高中数学高一下 人教2019A版必修第二册 7-2复数的四则运算 课时练习（含解析）

高中数学高一下 人教2019A版必修第二册
7-2复数的四则运算 课时练习
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．设，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
3．若复数，则（ ）
A．8 B．64 C．10 D．100
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．是虚数单位，、是实数，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数，i为虚数单位，则为（ ）
A． B． C． D．
8．若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．i
9．已知虚数满足,则（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．2
10．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
11．设复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．设复数，则复数z的共轭复数等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．复平面上点对应着复数以及向量，对于复数，下列命题都成立；①；②；③；④；⑤若非零复数，满足，则.则对于非零向量仍然成立的命题的所有序号是___________.
14．设i为虚数单位，则 ______
15．已知虚数满足是实数，则______．
16．以下四个命题：
①满足的复数只有±1，±i；
②若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；
③|z＋|＝2|z|；
④复数z∈R的充要条件是z＝，其中正确的有_____.
17．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在第______象限.
三、解答题
18．已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）.
（1）求复数；
（2）求的模.
19．（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；
（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.
20．已知复数、满足、，且，求与的值.
21．已知，求证：
（1）；
（2）．
22．已知复数z1满足：|z1|=1+3i﹣z1.
（1）求z1
（2）若复数z2的虚部为2，且是实数，求.
23．设复数.
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求的共轭复数.
答案：
1．B
【分析】根据复数的除法运算可得答案.
【详解】，因此．
故选：B.
2．C
【分析】利用复数运算求得，由此求得.
【详解】由两边乘以得，
所以.
故选：C
3．C
【分析】根据复数的乘法运算，化简，再根据复数模的计算可得答案.
【详解】因为，所以,
故选：C
4．B
【分析】根据复数的四则运算法则计算即可.
【详解】.
故选：B.
5．D
【解析】将等式左边的复数利用复数的乘法法则表示为一般形式，结合复数相等得出方程组，即可解得实数的值.
【详解】，，解得.
故选：D.
6．C
【分析】利用复数运算性质计算即可
【详解】
故选：C
7．B
【分析】利用复数除法运算进行化简，再求得.
【详解】，
.
故选：B
8．C
【分析】根据除法运算求得复数，最后确定复数的虚部.
【详解】解：因为，所以，
所以的虚部为，
故选：C.
9．B
【分析】设虚数z=a+bi,将z代入,得出a,b,计算即可.
【详解】解:由题知,设虚数z=a+biR,代入可得
R,,
可得(舍)或,
故z=i,,
故选:B.
10．B
【分析】由复数的运算法则与虚部的概念求解即可
【详解】因为，
故的虚部为.
故选：B
11．B
【分析】利用复数的运算法则，直接计算即可.
【详解】因为，
所以ω2，ω3＝（）（）＝1，
则1+ω+ω2+ω3＝11＝1.
故选：B.
12．A
【分析】利用复数的运算法则及共轭复数的概念即得.
【详解】因为，
所以.
故选：A．
13．①②③
【分析】①根据平面向量加法交换律判定；
②结合平面向量加法运算法则判定；
③由判定；
④结合平面向量数量积判定；
⑤结合平面向量数量积判定.
【详解】解：①成立，故①正确；
②由平面向量加法运算法则可得，故②正确；
③成立，故③正确；
④，故④不成立，
⑤若非零向量，满足，
则，则，
所以不一定成立，故⑤不成立.
故答案为：①②③
14．##
【分析】根据复数除法法则即可求解
【详解】.
故答案为：.
15．1
【分析】设，再根据复数的运算以及实数的概念求出，然后由复数模的计算公式即可求出．
【详解】设，则为实数，于是，即，故．
故答案为：．
16．④
【分析】利用复数的四则运算以及共轭复数的概念、复数的模逐一判断即可.
【详解】①令z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
若＝，则有a－bi＝，即a2＋b2＝1＝|z|2，错误；
②(a－b)＋(a＋b)i＝2ai，若a＝b＝0，(a－b)＋(a＋b)i＝0，不是纯虚数，错误；
③若z＝i，|i－i|≠2|i|，错误；
④z＝，则其虚部为0，正确，
综上所述，正确的命题为④.
故答案为：④
17．三
【分析】对化简求出复数z，从而可得答案
【详解】因为，所以，
所以它在复平面内对应的点在第三象限.
故答案为：三
18．（1）；（2）
【分析】（1）设，由为实数，为纯虚数，可求出的值，进而可求出复数；
（2）结合复数的四则运算，对进行化简，进而求出即可.
【详解】（1）设，
由为实数，可得，即.
∵为纯虚数，
∴，即，
∴.
（2），
∴.
19．（1）；（2）
【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z；
（2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m的值.
【详解】解：（1）设，由题意每，
解得，，
∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴，∴.
（2）
，
由题意得，解得
20．，.
【解析】设复数、在复平面上对应的点为、，从模长入手，可以得到，进而得到以、为邻边的平行四边形是矩形.
【详解】设复数、在复平面上对应的点为、，
由于，
故，
故以、为邻边的平行四边形是矩形，从而，
则，.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】设，，
（1）计算，并计算，变形后可得其等于．
（2）计算，并计算，变形后可得其等于．
【详解】设，，
（1）
，
（2）
．
22．（1）z1= -4+3i；（2）.
【分析】（1）设z1=x+yi(x，y∈R)，代入|z1|=1+3i﹣z1，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y的值，则z1可求；
（2）令z2=a+2i，a∈R，由（1）知，z1=-4+3i，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a值，则答案可求.
【详解】解：（1）设z1=x+yi(x，y∈R)，
则，
故，解得，
∴ z1=﹣4+3i；
（2）令z2=a+2i，a∈R，
由（1）知，z1=-4+3i，
则= ，
∵是实数，
∴3a+8=0，即a=
∴，则.
23．(1)
(2)
【分析】(1)根据是实数，求得，再由复数的乘法运算即可求得；
(2)由是纯虚数，可得，即有，即可得的共轭复数.
【详解】（1）解：是实数，
，
（2）解：是纯虚数，
所以，解得，
所以，
故的共轭复数为.

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