
(1)若数列 an 的“泛差”d= 1, 且 a1,a2,a3成等差数列, 求 a1;
(2) 1若数列 an 的“泛差”d=-1, 且 a1= 2 , 求数列 bn 的通项 bn.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
【解析】(1)由题意得 a2= a1+ 1,a3= a1a2+ 1,又 a1,a2,a3 成等差数列，∴ 2a2= a1+ a3 2 a1+ 1 = a1+
a1 a1+ 1 + 1 a21= 1，所以 a1=±1
(2)因为 an+1+ 1= a1a2a3 an,所以 an+ 1= a1a2a3 an-1 n≥ 2 ，
所以 an+1+ 1= a + 1 a = a 2n n n+ an a 2n= an+1- an+ 1
所以 a2+ a22 3+ +a2n= a3- a2+ 1 + a4- a3+ 1 + + an+1- an+ 1 = an+1- a2+n- 1
a = 1又 1 2 ,a2= a1- 1=-
1
2 ,所以 a
2
1+ a22+ +a2n= an+1+ 12 +n- 1+
1
4 = an+1+n-
1
4
∴由 a2+ a21 2+ +a2n= a1a2a3 an- bn可得 an+1+n- 14 = an+1+ 1- bn b =
5
n 4 -n
当n= 1时，b = a 2 1 51 1- a1= 4 符合通项，所以 b = -n~ n 4 ~
18. (本小题满分 12分)
在△ABC中, 角A,B,C的对边分别为 a,b,c,2c= b(sinA- cosA).
(1)若 sinB= 10sinC, 求 sinA的值;
(2)在下列条件中选择一个,判断△ABC是否存在. 如果存在,求 b的最小值;如果不存在, 说明理由.
①△ABC的面积S= 2+ 1;② bc= 4 2;③ a2+ b2= c2.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
【解析】(1)由正弦定理 2c= b(sinA- cosA) 2sinC = sinB(sinA- cosA)①，把 sinB= 10sinC代入①式得
2sinC = 10sinC (sinA- cosA),sinC ≠ 0所以 sinA- cosA= 15
sinA- cosA= 1联立方程 5 2sin2A-
2 sinA- 24 = 0 sinA- 4 2sinA+ 6 = 0,在△ABC中，
sin2

A+ cos2A= 1 5 25 5 5
sinA> 0,所以 sinA= 45
(2)选③ a2+ b2= c2,则C= π2 ,由正弦定理 2c= b(sinA- cosA) 2sinC = sinB(sinA- cosA)
2= 2sinB sin A- π sinB sin A- π = 2 sinB sin A- π则 4 4 ，因为 4 ≤ 1< 2,所以这样的三角形不
~ 存在 ~
19. (本小题满分 12分)
如图, 在多面体ABCDE中, 平面ACD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,△ABC和△ACD均为正三角形, AC
= 4,BE= 3.
(1)在线段AC上是否存在点F, 使得BF 平面ADE 说明理由；
(2)求平面CDE与平面ABC所成的锐二面角的正切值.
·5·
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
D
E
A C
B
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
【解析】取 AC 中点 O,连结 OB,OD,因为 △ACD为等边三角形，所以 z
OD⊥AC,
D
因为平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC
OD 平面ACD,所以OD⊥平面ABC
又因为△ABC为等边三角形，所以OB⊥AC,

所以以 OA,OB,OD 为空间基底建立空间直角坐标系，
则 O 0,0,0 , D 0,0,2 3 , A 2,0,0 , C -2,0,0 , B 0,2 3,0 ,
E 0,2 3, 3 E
(1)假设线段AC上是否存在点F,使得BF 平面ADE, x A O C
设点F t,0,0 ,t∈ -2,2

AD = -2,0,2 3 ,AE = -2,2 3, 3 ,BF = t,-2 3,0 设平面

B
ADE 的 法 向 量 为 n = x, , ,
n AD= 0
y z 则 n AE= 0 y
-2x+ 2 3z= 0 - + ,令 x= 3,则 z= 1, =
1 , y 1所以n= 3, ,1
2x 2 3y+ 3z= 0 2 2

若 BF 平面 ADE,则 BF ⊥ n,BF n= 3t - 3 = 0 t= 1,所以存在点 F，且 OF= 1,使得 BF 平面
ADE
( ) 2 平面ABC的一个法向量为n1= 0,0,1 ,

设平面CDE的一个法向量为n2= x1,y1,z1 ,因为CD= 2,0,2 3 ,CE= 2,2 3, 3

n2 C D = 0 2x1+ 2 3z1= 0 所以 + + = ,令 x1= 3,则 z1=-1,y=-
1
2 ,所以n2= 3,-
1
2 ,-1n2 CE= 0 2x1 2 3y 1 3z1 0

, = , = n 1

n
CDE ABC θ cosθ cos n n 2 = 1 2设平面 与平面 所成的锐二面角为 则 1 2 = n1 n2 17 17
4
13 13
则 sinθ= ,tanθ=
17 2
13
所以平面CDE与平面ABC所成的锐二面角的正切值为
~ 2 ~
20. (本小题满分 12分)
人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学, 被认为是 21世纪最重要的尖端科技之一,其理论和技
术正在日益成熟,应用领域也在不断扩大. 人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率, 然后通过计算
得到后验概率, 使先验概率得到修正和校对, 再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理,我们可以
设计如下试验模型:有完全相同的甲、乙两个袋子,袋子有形状和大小完全相同的小球, 其中甲袋中有 9个红球
和 1个白球;乙袋中有 2个红球和 8个白球. 从这两个袋子中选择一个袋子,再从该袋子中等可能摸出一个球,
1
称为一次试验.若多饮试验直到摸出红球, 则试验结束. 假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 2 (先验概
·6·
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
率).
(1)求首次试验结束的概率;
(2)在首次试验摸出白球的条件下,我们对选到甲袋或乙袋的概率 (先验概率)进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率;
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子,继续进行第二饮试验时有如下两种方案:方案一,从原来袋子中摸
球;方案二,从另外一个袋子中摸球.请通过计算, 说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
【解析】(1) 1首次实验即结束，表示第一次摸出红球，红球来自甲乙两个袋子，由先验概率知均为 2
1 C1 C1 1 11 11
记首次摸到红球为事件A1,则P A1 = 9 22 1 + 1 = 2 × =C10 C10 10 20

(2) 9①首次摸出白球与首次摸出红球为对立事件A1,∴P A1 =
20
记在首次摸出白球的条件下，发生在甲袋为B1|A 1
，
P B A 1 × 11 1
由条件概率公式知:P B1|A1 = = 2 10 = 1
P A 9 91 20
1 8
②由①知：第一次白球来自甲得概率为 9 ，则来自乙袋的概率为 9 ，若要第二次实验结束 (有放回)
1 9 9
考虑方案一：当白球来自甲时，9 × 10 = 90
8 2
当白球来自乙时，9 × 10 =
16
90
25
故方案一可能结束实验的概率为 90
1 2 2
方案二：当白球来自甲时，9 × 10 = 90
8 × 9 = 72当白球来自乙时，9 10 90
74
故方案二可能结束实验的概率为 90
74
因为 90 >
25
~ 90
,故方案二的概率更大 ~
21. (本小题满分 12分)
2 y2
已知双曲线C: x2 - 2 = 1(a,b> 0)的离心率为 2, 直线 l1:y= 2x+ 4 3 与双曲线C仅有一个公共点.a b
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左顶点为A, 直线 l2平行于 l1, 且交双曲线C于M ,N两点, 求证:△AMN的垂心在双曲线C
上.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
c 2 2
【解析】(1)因为双曲线离心率 e= = ca 2 = 1+
b = 2,则 a= b，可以设双曲线方程为：x2- y22 = a2，又a a
2 2 2
因为直线 l1:
x - y = a
y= 2x+ 4 3 与双曲线C仅有一个交点，且这个直线不平行渐进线，故联立 = + 3x
2+
y 2x 4 3
16 3x+ a2+ 48= 0 Δ= 768- 12(a2+ 48) = 0 a2= 16
x2 y2
所以双曲线方程为：16 - 16 = 1
x2 y2
(2)因为直线 l - = 1平行于 l 2 22 1，设 l2:y= 2x+ t，联立 16 16 3x + 4xt+ t + 16= 0y= 2x+ t
2
Δ= 16t2- 12(t2+ 16)> 0 t2> 48 M (x 4t t + 16设 1,y1),N (x2,y2) 则 x1+ x2=- 3 ,x1x2= 3
则可得 MN 1边上的高的方程为：y =- 2 (x + 4)，则可以求出高与双曲线交点坐标，设交点为 Q，联立~ ~
·7·
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2
x16 -
y = 1
16 3x
2- 8x- 80= 0 xA=-4，xQ= 20 20 16
y=- 1 (x+ 4) 3
则Q点坐标为 3 ,- 3 ，
2

QN = x - 20 ,y + 16

则 2 3 2 3 ,AM = (x1+ 4,y2)

则QN AM = x - 202 3 (x
16
1+ 4) + y1 y2+ 3 又 y1= 2x1+ t,y2= 2x2+ t

则QN AM = x2- 203 (x1+ 4) + y1 y2+
16
3 = x x -
20
1 2 3 x1+ 4x -
80
2 3 + (2x1+ t) 2x + t+
16
2 3
2
= 5x1x2+ (2t+ 4) (x1+ x ) + t2+ 162 3 t-
80
3 又 x + x =-
4t
1 2 3 ,x x =
t + 16
1 2 3
2
QN AM = 5x x + (2t+ 4) (x + x ) + t2+ 16 t- 80 = 5t + 80- 8t
2- 16t+ 3t2+ 16t- 80
则 1 2 1 2 3 3 3 = 0
~ 所以QN⊥AM 所以ΔAMN的垂心在双曲线上. ~
22. (本小题满分 12分)
已知 k∈R, 函数 f(x) = 3ln(x+ 1) + 2 ππ sin 2 x+ kx,x∈ (-1,2).
(1)若 k= 0, 求证:f(x)仅有 1个零点;
(2)若 f(x)有两个零点, 求实数 k的取值范围.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
【解析】(1)证：k= 0时，f(x) = 3ln(x+ 1) + 2π sin
π
2 x，x∈ (-1,2)，显然 f(0) = 0
π
法一：x∈ (0,2)时，2 x∈ (0,π)，则 sin
π
2 x> 0，x+ 1> 1，则 ln(x+ 1)> 0，因此 f(x)> 0
即 x∈ (0,2)时，f(x)无零点；
x∈ (-1,0) π时，2 x∈ -
π
2 ,0 ，则 sin
π
2 x< 0，x+ 1∈ (0,1)，则 ln(x+ 1)< 0，因此 f(x)< 0
即 x∈ (-1,0)时，f(x)无零点；
综上，f(x)仅有 1个零点；
法二：f '(x) = 3x+ 1 + cos
π
2 x，x∈ (-1,2)
x∈ (-1,2) 3时，x+ 1 ∈ (1,+∞)，cos
π
2 x∈ (-1,1]
因此 f '(x)> 0，f(x)在 (-1,2)上单调递增
故 f(x)仅有 1个零点 0；
(2)解：f(0) = 0，f '(x) = 3x+ 1 + cos
π
2 x+ k，x∈ (-1,2)
f"(x) =- 3 2 -
π
2 sin
π
2 x，x∈ (-1,2)(x+ 1)
x∈ [0,2)时，f"(x)< 0
x∈ (-1,0) - 3时， 2 ∈ (-∞,-3)
π sin π，2 2 x∈(x+ 1) -
π
2 ,0 ，则 f"(x)< 0
因此，f"(x)< 0，故 f '(x)在 (-1,2)递减，f '(2) = k，f '(0) = 4+ k
若 k≥ 0，则 f '(x)> 0，f(x)至多一个零点，不符合题意，故 k< 0
f '(2)< 0，f ' 3- - 1 = 1+ cos
π
1 k 2
x> 0
f '(2)f ' 3- - 1 < 0，故 f '(x)
3
在 - 1,2 上存在唯一零点，设为 x
1 k 1- k 0
x∈ (-1,x0)时，f '(x)> 0，f(x)递增；x∈ (x0,2)时，f '(x)< 0，f(x)递减
① k=-4时，f '(0) = 0，则 x0= 0，即 f(x)在 (-1,0)递增，(0,2)递减
f(x)max= f(0) = 0，此时，f(x)仅有 1个零点，与题意不符，舍去；
② k∈ (-4,0)时，f '(0)> 0，则 x0∈ (0,2)，则 f(x0)> f(0) = 0
f(x)在 (-1,x0)上仅有 1个零点 0
f(x)有两个零点，则 f(2) = 3ln3+ 2k< 0 k<- ln27 , k∈ -4,- ln27，得：~ 2 故 2 ； ~
·8·
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
③ k∈ (-∞,-4)时，f '(0) f(0) = 0
k 4
f(x)在 (x0,2)上恰有 1个零点 0,e 3- 1∈ -1,e- 3- 1 - π2 ,0
k
k π e 3- 1 k k k
则 f e 3- 1 = 2π sin
3
2 + ke < 0,f e
3- 1 f(x0)< 0，f(x)在 e 3- 1,x0 上恰有 1个零点
综上，k∈ (-∞,-4) ∪ -4,- ln272 ．~ ~
·9·
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~

江苏省南京市盐城市2023年高三第一模拟考试数学试题（含解析）