陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考文科数学试题（含答案）

陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考
数学（文科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名.准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.
2..选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持纸面清洁，不折叠，不破损.
5.若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，集合，则（ ）.
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，，则复数（ ）.
A. B. C. D.
3.设等差数列的前项和为，且，，则（ ）.
A.285 B.302 C.316 D.363
4.已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（ ）.
A. B. C. D.
5.若焦点在轴上的双曲线的离心率为3，则与的关系为（ ）.
A. B. C. D.
6.在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（ ）.
A. B. C. D.
7.执行图示程序框图，则输出的值为（ ）.
A.-3 B.-2 C.0 D.3
8.、满足不等式组则的最大值为（ ）.
A.-6 B.-3 C.2 D.22
9.根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）.
2 4 5 6 8
30 40 50 70
A.60 B.55 C.50 D.45
10.已知正四面体的各棱长均为3，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）.
A. B. C. D.
11.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如右，则该截得几何体的体积为（ ）.
A.67.5 B. C. D.
12.将函数的图像上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数的图像，则下列描述不正确的是（ ）.
A.函数的最小正周期为
B点是函数的图像与轴最近的一个对称中心
C.的值域与缩小的倍数无关
D.直线是函数的图像与轴最近的一条对称轴
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）
13.函数为奇函数，则___________.
14.过三点、、的圆的圆心坐标为___________.
15.已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，且，则抛物线的标准方程为___________.
16.已知数列和数列，，.设，则数列的前项和_________.
三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，.
（Ⅰ）求C的值；
（Ⅱ）若，求的面积
18.（本小题满分12分）
红旗中学高三年级共有学生1800名，在一次数学考试后，抽取了200名同学的成绩（满分150分），绘制成频率分布直方图（如图），成绩的分组区间为.
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；
（Ⅱ）由样本估计总体﹑估计这次考试，年级成绩优秀（分数大于或等于120分即为优秀）人数和平均分数（用各组的中点值代替该组的平均值）.
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，E、F分别是PB、BC的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求四棱锥的体积
20.（本小题满分12分）
已知函数（自然对数的底数）在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求证：函数在区间内有唯一零点.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆：的焦点为、，离心率为，直线：，、在直线上的射影分别为M、N，且.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C交于A、B两点，.求的面积的最大值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.
22.[选修4-4：极坐标与参数方程]（本小题10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为.
（I）若，在极坐标系中，直线经过点，求的值；
（Ⅱ）若，直线与曲线S交于A、B两点，求的最小值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，求证：.
陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考
参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B C C A B B A D A D
二、填空题：每小题5分，共20分.
13.；14.；15.或；16..
三、解答题：共70分.
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵A、B、C是的内角，得.又，.
∴，.
∴
.
∴.
（Ⅱ）由正弦定理和合比定理，得.
∵，，，.
∴，得.
∴，得，.
∴的面积.
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意，得
，
解之，得.
（Ⅱ）由频率分布直方图，得样本中，分数大于或等于120分的频率为
.
∴由样本估计总体，得高三年级这次数学考试成绩的优秀率为25%.
∴这次考试年级优秀人数为1800×25%=450.
设样本的平均分数为.
.
由样本估计总体，估计这次考试平均分数为108.35分.
∴这次数学考试，估计优秀人数有450人，平均分数为108.35分.
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在平面PAB内作直线BA于M、连接MC.
∵，.
∴.
在与中，，、公用.
∴与全等.
∴.即，即.
∵，，.
∴平面，又在平面内.∴.
∵E、F分别是PB、BC的中点，得.∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意知，底面，且.
∵F为BC的中点，得，又与互补.
∴的面积与的面积相等.
∴①.
又∵E是PB的中点，得Р点到平面AEF的距离与B点到平面AEF的距离相等.
∴.②
由①②得
.
∴四棱锥的体积为.
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域为.
，.
.
∵在点处的切线方程为，切线的斜率为.
∴得
∴，.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，.
∴（为自然对数的底数）
∵总成立.
∴在区间内零点的个数等价于在区间内零点的个数.
∵，.
∴在内有零点.
又∵，
当时，.得在上单调递增.
∴在内有唯一零点，即函数在区间内有唯一零点.
21.（本小题满分12分）
解：（1）∵直线：的斜率为-1，倾斜角为.
∴，即椭圆的焦距，.
由椭圆的离心率为，得，得，.
∴椭圆C的标准方程为.
（Ⅱ）由消去，得.
令，得（*）
设、，则，.
.
点到直线的距离为.
∴.
设，.
，
.
由得，，.
当时，点在直线上.故将舍去.
当变化时，和的变化情况如下表
-2 2 3
+ - + -
极大值 0 极大值
∴，.
∴.
∴.
∴的面积的最大值为.
22.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）设点的直角坐标为.因为，点的极坐标为.
∴，.
∴当时，得解之，得
∴.
（Ⅱ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为.
∴曲线S是以为圆心，半径的圆.
当时，若，化直线的参数方程为普通方程：，直线过定点.若，直线的普通方程为：，直线也过点.
∴直线恒过定点.
∵.
∴点Р在圆C内.
∴当Р为AB的中点时最小.这时，，.
∴.
23.（本小题满分10分）
（Ⅰ）解：∵
∴等价于下列不等式组
①；或②；或③.
①的解为；②无解；③的解为.
∴不等式的解集为.
（Ⅱ）证明：（方法一）当时，.
∴要证即证，即证.
∵.
∴.
当且仅当即时取等号.
∴当时，.
（方法二）当时，.
∴要证即证，即证.
∵恒成立.且时取等号.
∴当时，.

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